《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第10章 曲线积分和曲面积分 Ch 10-3 格林公式

第十章第三节格林公式及其应用一、格林公式平面上曲线积分与路径无关的二、等价条件O0000x机动目录上页下页返回结束

第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章

格林公式区域连通性分类设D为平面区域，t如果D内任一闭曲线所围成，否则的部分都属于D.则称D为平面单连通区域。称为复连通区域DD单连通区域复连通区域o00l008机动自录上页下页返回结束

设D为平面区域, 单连通区域 复连通区域 D D 的部分都属于D, 称为复连通区域. 区域连通性分类 如果D内任一闭曲线所围成 则称D为平面单连通区域, 否则 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

平面区域D的边界曲线L的正向：当观察者沿D的边界L的这一方向行走时，平面区域D总在他的左边4逆时针方向L顺时针方向D逆时针方向L由L,与L,组成O0000X机动自录上页下页返回结束

平面区域D的边界曲线L的正向: 边界L的这一方向行走时, D L1 D L L2 逆时针方向 L 由 L1 与 L2 组成 逆时针方向 顺时针方向 当观察者沿D的 平面区域D总在他的左边。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

单连通区域（无“洞”区L区域D分类燮连通区域（有"洞”区域）D域D边界L的正向：f域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数P(x,J),Q(x,y)在 D 上具有连续一阶偏导数,则有ap00dxdy=Pdx+Qdy（格林公式）axayDLaaJaxaydxdy = Pdx + Qdy或PQDLO0000X机动目录上页下页返回结束

L D 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区 域复连通区域 ) ( 有“洞”区 域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数,    = +    D L x y x y P x Q y P Q 或 d d d d 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明：1）若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且Pi(x)≤y≤P2(x)tyEDa≤x≤bdA1Byi(y)≤x≤2(y)DCc≤y≤daoab xV2(y) aQ0则dxddxDaxyi(y)OxQ(y2(y), y)dy-Q(yi(y), y)dyQ(x, y)dy - (r Q(x, y)dyCBEQ(x, y)dy + (FcQ(x, y)dy = J, Q(x, y)dyCBEH4oo0x定理1目录上页下页返回结束

证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且        a x b x y x D ( ) ( ) : 1  2 则 x y x Q D d d     = d c Q( ( y), y )dy  2   ( )  ( ) 2 1 d y y x x  Q   = CBE Q(x, y)dy  + EAC Q(x, y)dy  − d c Q( ( y), y )dy 1  = d c dy d c y o x E C A B a b D 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

QJIDdxdy =即, Q(x,y)dy?ox同理可证apdxdyP(x, y)dx2JDoy②两式相加得D、apaqd_ Pdx+QdydxdJJDaxayO0000?定理1目录上页下页返回结束

即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( )   = +   −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

2）若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域，如图tyDapQLJJDdxdyOxoyDnnapaqZJ,dxdyOxayDik=1x0nZPdx +Qdy(aDk表示Dk的正向边界）aDkk=1证毕,Pdx+QdyO0000X定理1目录上页下页返回结束

y o x L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2  ( )  =   −   = n k D x y y P x Q k 1 d d ( ) x y y P x Q D d d   −     =  = + n k Dk P x Q y 1 d d  = + L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk  证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

说明：10：若区域D为单连通区域，则D的边界曲线L的正向即为逆时针方向20：若区域D为复连通区域，则L为区域D的内、外正向边界之和30：Green公式建立了平面区域D上的二重积分与D的边界曲线上的第二类曲线积分的关系40 ：Green公式的另外形式 :apaQdxdy = 蜓Pdx + Qdy = [, [P cos α +Qcos β]dsaxoyDNIQ cos(n, x) - P cos(n, )]ds其中n为外法线方向o00l008定理1目录上页下页返回结束

说明： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 1 0 : 若区域 D 为单连通区域, 则D的边界曲线 L 的 其中 正向即为逆时针方向. 2 0 : 若区域D为复连通区域, 则L为区域D的内、外 3 0 : Green公式建立了平面区域D上的二重积分与D 4 0 ：Green公式的另外形式： 的边界曲线上的第二类曲线积分的关系. 正向边界之和. [ cos cos ] L L D Q P dxdy Pdx Qdy P Q ds x y         − = + = +        蜒 [ cos( , ) cos( , )] L = − Q n x P n y ds  r r r ur Ñ n 为外法线方向

apa0dxdy = § Pdx +Qdy格林公式oxoyLD推论：正向闭曲线L所围区域D的面积特例：0xdy-ydxx, P=-y2Jx =acosa例如,椭圆 L:0≤0≤2元所围面积y=bsinxdy-ydx122元(abcos? +absin? )d =πab2 JoOe000x定理1目录上页下页返回结束

推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积  = − L A xdy y dx 2 1 格林公式    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 例如, 椭圆     , 0 2 sin cos :      = = y b x a L 所围面积  = +     2 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab ab =  ab 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 特例: Q = x, P = -y

例1．设L是一条分段光滑的闭曲线，证明f, 2xydx+x? dy = 0证:令P=2xy,Q=x2,则Qap= 2x- 2x = 0OxOy利用格林公式，得f, 2xydx + x? dy = [[odxdy = 0DO0000?机动目录上页下页返回结束

例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2 + =  xy x x y L 证: 令 2 , , 2 P = xy Q = x 则 利用格林公式 , 得 xy x x y L 2 d d 2  +  = D 0dx dy = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束