《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第8章 多元函数微分学及其应用 Ch 8-3 复合函数与隐含数微分法

第八章第四节多元复合函数的求导法则一元复合函数y= f(u), u=@(x)dydy du求导法则dx du dx微分法则dy= f'(u)du= f'(u)p'(x)dx本节内容：一、多元复合函数微分法二、隐函数的微分法oleoolox机动目录上页下页返回结束

第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数微分法 二、隐函数的微分法 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章

一、多元复合函数的微分法定理1. 若函数 u=(x,y),v=y(x,y)在点(x,y)处偏导数存在,且在对应(x,y)的点(u，v)处，函数z= f(u,V)可微，则复合函数 z=f(p(x,y),(x,y))在点（x，)处两个偏导数均存在，且OzOzOuazOvf'pi+f2yiOxOxOuaxOvOzOzazOuOv=fip2 + f2y2ayayOvu QyxLy x注：上式称为二元复合函数求偏导的链式法则oleo0x机动自录上页下页返回结束

一、多元复合函数的微分法 定理1. 若函数 z = f (u,v) 可微, 在点 (x , y) 处两个偏导数均存在, 且 则复合函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数存在, 且在对应(x , y)的点(u , v)处, 函数 =   x z 11 21 = f   + f   12 2 2 = = f   + f     y z x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + z u v x y x y 注: 上式称为二元复合函数求偏导 的链式法则

证：将y固定,给x以增量Ax，则相应中间变量u，V有增量u,，从而函数z=f(u，v)也有相应增量Az由f(u，v)可微,所以OzOzAv +o(p) (p = /(Au)? +(Av)?)AzAu+OuOv△zOz △uOz Avo(p)于是有(1)△xOu △xOv △xAx由条件知:x—→0时，u→0,v—→0,且o(p)o(p)→0△xpX号(Ax< 0 时,根式前加1eo0x机动自录上页下页返回结束

证: 将 y 固定, 给 x 以增量△x , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 u , v 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量△u , △v , 从而函数 z = f (u , v)也有相应增量△z , 由 f (u , v)可微, 所以 z z u z v x u x v x      = +      o( ) x  +  ( )  o  = (△x＜0 时,根式前加“–”号) 由条件知: △x→0时, △u→0,△v→0, 且 (1)

(1）式两端取极限，即得azOzOuOzOvfipi+ fyi+xuOvax0x同理可证：QuOzazOzOvf'p2 + f2y2Oyay01udy注：上述二元复合函数求偏导的链式法则可推广到一般股情形的多元复合函数OO0X机动自录上页下页返回结束

(1) 式两端取极限, 即得 =   x z 11 21 = f   + f   x u u z      x v v z      + 同理可证: 12 2 2 = = f   + f     y z y u u z      y v v z      + 注: 上述二元复合函数求偏导的链式法则可推广到一 般情形的多元复合函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特例：设下面所涉及的函数都可微1)中间变量均为一元函数例如: z= f(u,v), u=β(t),v=y(t)vuOz dydzOz duf'o'+f'y"Ov dtdtOu dttt（dzldx称为z对x的全导数）2)中间变量既有一元函数也有多元函数例如: z = f(u,v),u= (x), v=y(x,y)Ozazduazav= f'o' + f’y"uaxOvOxQudxOzazavyx xf'y2oyoyav1eo00x机动自录上页下页返回结束

特例: 1) 中间变量均为一元函数. z f u v = ( , ) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d 1 2 = + f f       2) 中间变量既有一元函数也有多元函数. z f u v u x v x y = = = ( , ) , ( ), ( , )   =   x z 1 2 1 = + f f       2 2 = = f      y z t u u z d d    t v v z d d    + d d z u u x    x v v z      + z v v y      机动 目录 上页 下页 返回 结束 u t v t = =   ( ), ( ) z u v t t ( dz/dx 称为z 对 x 的全导数 ) 例如: 例如: z x x u y v

情形2)的特例: z= f(x,v)，=(x,)Z11azafafOv>= f" + f2yiaxaxOvOxx1OvOzaff2y2xyOvoyayazaf与不同，这里注意：axaxafaz表示固定对x求导表示固定v对x求导0xaxz=3)中间变量仅有一个例如: z=f(u), u=β(x,y)uazdz OuOuOzdzxdu0xoyoyOxduoeo0x机动目录上页下页返回结束

情形2)的特例: z = f (x,v), v = (x, y) x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 x f   = 与 不同, z = f x x y v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 中间变量仅有一个. z = f x y 例如: z = f (u), u x, y = ( ) u x z   y z  

Ozz例1.设z=e"sinv,u=xy，=x+y,求ax'ayOzOuazOzOv解：0xOxOuOv Ox=eu sinv·y +e" cosv.l7exy[y · sin(x + y)+ cos(x + y))uOz Ou.Oz OvOzxyyxOu OyOv Qyoy=e" sinv·x +e" cosv·l= e*y[x ·sin(x+ y)+ cos(x+ y)]o1o0x机动目录上页下页返回结束

例1. 设 z e sin v, u xy , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

OuOu=xsiny, 求例2. u= f(x,y,zax' ayafOzafOu解：Ozax0x0xu2xsiny+x4 sin2= 2 x(1 + 22 xsin1xy1OuafazafxyayOzayoy2sinX= 2(y+ x4 sin ycos y)oooX机动目录上页下页返回结束

例2. ( , , ) , sin , 2 2 2 2 u f x y z e z x y x y z = = = + + y u x u     求 , 解: x u   2 2 2 2 x y z xe + + = x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + x y z x y u y u   2 2 2 2 x y z ye + + = x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2( sin cos ) + + = + x f   = 2 2 2 2 x y z ze + + + y f   = y z z f      + 2 2 2 2 x y z ze + + +  2 xsin y x cos y 2  机动 目录 上页 下页 返回 结束

dz例3.设z=uv+sint,u=et,v=cost,求全导数dtOzdzOzdudvOz解：XdtoudtvatdtZvet-usint +costuV=et(cost -sint)+costtt注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到，下列两人例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号oleoloex机动目录上页下页返回结束

例3. 设 z = uv + sint , . d d t z z u v t t t t z d d t = v e e t t t t = (cos − sin ) + cos t u u z d d    = t z   + u = e t , v = cost , 求全导数 解: + cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

例4.设w=f(x+y+z,xyz)，f具有二阶连续偏导数a?wOw求w,fi',f2Ox"OxOz1解： 令u= x+y+z,v= xyz, 则u12不不w= f(u,v)xyzxyzow= f"-1 + f2· yzax= f'(x+y+z, xyz) + yz f2(x+ y+z, xyz)a?w= Jii·1+ Ji2 ·xy + y f2 + yz[ 2i-1+ f22 ·xy]OxOz= fii + y(x+ z)fi2 + xy?z f22 + y f2oleolo0x机动目录上页下页返回结束

为简便起见 , 引入记号 , , 2 1 12 u v f f u f f     =    = 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 , . 2 x z w x w      解: 令 u = x + y + z , v = xyz, x w   w u v x y z x y z w = f (u, v) + f   yz 2 ( , ) 2 + y z f  x + y + z xyz 则 x z w    2 22 2 2 11 12 = f  + y(x + z) f  + xy z f  + y f  + f   xy 12 + f   x y 221 2 , f  , f  机动 目录 上页 下页 返回 结束