《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第6章 无穷级数 Ch 6-9 一般区间上的傅里叶级数

第六章第九节一般周期的数的傅里叶级数一、以21为周期的函数的傅里叶展开二、 傅里叶级数的复数形式Oe000X机动目录上页下页返回结束

第九节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、傅里叶级数的复数形式 第六章

一、以21为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数f(x)元x变量代换71周期为 2元 函数 F(2)将F(z) 作傅氏展开f(x) 的傅氏展开式O0000x机动自录上页下页返回结束

一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2 函数 F(z) 变量代换 l x z  = 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件则它的傅里叶展开式为8n元xn元xdoZb+f(x)sina.COSnn21/n=1(在f(x)的连续点处)其中n元 xan=dx(n=0,1, 2,...1n元 xbn=,(n =1, 2,...)f(x1dx1O0000?机动目录上页下页返回结束

设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) an = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1  − = 其中 定理. l 1 x l n x f x l l ( )cos d  − (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

元x则 xE[-l,11 变成 zE[-元,元 ],证明：令z1令 F(2)= f(x) =f(),则元F(2+2元)= f(l(z+2元)=+21)元元= f(=) = F(z)元所以F(2)是以2元为周期的周期函数，且它满足收敛定理条件，将它展成傅里叶级数8aoZ(an cosnz +bn sin nz)F(2) =12n=1（在F(z)的连续点处）Oe00x机动自录上页下页返回结束

证明: 令 l x z  = , 则 令 ( ) ,  lz = f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) (    + + = l z F z f ( 2l ) lz = f +  ( )  lz = f 所以 且它满足收敛 定理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以 2 为周期的周期函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

TF(z)cos nz dz(n=0,1,2,...)an元一元其中F(z)sin nz dz(n=1,2,3, .)bn =元一元元 xM71n元 x=f(x)cos(n=0,1,2,..)Xan1n元x[b=,((n=1,2,3,...dx1n元xn元 xao(f(x) :an cossin211n=1（在f(x)的连续点处）证毕oeo00x机动目录上页下页返回结束

a F z nz z n ( )cos d 1 − =    其中 b F z nz z n ( )sin d 1 − =    令 l x z  = l an 1 = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1  − = (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d  − 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：如果f(x)为奇函数,则有8n元 xZbnsin(在f(x)的连续点处)f(x)=1n=1b,-1%n元 x其中(n=1, 2,...)dx如果f(x)为偶函数,则有8aon元xL(在,f(x)的连续点处)f(x)aCosn2/n=12 cln元 x其中(n=0,1,2,...)adxOSn1 J01注：无论哪种情况，在f(x)的间断点x处，傅里叶级数收敛于[f(x)+f(x+)).O0000?机动目录上页下页返回结束

说明: = ( )sin d ( =1, 2,)  x n l n x b f x n  其中 (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) = ( )cos d ( = 0,1, 2,)  x n l n x a f x n  其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数 收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.交流电压E(t)=Esinのt经半波整流后负压消失，试求半波整流函数的(t)傅里叶级数10-2元元2元700@0解：这个半波整流函数2元的周期是,它在[,]上的表达式为Q0,匹≤t<00f(t) =Esinのt,0≤t<0元元0Esino tcosnotdt00元Eo0[sin(n + 1)o t - sin(n - 1)o t]d it2元0oeoo0x机动自录上页下页返回结束

f (t) o t    + − −     0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t 例1. 交流电压 经半波整流后负压消 失,试求半波整流函数的 解: 这个半波整流函数  2 ,它在 an =      0 Esin t cos n t dt 傅里叶级数. 上的表达式为   的周期是 2  −2    −  机动 目录 上页 下页 返回 结束

元/1EoEoT0ncos2@sin2@ tdt0ai:Jo2元2元200n1时Eo1[sin(n + 1) t - sin(n - 1)o t]d tan2元1011Eo0cos(n -1)o tcos(n +1)o t +(n -1)002元(n + 1)0(-1)n-11E(-1)n12元n+1n+1n-1n-1.0,n= 2k+3[(-1)n-1 -1 ]E(k=0,1, ..)2En= 2k(n2 -1)元(1- 4k2)元oeo0x机动目录上页下页返回结束

0    = 0    0 sin 2 t d t n 1时    + − −     0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t   2 E an =   − − n t n   cos( 1) ( 1) 1   =   2 E 0   + + + − n t n   cos( 1) ( 1) 1   − − − − + + + + −   = − 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 2 1 n n n n E n n    ( 1) ( 1) 1 2 1 − − − = − n E n = , (1 4 ) 2 2 k  E − n = 2k 机动 目录 上页 下页 返回 结束

0Esinot·sinnotdt0J元Eo[cos(n -1)o t - cos(n + 1)ot]d t2元0Esinot.sinotdt0元Eo元/0Eosin 2@ tE (1-cos 2ot)dt12元2元2020n>1时Eosin(n+1)ot /sin(n-l)otS= 0b, :2元L (n-l)o(n+1)0」0/oe000x机动目录上页下页返回结束

b Esin t sin t d t 0 1       =    n t n t t E cos( 1) cos( 1) d 2 0  = − − +          − − =     ( 1) sin( 1) 2 n E n t bn 0 ( 1) sin( 1) 0 =    + + −     n n t 2 0 sin 2 2             = − t t E n > 1 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束

由于半波整流函数f（t）K在(-8,+8)上连续,由收10元-2元2元H10000收敛定理可得8EE12E2f(t)= cos 2k@ tsint++2.4k元元k-(-8<t<+8)交流部分直流部分说明：上述级数可分解为直流部分与交流部分的和2E12k次谐波的振幅为Ak=k越大振幅越小4k2_1元因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了O0000?机动自录上页下页返回结束

由于半波整流函数 f ( t ) = +  E f (t) t + E sin 2 k t k E k   cos 2 1 4 2 1 1  2  = − 直流部分 说明: 交流部分 由收 收敛定理可得 2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小, 因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了. o 2 t  −2    −  f (t) 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. 机动 目录 上页 下页 返回 结束