《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第9章 重积分 Ch 9-3,4 三重积分

第九章第三节三重积分一、三重积分的概念二、 三重积分的计算oeoo0x机动自录上页下页返回结束

第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章

一、三重积分的概念引例：设在空间有限闭区域Q内分布着某种不均匀的物质,密度函数为μ(x,y,z)C,求分布在 Q 内的物质的质量M.解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用“大化小，常代变，近似和，求极限'2可得n△vEu(Ek, Nk,Sh)AvkM = lim1→0k=1(Ek,nk,Sh)O0000X机动目录上页下页返回结束

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v  ( , , )  k k  k k v 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在  内的物质的 可得  = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义.设f(x,y,z),(x,y,z)E,若对Q 作任意分割AVk（=l,2..:,n),任意取点(k,nk,Sk)△Vk,下列"乘极限积和式”2记作limE f(Ek,nk,Sk)AvkJJJ, f(x, ,z)dv2-0k=1存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在上的三重积分dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域Q上连续,V为2的体积,则存在(,n,)EQ,使得J, f(x, y,z2)dv= f(5,n,S)yoe000x机动自录上页下页返回结束

定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k  f v → = lim ( , , ) 1 0     存在, f (x, y,z)  f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对  作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域  上连续, 则存在 (,, ), 使得  f (x, y,z)d v = f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分先假设连续函数_f(x,y,z)≥0,并将它看作某物体的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算方法:方法1：投影法（“先一后二”）方法2：截面法（‘先二后一”）方法3.三次积分法最后，推广到一般可积函数的积分计算O00D0X机动目录上页下页返回结束

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z)  0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法1.投影法（先一后二”）z = z2(x,y)[zi(x,y)≤z≤z2(x,y)Q:(x,y)eDZ细长柱体微元的质量为z2(x.yf(x, y,z)dz |dxdyiz =zi(xjy)Zi(x, y该物体的质量为VDx[J,f(x, y,z)dvdxdyZ2(x,y)f(x, y,z)dz |dxdy微元线密度~Xf(x,y,z)dz记作Z2(x,y)J.dxdyf(x, y,z)dzi(x,yO0000x机动自录上页下页返回结束

z x y D  = D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后二” )        x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1        该物体的质量为  f (x, y,z)d v        ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D  z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f x y z z ( , , )d 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 微元线密度≈ 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法2.截面法（“先二后一”）Zb(x,y)eDz2a≤z≤bZ以D,为底,dz为高的柱形薄片质量为y(JJ, f(x, y,z2)dxdy )dzx该物体的质量为面密度~JJJ,f(x,y,z)dvf(x, y,z) dxdyJ"(J, f(x, y,z)dxd y)dz记作['d J , (x,y,z2)dxdyO0000?机动自录上页下页返回结束

a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 (  = b a DZ f (x, y,z)d xd y  DZ b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz f x y z dxdy ( , , ) 面密度≈ )dz 记作  机动 目录 上页 下页 返回 结束

方法3.三次积分法zi(x, y)≤z ≤z2(x,y)设区域Q：)e D: [y(x)≤y≤ y2(x)(x, y)a≤x≤b利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得JJ,(x, ,z)dvhy2(x)dx(x, y,z)dzaX投影法.1[fof(x,y,2)dvdxd(x, y,z)dzO000X机动自录上页下页返回结束

投影法 方法3. 三次积分法 设区域  : 利用投影法结果 ,         a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y  z  z x y 把二重积分化成二次积分即得:   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z  ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z  ( ) ( ) 2 1 d y x y x y  = b a dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当被积函数在积分域上变号时，因为f(x,y,z)[f(x,y,z)|+ f(x,y,z)lf(x,y,z)[- f(x,y,z)22= fi(x, y,z) - f2(x, y,z)均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算Oe00x机动目录上页下页返回结束

当被积函数在积分域上变号时, 因为 f (x, y,z) 2 f (x, y,z) − f (x, y,z) − ( , , ) 1 = f x y z ( , , ) 2 − f x y z 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 f (x, y,z) + f (x, y,z) = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

小结：三重积分的计算方法方法1.“先一后二dxdz)dz[fof(x,y,z)dv=JD方法2.“先二后一h[,(x, ,z)dv=dzf(x, y, z)dxdya方法3.“三次积分"hy2(x[qf(x,y,z)dv=dxy,z)d zyi(x)a三种方法(包含12种形式)各有特点，具体计算时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择O0000?机动自录上页下页返回结束

小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分”   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z   = DZ b a d z f (x, y,z)dxdy    = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

J.例1.计算三重积分xdxd ydz,其中Q 为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域(0≤z≤1-x-2y7解: Q:0≤y≤(1-x)人0≤x≤1xdxd ydzy91xdxdz0010(1-xd-x-2y)dyxJO0012x2+xdx48o00008机动目录上页下页返回结束

例1. 计算三重积分  d d d , 其中 为三个坐标  x x y z x + 2y + z =1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解:  :   xd xd y d z   − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  −x− y z 1 2 0 d  = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0  z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1  y  − x 0  x 1 48 1 = 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束