《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第5章 常微分方程及差分方程 Ch5-1 基本概念

第五章常微分方程已知'=f(x),求一积分问题推广已知含及其若干阶导数的方程，求一微分方程问题

常微分方程 第五章 已知 y  = f (x),求 y — 积分问题 已知含 y及其若干阶导数的方程 ,求 y — 微分方程问题 推广

第五章第一节微分方程的基本概念几何问题引例物理问题微分方程的基本概念O0000x机动目录上页下页返回结束

微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第五章

引例1．一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的切线斜率为2x，求该曲线的方程：解：设所求曲线方程为=J(x），则有如下关系式dy=2x①dx2x=1= 21(C为任意常数)由①得 y=[2xdx=x2+C由②得 C=1,因此所求曲线方程为y=x2+1.O0000?机动目录上页下页返回结束

引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: x x y 2 d d = ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 1. 2 因此所求曲线方程为 y = x + 2 y x=1= ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

引例2.列车在平直路上以20m/s的速度行驶，制动时获得加速度α=-0.4m/s2，求制动后列车的运动规律解：设列车在制动后t秒行驶了s米，即求s=s()d? s-0.4dt2已知dsdtt = 0 = 200s = - 0.2t? +C t+C,由前一式两次积分，可得利用后两式可得Ci = 20, C2 = 0s= - 0.2t2 +20 t因此所求运动规律为说明：利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住，以及制动后行驶了多少路程。oeo0x机动自录上页下页返回结束

引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0 , s t=0 = 由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C 利用后两式可得 因此所求运动规律为 s 0.2 t 20 t 2 = − + 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分方程的基本概念含未知函数及其导数的方程叫做微分方程常微分方程(本章内容)分类偏微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.一般地，n阶常微分方程的形式是F(x, y,y', .-, y(n)) = 0J(n)= f(x,y,y',,(n-I)）（n 阶显式微分方程)或O0000?机动目录上页下页返回结束

常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( , , , , ) 0 ( )  = n F x y y  y ( , , , , ) ( ) ( −1) =  n n y f x y y  y ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分方程的解一使方程成为恒等式的函数通解一解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同特解一不含任意常数的解,其图形称为积分曲线。定解条件一确定通解中任意常数的条件n阶方程的初始条件(或初值条件)：(n-1)(xo) = yo , y'(xo) = y , ..., y(n-l)(xo)Vod2dy= 2x-0.4dx引例1dx引例2d sx=1 = 2/t=0 = 20St=0 =0,ydty= x? +C通解：s =-0.2t2 +Cit+C2特解:s =-0.2t2 +20ty=x~+lO001008机动目录上页下页返回结束

0 , s t=0 = 20 d 0 d = t t= 引例 s 2 0.4 2 2 d d = − x y — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − =  =  = n n y x y y x y  y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 x x y 2 d d = 2 y x=1= 引例1 y = x +C 2 1 2 2 通解: s = −0.2t +C t +C s 0.2t 20t 2 1 = − + 2 特解: y = x + 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.验证函数 x=Ci coskt + C2 sinkt (Ci,C2为常数)d? x+k2x=0的解，并求满足初始条件是微分方程df2dxt=0=0 的特解.4dtd?x解=-Ck? cos kt -C2k? sin ktdt2= -k?(Cj sin kt + C2 cos kt) = -k2x这说明x=Cj coskt + C2 sinkt 是方程的解.Ci,C2 是两个独立的任意常数，故它是方程的通解利用初始条件易得：Ci= A,C2=0,故所求特解为x = AcosktOe000x机动自录上页下页返回结束

例1. 验证函数 是微分方程 的解, , x t=0 = A 0 d 0 d = t t = x 的特解 . 解: ( sin cos ) 1 2 2 = −k C kt +C kt 这说明 x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, ( , ) C1 C2为常数 利用初始条件易得: 故所求特解为 x = Acos k t 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x轴交点为 Q且线段PO被y轴平分，求所满足的微分方程：解：如图所示，点P(x,y)处的法线方程为X-xY-y:令Y=0,得O点的横坐标PX=x+yy'x+yy'=-x，即yy'+2x=0QCxxOe000x第二节目录上页下页返回结束

求所满足的微分方程 . 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q P Q x y o x 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 yy  + 2x = 0 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 目录 上页 下页 返回 结束