复旦大学：《数字信号处理》课程教学资源_数字信号处理习题和答案

第三章 1.如下图,序列x(n)是周期为6的周期性序列,试求其傅立叶级数的系数。 解:x(k)=∑x(m6=∑X(n)e =14+12e 224+10012+872+6 4k +10e 计算求得 X(0)=60;X()=9-j3√3;X(2)=3+/3 3-j√3;X(5)=9+j3√3 1.0≤n≤4 2.设x(m) h(n)=R4(n-2) 0,其它n 令(mn)=x(m) h(n=h((n) 试求(n)与h(n)的周期卷积并作图。 解:在一个周期内的计算值 y(n=x(n)*h(n)=h(n-m) (n)=x(n)*h(m)=h(n-m) x (m) n\h(mm)1234|50yn) 111 10011110 00 3.试求以下有限长序列的N点DFT(闭合形式表达式) (1) x(n=a(cos oonR,(n) 2) x(n=aR(n) (3)x(m)=6(nn0),0<no<N (4)x(n)=nR(m) (5)x(n)=n2R(n)

第三章 1. 如下图，序列 x(n)是周期为 6 的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。   = − = = = 5 0 6 2 6 5 0 ( ) ~ ( ) ~ X( ) ~ : n j nk nk n k x n W x n e  解 j k j k j k j k j k e e e e e 5 6 2 4 6 2 3 6 2 2 6 2 6 2 14 12 10 8 6 10      − − − − − = + + + + + 计算求得: (5) 9 3 3。 ~ (4) 3 3 ; ~ (3) 0 ; ~ (2) 3 3 ; ~ (1) 9 3 3 ; ~ (0) 60 ; ~ X X j X j X X j X j = = − = + = = − = + 2. 设 4 1, 0 4 ( ) , ( ) ( 2) , 0 n n x n h n R n n  +   = = −   ， 其它 6 4 ( ) (( )) , ( ) (( )) , ( ) ( ) x n x n h n h n x n h n 令 = = 试求 与 的周期卷积并作图 。 解：在一个周期内的计算值 3. 试求以下有限长序列的 N 点 DFT(闭合形式表达式) 0 0 0 2 (1) ( ) (cos ) ( ) (2) ( ) ( ) (3) ( ) (n-n ), 0 n N (4) x(n) ( ) (5) ( ) ( ) N n N N N x n a n R n x n a R n x n nR n x n n R n   = = =   = = ( ) ~ ( ) ~ ( ) * ~ ( ) ~ y n = x n h n = h n − m ( ) ~ ( ) ~ ( ) * ~ ( ) ~ y n = x n h n = h n − m

RF: (1)x(n)=a(cosoon)RN(n) X(k) ∑a( coSCo)e RN(k) (e R(k) RN(k) 1(2k+ 12xk+0) -0) OoM sin n(k O n(-) j(k-m).,丌,1 O x(n)=a"R(n) X(k)=∑a (3)x(m)=o(n-n0),0<n0<N (n)e RN(k) ∑(n-n0)e RN(k)

( ) 1 1 1 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 (cos ) ( ) ( ) :(1) ( ) (cos ) ( ) ) 2 ) ( 2 ( 1 0 ) 2 ( 1 0 ) 2 ( 1 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 R k e e e e a a e e R k a e e e R k a n e R k X k x n a n R n N k N j j N k N j j N N N n n N j N n k n N j N N n nk N j n j n j N n N nk N j N         − − + − − =       = +       = + = = − + − − − − = − − − = − + − = − − − = −                    解       − − −      − − = − − − − − − − + + − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 2 2 2 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                   k N k j N k j N j N j N j N j k N k j N k j N j N j N j N j e e e e e e e e e e e e a       − −       +  = − − − + − ) 2 1 sin( ) 2 sin( ) 2 1 sin( ) 2 sin( 2 1 0 ) 2 ( 2 1 2 0 0 ) 2 ( 2 1 2 0 0 0 0 0             k N e N e k N e N e a k N j N j k N j N j k N j N N n nk N j n N n ae a X k a e x n a R n   2 1 0 2 1 1 ( ) (2) ( ) ( ) − − = − − − = = =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) , 0 0 2 1 0 2 0 1 0 2 0 0 e R k n n e R k X k x n e R k x n n n n N N n k N j N N n nk N j N n N nk N j      − − = − − = − = = − = = −    

x(k)=∑nWxR(k) WX(k)=∑nWR2(k) X(k (N-2wx-)+N-1)Rx(k) (-(N-1)+∑W)R(k) X(k) R,(k (5)x(n)=n'R(n).. X(k)=2n'W 根据第(4)小题的结论 x1(m)=HR(m),则x1( 1-M NX(k) X(k1-m)=∑m2x-∑n Wa+4N 9n (N-1)2W--H3+4W3 +…+(N-2)W -(N-1)2+∑(2n-1)W (N-2)+2∑nW2 2X1(k) 2N 1-W ∴x(k)N(N-2W-N (1-Wk)2

( ) 1 ( ) 1 1 ( 1) ( ( 1) ) ( ) ( 2) 1]) ( ) ( 1) [ 2 ( 2 3 ( )(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 1 1 ( 1) ( 1) 2 3 2 3 1 0 ( 1) 1 0 1 0 ( 1) 1 0 R k W N X k N W W N N W R k N W N R k N W W W W W W X k W nW nW W X k nW R k X k nW R k x n nR n k N N k N k N N N n nk N N N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n nk N k N N n N n k N k N N n N nk N N − −  = = − − − = − − + = − − + − + − − − + + + = + + + + − = − =  = =      − = − − − = + − = − = + − = • • • • • • （ ） k N N N n nk N N W N x n nR n X k x n n R n X k n W − − = = =  =  − = 1 ( ) ( ) ( ) (4) 5 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 2 2 ，则 根据第 小题的结论 （ ） 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 3 2 3 1 0 2 ( 1) 1 0 2 1 0 2 ( 1) (1 ) ( 2) ( ) 1 2 ( 2) ( 2) 2 ( ) ( 2) 2 ( 1) (2 1) ( 2) ( 1 ] ( 1) [ 4 4 9 ( )(1 ) ( ) k N k N k N N n nk N N n nk N N k N k N k N N k N k N k N k N N n n k N N n nk N k N N n n k N k N W N N W N X k W N N N N N X k N N nW N n W N W N N W W W W W W X k W n W n W W X k n W − − −  = − = − − − = − − + = − − + = − − + − + + − + − − − + = + + + + − = − =      − = − = − − − = + − = − = + • • • • • • ）

4.已知两个有限长序列为 0≤n≤3 x(n)= 0 4≤n<6 0<n≤4 y(n) 5≤n≤6 试用作图表示x(n),y(m)以及f(m)=x(n)⑦y(n)。 5.已知x(n)是N点有限长序列,X(k)=DFTx(n)现将长度变成NN点的有限长 序列用y(n) 0≤n≤N y(n) N<n≤rN-1 试求DF[y(m)](N点DFT)与X(k)的关系。 解:X(k)=DF(小)=2xn)e 0≤ksN-1 y(k)=DFTLy(n] v(n)wnk x(n)wnk n 0,1,N-1) 在一个周期内Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍(Y(k)的周期为 Nr),相当于在X(k)的每两个值之间插入(r-1)个其他的数值 (不一定为零),而当k为r的整数l倍时,Y(k)与X(-)相等 6.令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅立叶变换 (a)证明:如果x(n)满足关系式x(n)=-x(N-1-n), 则X(0) (b)证明:当N为偶数时,如果x(n)=x(N-1-n), 则X()=0。 证明 (a)如果X(k)=∑x(m)W,0≤k≤N-1 当x(n)=-x(N-1-n)时

4. 已知两个有限长序列为      −   =      +   = 1 , 5 n 6 1, 0 n 4 ( ) 0 , 4 n 6 1, 0 n 3 ( ) y n n x n 试用作图表示 x(n) , y(n)以及 f (n) = x(n) ⑦ y(n) 。 5. 已知 x(n)是 N 点有限长序列，X(k)=DFT[x(n)],现将长度变成 rN 点的有限长 序列用 y(n) ( ), 0 n N-1 ( ) 0, N n rN-1 [ ( )] ( ) ( ) x n y n DFT y n rN DFT X k    =     试求 点 与 的关系。  ( )   不一定为零），而当 为 的整数 倍时， 与 相等。 相当于在 的每两个值之间插入 个其他的数值 在一个周期内 的抽样点数是 的 倍 的周期为 解 ( ( ) ( ) ), ( ) ( 1) , ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( 0 ,1, 1) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) 0 1 1 0 N 2 1 0 1 0 1 0 2 r k k r l Y k X Nr X k r Y k X k r Y k k lr l N r k x n e X Y k DFT y n y n W x n W X k DFT x n x n e k N N n r k n π j n k r N r N n N n n k r N N n n k N j −  = = = = − = = = = =   −  • • •    − = − − = − = − = −  6. 令 X(k)表示 N 点序列 x(n)的 N 点离散傅立叶变换 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) , (0) 0 ; ( ) ( ) ( 1 ) , ( ) 0 2 a x n x n x N n X b N x n x N n N X = − − − = = − − = 证明：如果 满足关系式 则 证明：当 为偶数时，如果 则 。 证明： ( ) ( ) ( ) , 0 1 1 0 =    − − = a X k x n W k N N n n k 如果 N 当 x(n) = −x(N −1− n)时

X(k) nR(n)WA -EIx(N-1-n)Rx(n)W*R(N-m)Wr(N-n] x(n X(k)=-X(-k)R3(k)W*(N 当k=0时XY(0)=-X(0)=-X(0) (b)仿照(a)当x(m)=x(N-1-n)时,可得: X(k)=Ix((N-1-n))RN(n)WI (k))NR(k)w 当n=-(N为偶数)时 (受)=X(-)R()e 由N为偶数,则有e (N-1) 所以X(受) )=-X(N-)=-X(2) 所以X(受)=0 1.设有一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须为2的整数幂,假定没有采用 任何数据处理措施,要求频率分辨力≤10Hz,如果采用的抽样时间间隔为 0.1ms,试确定 (1)最小记录长度; (2)所允许处理的信号的最高频率; (3)在一个记录中的最少点数

( 1) ( 1) 1 0 1 0 ( 1 ) ( 1) 1 0 ( ) (( )) ( ) ( ) [ (( 1 )) ( ) ] ( ) [ ( 1 ) ( ) − − − = − − = − − − − − =  = − − = − = − − − = − − −    k N N N N k N N N n nk N N n k N N k N n N N N N n nk N N X k X k R k W x n W W x N n R n W W X k x N n R n W ( 1) 2 2 2 2 2 ( ) (( )) ( ) ( ) 2 − − = − = N N N j N N N N N X X R e N N n  当 为偶数 时， 1 ( 1) ( 1) 2 2 = = − − − − − j N N N N j N e e   由 为偶数，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 N N N N 所以 X = −X − = −X N − = −X ( ) 0 2 = N 所以 X 1. 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为 2 的整数幂，假定没有采用 任何数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz,如果采用的抽样时间间隔为 0.1ms，试确定 （1）最小记录长度； （2）所允许处理的信号的最高频率； （3）在一个记录中的最少点数。  当k = 0时 X(0) = −X(−0) = −X(0)  X (0) = 0 (b) 仿照(a)当x(n) = x(N −1− n)时，可得： ( 1) 1 0 (( )) ( ) ( ) [ (( 1 )) ( ) ] − − = = − =  − − k N N N N N n nk N N N X k R k W X k x N n R n W

解():=F而s10h∴,p20 最小纪录长度为0.ls (2)1=1=1×103-10kH fs>2fr f<÷f,=5KH 允许处理的信号的最高频率为KH (3)N≥=×103=1000,又因N必须为2的整数幂 ∴一个纪录中的最少点数为:N=20=1024

: 2 1024 10 1000 , 2 0.1 0.1 (3) 5 5 2 1 2 10 10 0.1 1 1 (2) 0.1 10 1 10 1 :(1) 10 3 3  = =  =  =     = = =  =  =    • • • • • • N N T T N KHz f f f f KHz KHz T f s F Hz T s F T P s h h s s P P 一个纪录中的最少点数为 又因 必须为 的整数幂 允许处理的信号的最高频率为 最小纪录长度为 解 而