复旦大学：《数字信号处理》课程教学资源_第四章 习题解答

第四章习题 1.N=16时,画出基2时间抽取的FFT流图 2.设有一个离散信号x(n)=[2,-1,1,1 (1)直接计算4点DFT (2)利用基2频率抽选信号流图,计算X[k]=DFT{x(n)}与DFT{X'[k] 并在每个节点上标注每一级计算结果 3.已经X[k]={10,-2-2j,-2,-2+2j},利用基2FFT算法流图计算x(n) 4.设x(n)是长度为2N的有限长实序列,X(A)为x(m)的2N点DFT (1)试设计用一次N点FT完成计算(A)的高效算法。 (2)若已知K(A),试设计用一次N点IFFT实现求K(A)的2N点IDFT运算。 第四章习题解答: 1 2 10 X16 14 3 。X12 x团 14 x15 Ⅻ15

第四章习题 1. N=16 时，画出基 2 时间抽取的 FFT 流图 2.设有一个离散信号 x(n)=[2,-1,1,1] (1) 直接计算 4 点 DFT (2) 利用基 2 频率抽选信号流图，计算 X[k]=DFT{x(n)}与 DFT{X* [k]}, 并在每个节点上标注每一级计算结果 3.已经 X[k]={10,-2-2j,-2,-2+2j}，利用基 2FFT 算法流图计算 x(n) 4.设 x(n)是长度为 2N 的有限长实序列， X(k)为 x(n)的 2N 点 DFT。 (1) 试设计用一次 N 点 FFT 完成计算 X(k)的高效算法。 (2) 若已知 X(k) ，试设计用一次 N 点 IFFT 实现求 X(k)的 2N 点 IDFT 运算。 第四章习题解答： 1. 2

解: (1)由DFT的定义有: X(k)=∑x(m)4 2xIN =e x(0)=∑x(n)H=∑x(m)=x(0)+x(1)+x(2)+x(3)=2-1+1+1=3 X(1)=∑xnw4=∑x(n)(-)”=2+j-1+j=1+2j x(2)=∑xn=∑x(n)-1)=2+1+1-1=3 X(3)=∑()=∑x(n))=2-j-1-j=1-2j 故X(k)=[3,1+2j,3,1-2j 例:已知Xm]={10,-2-2j-2,-2+2j} 利用基2FFT算法流图计算x内 X[m]={10-2-2j,-2,-2+2j} x[1]● W X3] xk]=DFT{X[m]}={,2,3,4} 级g人墨

3. 4

解:本题的解题思路就是DⅠT-FFT思想。 (1)在时域分别抽取偶数和奇数点x(n),得到两个N点 实序列x1(m)和x2(n) (n)=x(2n) n=0,1,,N-1 ()=x(2n+1)n=0,1,…,N-1 根据DIFT的思想,只要求得x1(n)和x2(m)的N点DFT, 再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点DFT。因为 x1(m)和x(m)均为实序列,所以根据DFT的共轭对称性,可用 次N点FFT求得X1(k)和x2(k)。具体方法如下 令 y(n)=x1(n)+x2(n) Y(k)=DFT[y(m)]k=0,1,,N-1 则 x1(k)=DFT[x(m)=e2(k)==[(k)+(N-k 2 2(k)=DFT2(n)=(k)==[(k)-(N-k 2N点DFT[x(n)]=X(k)可由X(k)和(k)得到 X(k)=x1(k)+W2-X2(k) k=0,1, I(k+N)=1(k)-2x2(k)

这样,通过一次N点IFT计算就完成了计算2N点DFT。 当然还要进行由Y(k)求K1(k)、K(k)和Y(k)的运算(运算量相对 很少) (2)与(1)相同,设 x(n)=x(2n) 1=0,1,…,N-1 (n)=x(2n+1) n=0.1 x1(k)=DFT[x1(m)]k=0,1,…,N-1 2(k)=DFT[x(n)]k=0,1,…,N-1 则应满足关系式 I(k)=1(k)+2x2(k) k=0.1、……,N X(k+N)=1(k)-W2xX2(k) 由上式可解出 1(k)=[X(k)+X(k+N k=0.1.2N-1 2(k)=[Y(k)+X(k+N)J 由以上分析可得出运算过程如下 ①由X(k)计算出X(k)和X2(k) x1()==[X(k)+X(k+M) x2(k)=[(k)+I(k+N)2

②由X(k)和×2(k构成N点频域序列Yk) Y(k)=×1(4)+×2(k)=Yep(k)+Yo() 其中,Ye()=X1(,Yop(k)=X,进行N点F斤T,得到 y(n)=IFFT [Y(k)]=Re Lyn)]+jIm Ly(n)] n=0, 1, ", N-1 由DFT的共轭对称性知 Rely(n=ly(n)+y(n= dFtl(k]=x,(n) jImly(n)==ly(n)+y(n)=dFTl(k)]=jx, (n) ③由x1(m)和x2(n)合成x(n) n=偶数 0≤n≤2N—-1 n=奇数 在编程序实现时,只要将存放X1(m)和x()的两个数组的元素分别依次放入存 放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可