东北财经大学：《随机过程——金融资产定价之应用》第十章 衍生产品的定价—偏微分方程

第十章衍生产品的定价 偏微分方程(R 第一节无风险组合与偏微分方程 第二节衍生产品期权的定价

第十章 衍生产品的定价 --------偏微分方程 (PDE) 第一节 无风险组合与偏微分方程 第二节 衍生产品期权的定价

第一节无风险组合与偏微分方程 无风险组合 衍生产品是以其它证券为基础签订的合同,此 合同有一定的期限,用T来表示到期日, 则衍生工具的价格F只取决于基础证券的价 值S和时间T,即有 F7=F(S,7 首页即在到期日,能确切的知道函数(S,T)的形式

第一节 无风险组合与偏微分方程 一、无风险组合 衍生产品是以其它证券为基础签订的合同，此 合同有一定的期限，用T来表示到期日， 则衍生工具的价格 只取决于基础证券的价 值 和时间T，即有 FT St ( ) F F S T T T = ， 首页 即在到期日, 能确切的知道函数F S T ( ) T ， 的形式

如果知道基础证券的价值的运动规律S,,那 么我们就可以用Ito定理来确定衍生产品的价格 的变化dE 这意味dS1和OF1都与基础证券的不确定性,即 扰动项dW.有关,则这就使得在连续时间下构 造无风险组合成为可能。 方法假定将P元投资于F(S,0)和S的组合 P=0,F(S, t)+e2s 其中B1,2分别是购买的衍生工具和基础证券 的数量,其代表组合的权重。当其为常数时 首页则有dP=F+B2CS

如果知道基础证券的价值的运动规律 ，那 么我们就可以用Ito定理来确定衍生产品的价格 的变化 。 这意味 和 都与基础证券的不确定性，即 扰动项 有关，则这就使得在连续时间下构 造无风险组合成为可能。 其中 分别是购买的衍生工具和基础证券 的数量，其代表组合的权重。 当其为常数时 t dS t dFt dS t dF dWt 假定将Pt 元投资于F(S t) t ， 和St 的组合 1 , 2 ( ) P F S t S t t t = +   1 2  , t t t 1 2 则有 dP dF dS = +   具体 方法 首页

假定基础资产遵循随机方程模型 ds,=a(s,, t)dt+o(S,, t )dw 用Ito定理得到衍生资产价格函数的偏微分方程 dF=l Fa+-F o+E ldt+Fodw 首先,由市场参与者来决定组合的权重,2 若取=1B2=F5再连同,和F一起代入 dP=0,dF +eds 则有P=(F+F。a3) 首页 表明上式没有扰动项,P完全可预见,在任意时刻都 是一个确定的增量,这也就意味着组合无风险

假定基础资产遵循随机方程模型 用Ito定理得到衍生资产价格函数的偏微分方程 首先，由市场参与者来决定组合的权重 再连同 和 一起代入 1 2  , t t t 1 2 dP dF dS = +   则有 ( , ) ( , ) t t t t dS a S t dt S t dW = + 1 2 2 t s t ss t t s t t dF F a F F dt F dW     = + + +     t dS t 若取 1 =1  2 = −F s dF 1 2 2 ( ) dP F F dt t t ss t = +  上式没有扰动项， 完全可预见，在任意时刻都 是一个确定的增量，这也就意味着组合无风险。 t 表明 dP 首页

由于无风险,为了避免套利,在相同的时间间隔dt里 增量dP一定等于无风险投资的收益 假定无风险收益为常数r,则 当S不支付红利时,预期的资本收益一定等于rPat 当S,每单位时间支付红利ξ时,预期的资本收益 定等于pot-ldt 以不支付红利的情况为例,则 rPdt= Edt+iF odt 即rP=F+1F∞2 又P=F-FS 故rSF+F+o,F=rF 首页 偏微分方程

由于无风险，为了避免套利，在相同的时间间隔 里， 增量 一定等于无风险投资的收益。 假定无风险收益为常数r，则 以不支付红利的情况为例，则 t dP 当 St 不支付红利时，预期的资本收益一定等于 t rPdt dt 当 每单位时间支付红利 时，预期的资本收益 一定等于 t S  t rPdt dt − 1 2 t t ss t 2 rPdt F dt F dt = +  即 1 2 t t ss t 2 rP F F = +  又 P F F S t s t = − 故 1 2 t s t t ss 2 rS F F F rF + + =  首页 偏微分方程

边界条件 由于以S作为基础产品的衍生产品有许多 种,因而该方程就有许多不同解。要想解出 某种特定的衍生产品,必须用到其边界条件 即一旦给出S和t的边界值,则衍生产品的 价值也就随之确定。 又因为衍生产品的到期日是r,基础证券的价格与 衍生证券的价格之间的关系在到期日是可明 确确定的,即在到期日衍生产品的价格可由 下式给出: F(S,7)=G(S,7) 这里G(是一个关于S,,T的已知函数 则 称此式为偏微分方程的边界条件 首页

由于以S 作为基础产品的衍生产品有许多 种，因而该方程就有许多不同解。要想解出 某种特定的衍生产品，必须用到其边界条件。 即一旦给出S 和t 的边界值，则衍生产品的 价值也就随之确定。 F S T G S T ( T T , , ) = ( ) 这里G() 是一个关于St ，T的已知函数。 边界条件 衍生产品的到期日是T，基础证券的价格与 衍生证券的价格之间的关系在到期日是可明 确确定的，即在到期日衍生产品的价格可由 下式给出： 又因为 则称此式为偏微分方程的边界条件 首页

如欧式看涨期权,若执行价格为K,则边界条件为 F(Sn,7)=max{S-K,0当t=7时 即表示:若到期时股票价格低于执行价格,即 Sr-K<0则此看涨期权就不被执行,期权 就是无价值的。否则期权价值等于股票价格与 执行价格之差。 同样,对欧式看跌期权,则边界条件为 F(S,7)=max[K-S20]当t=T时 首页

如 欧式看涨期权 ，若执行价格为K，则边界条件为 即表示：若到期时股票价格低于执行价格，即 ，则此看涨期权就不被执行，期权 就是无价值的。否则期权价值等于股票价格与 执行价格之差。 F S T S K ( T T , max ,0 ) = −   0 T S K−  当 t T= 时 同样，对欧式看跌期权 ，则边界条件为 F S T K S ( T T , max ,0 ) = −   当 t T= 时 首页

偏微分方程的一般形式 形如 4F+aSF+a2F+aF=0首页 边界条件为 F(Sr, T)=G(Sr,T) 其中,一般变量为S,G()是一个已知函数。 为衍生产品的偏微分方程的一般形式。 为得出衍生工具的无套利价格,需构造无风 说明1险组合,由此方法导出偏微分方程。另外, 边界条件和偏微分方程都受相关衍生产品的 影响

二、偏微分方程的一般形式 形如 边界条件为 0 1 2 3 0 s t ss a F a SF a F a F + + + = F S T G S T ( T T , , ) = ( ) 即为衍生产品的偏微分方程的一般形式。 说明1 为得出衍生工具的无套利价格，需构造无风 险组合，由此方法导出偏微分方程。另外， 边界条件和偏微分方程都受相关衍生产品的 影响。 其中，一般变量为S，G（）是一个已知函数。 首页

说明2这种方法的核心即解一个偏微分方程。即求 函数F(S ,对其求不同的偏导数,代 入方程使其成立。同样,当t=T,函数F 定等于已知函数G-—必需满足的边界条件 在金融领域中边界条件代表各种衍生产品的约 束条款。从现有的金融产品和问题来看,边界条件 是变化的。最明显的边界价值是衍生合同最初和最 终的价值。通常,由金融理论得出一些衍生合同的 价格是基础证券到期日价值的函数,它可作为必须 满足的边界条件。 首页

说明2 这种方法的核心即解一个偏微分方程。即求 函数 ，对其求不同的偏导数, 代 入方程使其成立。同样，当 ,函数F一 定等于已知函数G---必需满足的边界条件。 ( ) F S t t ， t T= 在金融领域中边界条件代表各种衍生产品的约 束条款。从现有的金融产品和问题来看，边界条件 是变化的。最明显的边界价值是衍生合同最初和最 终的价值。通常，由金融理论得出一些衍生合同的 价格是基础证券到期日价值的函数，它可作为必须 满足的边界条件。 首页

三、二阶偏微分方程的类型 首页 对二阶偏微分方程: a +ataf +af ++aF=0 若a2-4a1a10 则称其为双曲线型偏微分方程

三、二阶偏微分方程的类型 对二阶偏微分方程： 0 1 2 3 4 5 0 t s ss tt st a a F a F a F a F a F + + + + + = 若 2 5 3 4 a a a −  4 0 则称其为椭圆型偏微分方程 若 2 5 3 4 a a a − = 4 0 则称其为抛物线型偏微分方程 若 2 a a a 5 3 4 −  4 0 则称其为双曲线型偏微分方程 首页