东北财经大学：《随机过程——金融资产定价之应用》第二章 随机过程的基本概念

第二章随机过程的基本概念 第一节随机过程的定义及其分类 第二节随机过程的分布及其数字特征 第三节复随机过程 第四节几种重要的随机过程简介

第二章 随机过程的基本概念 第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介

第一节随机过程的定义及其分类 一、直观背景及例 例1电话站在时刻时以前接到的呼叫次数 般情况下它是一个随机变数X,并且依赖 时间,即随机变数X(t),t∈[0,24] 例2研究某一商品的销售量 般情况下它是一个随机变数X,并且依赖 时间t,即随机变数X(t),t=1,2 首页

第一节 随机过程的定义及其分类 一、直观背景及例 例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。 例2 研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t=1，2，… 首页

例3国民收入问题 随着各种随机因素的影响而随机变化, 般地有y(t)=C(t)+I(t) 其中C(t)、I(t)分别表示t年的消费和积累 随机过程 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述,但也是有 规律的 首页

例3 国民收入问题 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有 规律的。 随着各种随机因素的影响而随机变化， 一般地有 其中C（t）、I（t）分别表示t年的消费和积累 随机过程 Y(t) = C(t) + I(t) 首页

随机过程的定义 1.随机 设E是随机试验,g={0}是它的的样本 过程空间,T是一个参数集,若对于每一个t∈T 都有随机变量X(t2,O),与之对应 则称依赖于的随机变量X(t2O)为随机 过程,或称为随机函数, 通常记作 X(1),t∈T}或X(1)。 说明1参数集T在实际问题中,常常指的是时 间参数,但有时也用其它物理量作为参 首页 数集

二、随机过程的定义 1．随机 过程 设E是随机试验， ={}是它的的样本 空间，T是一个参数集，若对于每一个 都有随机变量 ，与之对应， 则称依赖于t的随机变量 为随机 过程，或称为随机函数， 通常记作 t T X (t,) X (t,) { X(t) ，t T }或X(t) 。 说明1 参数集T在实际问题中，常常指的是时 间参数，但有时也用其它物理量作为参 首页 数集

说明2随机过程{X(),t∈7}是一个二元函数 因为对于每一个固定的时刻t0∈T, X(t0)是一个随机变量, 并称作随机过程X()在t=0时的一个状态, 它反映了X(t)的“随机”性; 对于每一个O0∈9, X()是一个确定的样本函数, 它反映了X()的变化“过程” 首页

说明2 因为 随机过程{X(t) ，t T }是一个二元函数 对于每一个固定的时刻t 0 T ， ( ) 0 X t 是一个随机变量， 并称作随机过程X(t) 在 0 t = t 时的一个状态， 它反映了X(t) 的“随机”性； 对于每一个0  ， X(t) 是一个确定的样本函数， 它反映了X(t) 的变化“过程”。 首页

2.贝努利过程 设每隔单位时间掷一次硬币,观察它出现 的结果。如果出现正面,记其结果为1;如果 出现反面,记其结果为0。一直抛掷下去,便 可得到一无穷序列 {xn;n=1,2,…;xn=1或0} 因为每次抛掷的结果是一个随机变量(1或0) 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列, 称为随机序列,也可称为随机过程 每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的,并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关 首页

2．贝努利过程 设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现 的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果 出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便 可得到一无穷序列 因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0）， 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列， 称为随机序列，也可称为随机过程。 每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。 { xn ；n =1，2，；xn =1或0 } 首页

设P{xn=1}=p(第n次抛掷出现正面的概率 P{xn=0}=q=1-p(第n次抛掷出现反面的概率) 其中P{xn=1}=p与n无关 且x、xk(i≠k时)是相互独立的随机变量。 称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程 注如果固定观测时刻,则它的试验结果是属于两个 样本点(0,1)所组成的样本空间 如果在二个不同时刻1,t2观测试验结果 则样本空间出现的值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) 则{x12x2}是一个二维随机变量 首页

P 设 { =1 n x }= p （第 n 次抛掷出现正面的概率） P{ = 0 n x }= q = 1−p （第 n 次抛掷出现反面的概率） 其中 P{ xn =1 } = p 与 n 无关， 且 i x 、 k x (i  k 时)是相互独立的随机变量。 称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。 注 如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个 样本点（0，1）所组成的样本空间 如果在二个不同时刻1 t ，2 t 观测试验结果 则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1） 则{ 1 2 x , x }是一个二维随机变量 首页

、随机过程的分类 1、按参数集和状态分类 离散参数 参数参数集的是一个可列集T={0,1,2,…} 分类 连续参数 参数集7的是一个不可列集T={t|t≥0} 状态离散状态 取值是离散的 分类 X(t) 连续状态 取值是连续的 首页

三、随机过程的分类 1、按参数集和状态分类 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…} 离散参数 连续参数 参数 分类 参数集T的是一个不可列集 T ={t | t  0} 状态 分类 离散状态 连续状态 X (t) 取值是离散的 取值是连续的 首页

7离散、I离散 参数T\7离散、I非离散(连续) 状态I 分类非离散(连续)、I离散 T非离散(连续)、I非离散(连续) 2.按过程的概率结构分类 独立随机过程 概率独立增量随机过程 结构 分类马尔可夫过程 平稳随机过程 首页

T离散、I离散 参数T T离散、I非离散（连续） 状态I 分类 概率 结构 分类 2．按过程的概率结构分类 T非离散（连续） 、I离散 T非离散（连续） 、I非离散（连续） 独立随机过程 独立增量随机过程 马尔可夫过程 平稳随机过程 首页

(1)独立随机过程 设{X(t),t∈T}对任意n个不同的t1,t2,…,tn∈T X(1),X(t2),…,X(tn)是相互独立的 则称X(t)为具有独立随机变量的随机过程, 简称独立随机过程。 首页

（1）独立随机过程 简称独立随机过程。 设{ X (t)，t T }对任意 n 个不同的 1 t ， 2 t ，…，t n T ( ) 1 X t ， ( ) 2 X t ，…， ( ) n X t 是相互独立的 则称 X(t) 为具有独立随机变量的随机过程， 首页