东北财经大学：《随机过程——金融资产定价之应用》第四章 随机分析及均方微分方程

第四章随机分析及均方微分方程 第一节二阶矩过程 第二节均方极限 第三节均方连续性 第四节均方导数 第五节均方积分 第六节均方黎曼一司蒂吉斯积分 第七节均方导数与均方积分的分布 第八节均方微分方程

第四章 随机分析及均方微分方程 第一节 二阶矩过程 第二节 均方极限 第三节 均方连续性 第四节 均方导数 第五节 均方积分 第六节 均方黎曼—司蒂吉斯积分 第七节 均方导数与均方积分的分布 第八节 均方微分方程

第一节二阶矩过程 定义 若随机过程{X(t),t∈T},对任意t∈T,有 m()=E[X(t)]<∞o D(t)=E[(X(t)-m()2]<∞ 则称为二阶矩过程 首页

第一节 二阶矩过程 定义 若随机过程{X(t) ,t T }，对任意t T ，有 m(t) = E[X (t)]   ( ) = [( ( ) − ( )) ]   2 D t E X t m t 则称为二阶矩过程 首页

例1设X(t)=X0+,a≤t≤b 其中X0和是相互独立且都服从正态分布N(0,1) 的随机变量,试判断Y(1)为二阶矩过程 解由于X和都服从正态分布,所以x()也具有 正态分布,且 mx(t)=ELX(O]=ELXo+t]=ELXOJ+tE]=0 K(12)=EX(1)X(2)=E(X+吃1)X+吃t2 =E[X]+122]=1+12 令4=2=t,得D(t)=1+t2 故X(1)为二阶矩过程。 首页

例1 其中 和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1） 的随机变量， 解 由于 和V都服从正态分布，所以 也具有 正态分布， 设 X t = X +Vt 0 ( ) ，a  t  b ， X0 试判断 X(t) 为二阶矩过程。 X0 X (t) 且 m (t) E[X(t)] X = [ ] = E X0 +Vt [ ] [ ] 0 = E X0 +tE V = ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 K t t = E X t X t [( )( )] = E X0 +Vt1 X0 +Vt2 [ ] [ ] 2 1 2 2 = E X0 +t t E V 1 1 2 = +t t 令t = t = t 1 2 ，得 D (t) X 2 =1+ t 故 X(t) 为二阶矩过程。 首页

性质阶矩过程的协方差函数一定存在首页 证K(4,12)=coⅵX(t1)2X(2 =E{X(1)-m(1X(t2)-m(2)} 由许瓦兹不等式得 K(1,2)2=E{[X(1)-m(4)[X(2)-m(2)}2 ≤E{X(t1)-m(t1E{X(t2)-m(2)} DX(41)·DX(2) 故|K(212)2<+0 即二阶矩过程X(1)的协方差函数存在 注二阶矩过程的相关函数R(,2)也一定存在

性质 二阶矩过程的协方差函数一定存在 证 ( , ) cov[ ( ), ( )] 1 2 1 2 K t t = X t X t {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} 1 1 2 2 = E X t −m t X t −m t 由许瓦兹不等式得 2 1 1 2 2 2 1 2 | K(t ,t )| =| E{[X(t ) −m(t )][X(t ) − m(t )]}| {[ ( ) ( )] } {[ ( ) ( )] } 2 2 2 2 1 1  E X t − m t E X t − m t [ ( )] [ ( )] 1 2 = D X t D X t 故  + 2 1 2 | K(t ,t )| 即二阶矩过程 X (t) 的协方差函数存在 注 二阶矩过程的相关函数 ( , ) 1 2 R t t 也一定存在。 首页

说明在讨论二阶矩过程中,常假定均值为零, 这样相关函数的形式和协方差函数的形式 相同。 返回 首页

说明 在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零， 这样相关函数的形式和协方差函数的形式 相同。 返回 首页

第二节均方极限 、均方收敛 定义1设随机变量序列{Xn,n=12,}和随机变 量X都存在二阶矩,如果 Iim EL(X-X=0 n→0 则称{Xn}均方收敛于X,或称X是{Xn}的均方极限 记作1.i.mXn=X或简记为1.i.mX=X n→ n 首页

第二节 均方极限 一、均方收敛 定义1 设随机变量序列{ ，n = 1,2,…}和随机变 量X都存在二阶矩， Xn 如果 lim [( ) ] 0 2 − = → E Xn X n 则称{ } Xn 均方收敛于X， 或称X是{ } Xn 的均方极限 记作 Xn = X n →  l.i.m 或简记为 l.i.m Xn = X 首页

二、均方收敛准则 定理1柯西准则 设{xn,n=1,2,…}是二阶矩随机变量序列, 则X,均方收敛的充要条件为 Im ELXn-Xm=0 n→0 n→00 证只证必要性 因为Xn均方收敛于X,所以有 Im ELXn-X=0 lm EL(Xm-X=0 →0 首页

二、均方收敛准则 定理1 柯西准则 则 Xn 均方收敛的充要条件为 证 只证必要性 因为 均方收敛于X， 所以有 设{ Xn ,n = 1,2, …}是二阶矩随机变量序列， lim [( ) ] 0 2 − = → → n m m n E X X Xn lim [( ) ] 0 2 − = → E Xn X n lim [( ) ] 0 2 − = → E X m X m 首页

又由(Xn-Xn)2=[(Xn-X)-(Xn-X)2 ≤2(Xn-X)2+2(Xn-X)2 所以当n→>∞,m→>∞时,得 0≤lmE[(Xn-Xn)2 n→00 00 0 故 ELXn-Xm=0 n→00 n→00 首页

又由 所以 故 lim [( ) ] 0 2 − = → → n m m n E X X 2 2 (X X ) [(X X ) (X X )] n − m = n − − m − 2 2 2(X X ) 2(X X )  n − + m − 当n →  ，m →  时，得 0 lim [( ) ] 2 n m m n  E X − X → → 2{lim [( ) ] lim [( ) ]} 2 2 E X X E X m X m n n  − + − → → = 0 首页

注mB(xn-Xm)=0等价mE(XnXm)存在 n→00 m→00 1→00 其说明随机变量序列X,均方收敛的充要条件是它 的相关函数列按普通极限意义收敛 三、 均方收敛性质 性质1若1.i.mXn=X则 lim EX,=E(X)=E(Ii m Xn) n→00 首页 证由许瓦兹不等式得 E(X)-EX=E(X-XI SEIXn-XI 因imn[E(Xn-X)2]=0故得证 n→0 注当Xn均方收敛于x时,Xn的期望收敛于x的期望

注 等价 存在 其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它 的相关函数列按普通极限意义收敛。 Xn 三、均方收敛性质 性质1 若 则 lim [( ) ] 0 2 − = → → n m m n E X X lim ( ) n m m n E X X → → l.i.m Xn = X lim E[X ] E(X ) n n = → ) E Xn = (l.i.m 证 由许瓦兹不等式得 − = 2 | E(X ) E(X ) | n 2 | E(X X ) | n − 2 E | X X |  n − 因 lim[ ( ) ] 0 故得证 2 − = → E Xn X n 注 当 Xn均方收敛于X时，Xn的期望收敛于X的期望 首页

性质2 若1.i.mXn=X1.i.mY=Y 9y lim E[X, Ym]=E(XY)=E(l i m X, 1.i. m Y) n→00 n→00 证由许瓦兹不等式得 首页 LE(X,)-E(XDE(X Ym-XY =ElX(m-Y+(Xn-XY+(Xn-XCm-YI ELX(Ym-YI+EL(X-X)Y+EL,-X(m-n) ≤{E(X)E(Ym-Y)]}2+,{E[(Xn-X)]E(Y)}2 +El(,-X -YI 因lmnE(Xn-X)2]=0im[E(x-)]=0故得证 n→)0

性质2 若 则 证 由许瓦兹不等式得 l.i.m Xn = X l.i.m Yn = Y lim E[X Y ] E(XY) n m m n = → → ) E Xn Yn = (l.i.m l.i.m | E(X Y ) E(XY)| | E(X Y XY)| n m − = n m − | E[X(Y Y) (X X)Y (X X)(Y Y)]| = m − + n − + n − m − | E[X(Y Y)]| | E[(X X)Y]|  m − + n − | E[(X X)(Y Y)]| + n − m − 2 1 2 2 {E(X )E(Y Y) ]}  m − 2 1 2 {E[(X X ) ]E(Y)} + n − 2 1 2 2 {E[(X X) ]E[(Y Y) ]} + n − m − 因 lim[ ( ) ] 0 2 − = → E Xn X n lim[ ( ) ] 0 2 − = → E Yn Y n 故得证 首页