东北财经大学：《随机过程——金融资产定价之应用》第五章 平稳过程

第五章平稳过程 第一节基本概念 第二节平稳过程相关函数的性质 第三节平稳正态过程与正交增量过程 第四节遍历性定理

第五章 平稳过程 第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理

第一节基本概念 、严平稳过程 定义1设随机过程{X(),t∈T},若对任意n,任意T t∈T t1<t2<…< 当41+z,2+z,…,tn+x∈T时,有 F(12t2,…,tn;x1,x2…,xn) =P{X(t1)≤x12X(2)≤x2,…,X(tn)≤xn)} P{X(1+z)≤x,X(t2+)≤x2,…,X(tn+z)≤xn)} F(t1+,t2+r…,tn+G;x1 则X(t)称为严平稳过程 首页

第一节 基本概念 一、严平稳过程 定义1 设随机过程{X(t) ,t T }， 若对任意n，任意 t 1 ，t 2 ,  ,t n T n t  t  t 1 2  当 + 1 t ， + 2 t ，…，t n + T 时，有 ( , , , , , , ) 1 2 n 1 2 n F t t  t ；x x  x { ( , ( ) , , ( ) )} 1 1 2 2 n n = P X t） x X t  x  X t  x { ( , ( ) , , ( ) )} 1 1 2 2 n n = P X t +） x X t +  x  X t +  x ( , , , , , , ) 1 2 n 1 2 n = F t + t +  t +；x x  x 则 X (t)称为严平稳过程 首页

平稳过程的特点 1严平稳过程X()的一维概率密度f(;x)与t无关 二维概率密度f(t1,2;x1,x2)仅与时间差7=1-t面有关, 而与时间起点无关。 证一维 Ⅺ任眼·旦f(;x)=f(t+r;x) 若令=-t,得 f(t;x)=f(0;x)=f(x) 即一维概率密度f(t;x)与t无关。 同理有一维分布函数也与无关, 首页即F(;x)=F(0x)

二、严平稳过程的特点 1 二维概率密度 仅与时间差 有关， 而与时间起点无关。 证 严平稳过程X(t) 的一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关， ( , , ) 1 2 1 2 f t t ；x x 1 2  = t −t 对任意的 ，必有 f (t；x) = f (t +；x) 若令 = −t ，得 f (t；x) = f (0；x) = f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。 同理有一维分布函数也与t无关， 即 F(t；x) = F(0；x) 一维 首页

证二维 对于二维概率密度,有 f(t1212;x12x2)=f(t1+,t2+v;x12x2) 若令τ=-2,得 f(t12t2;x12x2)=f(1-12DO; f(r; xix 其中=1-t2 同理二维分布函数也仅与时间差z=1-2有关, 而与时间起点无关,即 F(1,12;x12x2)=F(;x1,x2 首页

对于二维概率密度，有 证 二维 ( , , ) 1 2 1 2 f t t ；x x ( , , ) 1 2 1 2 = f t + t +；x x 若令 2  = −t ，得 ( , , ) 1 2 1 2 f t t ；x x ( ,0 , ) 1 2 1 2 = f t −t ；x x ( , ) 1 2 = f ；x x 其中 1 2  = t −t 同理 二维分布函数也仅与时间差 有关， 而与时间起点无关，即 1 2  = t −t ( , , ) 1 2 1 2 F t t ；x x ( , ) 1 2 = F ；x x 首页

2若严平稳过程存在二阶矩,则 1)均值函数为常数:m(t)=E[X()]=m (2)相关函数仅是时间差=1-t2的函数: 记 B(z)=R(t12t2) 证只对连续型的情况 m(0=ELX(=xf(: x)dx +oO xf(x)dx=m 首页

2 若严平稳过程存在二阶矩，则 证 （2）相关函数仅是时间差 的函数： 记 （1）均值函数为常数： m(t) = E[X (t)] = m 1 2  = t −t ( ) ( , ) 1 2 B R t t   = 只对连续型的情况  + − m(t) = E[X(t)] = x f(t；x)dx =  xf x dx = m + − ( ) 首页

R(t, t)=ElX(tX(t,)] ∫x3(5x,x2) 记 ∫」xx2(xx1,x2)z2=B(z) 三、宽平稳过程 定义2设随机过程{X(),t∈T},如果它满足 (1)X()是二阶矩过程; (2)均值函数为常数,即m(t)=E[X(t)=m (3)相关函数R(t12t2)仅依赖z=t1-t2,即 R(12t2)=EX(t1)X(t2)=B(r) 则称()为宽平稳过程,简称平稳过程首页

( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t = E X t X t 1 2 1 2 1 2 1 2 x x f (t ,t ；x , x )dx dx   + − + − = 1 2 1 2 1 2 x x f (；x , x )dx dx   + − + − = = B( ) 记 三、宽平稳过程 定义2 设随机过程{X(t) ，t T }， 如果它满足： （1） X(t) 是二阶矩过程； （2）均值函数为常数，即 m(t) = E[X (t)] = m （3）相关函数 ( , ) 1 2 R t t 仅依赖 1 2  = t −t ，即 ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t = E X t X t = B( ) 则称X (t) 为宽平稳过程， 简称 平稳过程 首页

当为整数集或{mA,m=O.1.2,}时 则称X()为平稳时间序列 注1严平稳过程不一定是宽平稳过程 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程 若严平稳过程存在二阶矩,则它一定是宽平稳过程 注2宽平稳过程也不一定是严平稳过程 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变,这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移 注3利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。 首页

当T为整数集 或 注2 注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。 平稳时间序列 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。 {nt ，n=0,1,2,…}时 则称 X(t) 为 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。 注3 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。 首页

因为均值函数m(t)=m 协方差函数 K(t+t,t)=covX(t+t), X(t) =E{[X(t+z)-m(t+z)X(t)-m()]} ELX(t+rX(o-mElX(OJ-mEIX(t+tl+m =R(+2,t)-m=B(r)-m=K() 即表示协方差函数仅依赖于z,而与t无关,与相关 函数相同。 首页

因为 均值函数 协方差函数 即表示协方差函数仅依赖于 ，而与t无关，与相关 函数相同。 m(t) = m K(t + ,t ) = cov[X (t + ), X (t)] = E{[X (t + ) − m(t + )][X (t) − m(t)]} 2 = E{[X(t + )X(t)]−mE[X(t)]− mE[X(t + )]+ m 2 = R(t +,t ) −m 2 = B( ) − m K( )  =  首页

例1设{X(),t∈7}是相互独立同分布的随机变量序列, 其中T=0,±1,±2,…,且均值和方差为 E[XY()=0D[X()=a2 试讨论随机变量序列X(1)的平稳性。 解因为EX()=0 R(+z,)=E[X(+)X()=0,当z=0 0,当≠0 故X(t)是一个平稳时间序列 注在科学和工程中,例中的过程称为“白噪 声”,它是实际中最常用的噪声模型。 首页

例1 试讨论随机变量序列 的平稳性。 设{ X(t) ,t T }是相互独立同分布的随机变量序列， 其中T = 0，1， 2，， 且均值和方差为 E[X (t)] = 0 2 D[X(t)] = X (t) 解 因为 E[X (t)] = 0 R(t + ,t ) = E[X (t + )X (t)]     = = 0 0 0 2    ，当 ，当 故 X(t) 是一个平稳时间序列。 注 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪 声”，它是实际中最常用的噪声模型。 首页

例2设随机序列{X(t)=sn2mtm,t∈T} 其中7=1,2,…}7是在,1上服从均匀分 布的随机变量, 试讨论随机序列X()的平稳性。 解的密度函数为 0<x<1 f(x) 0,其 所以 首页 ELY(t]= sin 2rtxdx=0 R(t+t,t)=[sin 2r(t +r)xsin 2/txdx=2 当z=0 0,当z≠0 故X(t)是平稳随机序列。 注例2中的过程是宽平稳的,但不是严平稳的 返回

试讨论随机序列 的平稳性。 例2 是在[0，1]上服从均匀分 布的随机变量， 其中T={1，2，…} X (t) 解 设随机序列{ X (t) = sin 2t ，t T }，   的密度函数为      = 0, 其它 1, 0 1 ( ) x f x 所以 [ ( )] sin 2 0 1 0 = =  E X t txdx R(t + ,t ) sin 2(t  )xsin 2txdx 1 0 = +      = = 0 0 0 2 1   ，当 ，当 故 X(t) 是平稳随机序列。 注 例2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的 返回 首页