东北财经大学：《随机过程——金融资产定价之应用》第九章 基础资产价格的变动—随机微分方程

第九章基础资产价格的变动 随机微分方穗 第一节引言 第二节随机微分方程的求解 第三节随机微分方程的主要形式 第四节股票价格对数正态分布的特性

第九章 基础资产价格的变动 -------随机微分方程 第一节 引 言 第二节 随机微分方程的求解 第三节 随机微分方程的主要形式 第四节 股票价格对数正态分布的特性

首页 第一节引言 随机微分方程 ds,=a(S,,t)dt +o(S,,t)dw 即将随机价格的变动分解为可预测和不可预 测两部分,且分解过程用到在时刻信息集。 对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信 息集,那么随机微分方程的含义不同。 如:假如一个市场参与者拥有“內幕信息” 可事先获知影响价格变动的所有随机事件,则 在这种(非现实)情况下上式中的扩展项等于 零

第一节 引 言 随机微分方程 t t t dWt dS = a(S ,t)dt +(S ,t) 即将随机价格的变动分解为可预测和不可预 测两部分，且分解过程用到在时刻t的信息集。 对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信 息集，那么随机微分方程的含义不同。 如：假如一个市场参与者拥有“內幕信息”， 可事先获知影响价格变动的所有随机事件，则 在这种（非现实）情况下上式中的扩展项等于 零。 首页

首页 原因参与者知道dS,将如何变化,他就能完全 预测这一变量,即对任一时刻而言都有 dW=0 因此这类参与者的随机微分方程可写作 ds,=a(s,, t)di 而其他参与者的随机微分方程则是不变 表明随机微分方程的具体形式以及误差项W 的定义都要依赖于信息集{1,t∈0,7]} 即维纳过程W与信息集l,相对应

随机微分方程的具体形式以及误差项 的定义都要依赖于信息集 即维纳过程 与信息集 相对应。 原因 参与者知道 将如何变化，他就能完全 预测这一变量，即对任一时刻而言都有 因此这类参与者的随机微分方程可写作 dSt dS a S t dt t t ( , )  = 而其他参与者的随机微分方程则是不变。 表明 { t I ，t [0,T] } dWt = 0 dWt dWt t I 首页

随机微分方程可用于对衍 生金融资产定价的原因 对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动 此方程不但给出一个规范的模型,而且其推导 过程与金融市场中的交易者行为是一致的 实际上:在一个给定的交易日中,随着时间的 推移,交易者总是不断地预测资产的价格并随 时记录新事件的发生。这些事件中总会包含 些不可预测的部分,但过后这些不可预测部分 也会被观测,此时这些事件均已成为已知事件 并变为交易者拥有的新信息集的一部分。 首页

随机微分方程可用于对衍 生金融资产定价的原因 对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动， 此方程不但给出一个规范的模型，而且其推导 过程与金融市场中的交易者行为是一致的。 实际上：在一个给定的交易日中，随着时间的 推移，交易者总是不断地预测资产的价格并随 时记录新事件的发生。这些事件中总会包含一 些不可预测的部分，但过后这些不可预测部分 也会被观测，此时这些事件均已成为已知事件， 并变为交易者拥有的新信息集的一部分。 首页

随机微分方程 模型一般条件 P(|a(Sn,)|<∞o)=1 P(o(v,)2a<o)=1 即随着时间地推移,主参数和扩展参数不会发 生太大幅度地变动 首页 返回

随机微分方程 模型一般条件 即随着时间地推移，主参数和扩展参数不会发 生太大幅度地变动。 ( | ( , )| ) 1 0   =  P a S u du t u ( ( , ) ) 1 2 0   =  P S u du t  u 首页 返回

第二节随机微分方程的求解 随机微分方程所含未知数是一个随机过程, 因而求其解就是要找寻一个随机过程,使其 运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量的 轨迹相关联。 一、解的含义 首页

第二节 随机微分方程的求解 随机微分方程所含未知数是一个随机过程 ， 因而求其解就是要找寻一个随机过程，使其 运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量的 轨迹相关联。 t S 一、解的含义 首页

首先 观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差 k-Sk=ask-,kh+o(Sk-I kAWk k=1.2…n 若此方程的解是一个随机过程S,,则意味着 、如何找到一系列用k来标识的随机变量,以 满足上式中的增量△S 2、能否知道满足方程的随机过程S.的时态函数 和分布函数 3、对任一给定的a()和o(),能否找到一系列 的随机数对于所有的k而言都满足上面的等式。 首页

观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差 若此方程的解是一个随机过程 ，则意味着 1、如何找到一系列用ｋ来标识的随机变量，以 满足上式中的增量 t S k k k k Wk S − S −1 = a(S −1 , k)h +(S −1 , k) k =1,2n Sk 2、能否知道满足方程的随机过程 的时态函数 和分布函数。 t S 3、对任一给定的 和 ，能否找到一系列 的随机数对于所有的ｋ而言都满足上面的等式。 a()  () 首先 首页

其次」「再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解 如果连续的时间过程S.,对于所有的t>0 满足下列方程 nr ds,S a(s, u du+ l o(s, u)dW 则定义S是随机微分方程的解 ds,=a(S,, t)dt +o(S,t)dw 首页

其次 再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解 如果连续的时间过程 ， t S 满足下列方程 则定义 是随机微分方程 的解。 对于所有的t  0 u t u t u t dSu a(S ,u)du (S ,u)dW 0 0 0 = +  t t t dWt dS = a(S ,t)dt +(S ,t) t S 首页

E、解的类型△S=a(S,0)+o(S,0)dm 1.强解 已知主参数a(),扩展参数()以及随机 变动项dW 则随机过程S +a(Su u)du+lo(Su, u)di 称为随机微分方程的强解 注强解与一般微分方程的解是相似的首页

则随机过程 ： 二、解的类型 1．强解 已知主参数 ，扩展参数 以及随机 变动项 称为随机微分方程 的强解。 u t u t St S a(Su ,u)du (S ,u)dW 0 0 0   = + +  t t t dWt dS = a(S ,t)dt +(S ,t) t S dWt 注 强解与一般微分方程的解是相似的 a()  () 首页

2.弱解 首页 已知主参数(),扩展参数a() 求得过程 f(t, w) 其中W是一维纳过程 使其满足下面随机微分方程 dS=a(Su u)du+o(Su, u)dW 则称S,是随机微分方程的弱解

2．弱解 其中 是一维纳过程. 求得过程 已知主参数 a() ，扩展参数  () st ~ ) ~ ( , ~ t Wt S = f t Wt ~ 使其满足下面随机微分方程 u t u t u t dSu a(S ,u)du (S ,u)dW 0 0 0 = +  则称 ~ st 是随机微分方程的弱解。 首页