东北财经大学：《随机过程——金融资产定价之应用》第六章 鞅和鞅表示

第六章鞅和鞅表示 第一节离散鞅 第二节连续时间鞅 第三节鞅轨迹的特征 第四节鞅举例 第五节鞅表示

第六章 鞅和鞅表示 第一节 离散鞅 第二节 连续时间鞅 第三节 鞅轨迹的特征 第四节 鞅举例 第五节 鞅表示

第一节离散鞅 、离散鞅的定义及性质 定义1某喱{x"}=0丁5…对任意n≥0,有 (1 EIX, koo (2)E(Xn|x0,…,Xn)=X 则称{Xn}为离散鞅序列简称为鞅 首页

第一节 离散鞅 一、离散鞅的定义及性质 定义1 若随机序列{Xn },n = 0,1,2,  对任意n  0，有 （1） E | Xn |  （2） E Xn+ X Xn = Xn ( | , , ) 1 0  则称{ } Xn 为 离散鞅序列 简称为鞅 首页

注如果{Xn}为鞅,则它有某种无后效性 即当已知时刻n以及它以前的值X0,,Xn 那么n+1时刻的值xn+对X0,…,Xn的条件期望 与时刻n以前的值X02…,Xn1无关,并且等于Xn 鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中,他在第n年的赌本为Xn E(Xn1|X02…,X)表示在已知前m年的赌本X0,…,An 的条件下,第n+1年的平均赌本 而鞅E(xn+1|X X)=X则表示这种赌博使第n+1年的 n+1202n)-2n平均赌本仍为第n年的赌本, 首页 这种赌博称为公平赌博

注 无后效性 鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n年的赌本为 表示在已知前n年的赌本 的条件下，第n+1年的平均赌本。 而鞅 则表示这种赌博使第n+1年的 平均赌本仍为第n年的赌本， 这种赌博称为公平赌博。 如果{Xn }为鞅，则它有某种 即当已知时刻 n 以及它以前的值 X Xn , , 0  ， 那么 n+1 时刻的值Xn+1 对 X Xn , , 0  的条件期望 与时刻 n 以前的值 0 1 , , X  Xn− 无关，并且等于 Xn Xn ( | , , ) E Xn+1 X0  Xn X Xn , , 0  E Xn+ X Xn = Xn ( | , , ) 1 0  首页

定义2设{Xn}及{n},n=012,…,为两个随机序列, 对任意n≥0,有 (1)E|Xxnk<∞ (2)Xn是Y0,…,Y的函数 (3)E(X n+1110 ) X 则称{Xn}关于{Yn}为鞅,简称{Xn}为鞅 首页

定义2 对任意n  0，有 （1） E | Xn |  （2） 简称 为鞅 设{ } Xn 及{ } Yn ，n = 0,1,2,  ，为两个随机序列， Xn 是Y0 ，，Yn 的函数； （3） E Xn+ Y Yn = Xn ( | , , ) 1 0  则称{ } Xn 关于{ } Yn 为鞅， { } Xn 首页

定理1{Xn}关于{n}是鞅的充要条件为, 对任意非负整数m,n(m>n)有 E(Xn|Y0,…,Hn)=X 证充分性显然 必要性用归纳法来证 由假设知当m=n+1时(1)成立。 设当m=n+k(k>1)时(1)成立,则有 E(Xn+k+1|10,…,n) E[E(Xn+k+1|1,…,Yn+k)10…n E(Xn+k|Y0,…,n)=X 即当m=n+k+1时(1)成立。首页

定理1 证 充分性显然 { } Xn 关于{ } Yn 是鞅的充要条件为， 对任意非负整数 m，n（m  n ）有 E X m Y Yn = Xn ( | , , ) 0  必要性用归纳法来证 由假设知 （1） 当m = n+1时（1）成立。 设当m = n + k （k 1）时（1）成立， 则有 ( | , , ) E Xn+k+1 Y0  Yn [ ( | , , )| , , ] = E E Xn+k+1 Y0  Yn+k Y0  Yn ( | , , ) = E Xn+k Y0  Yn = Xn 即当m = n + k +1时（1）成立。首页

性质1常数序列{Cn}为鞅。其中Cn=C 证E(cnY02…,n)=E(c|Y2,…,Yn)=c=cn 性质2若{Xn}为鞅,则对任意n≥0,有 EXn=EXO 即X的数学期望EX是一常数EX 证 EXn+=ELE(Xn+Yo,,Ym=EX 依次递推,可得 EXn=EXn1=…=EX0首页

性质1 常数序列 为鞅。 证 性质2 即 证 { }n c 其中c c n = ( | , , ) n 1 Y0 Yn E c +  ( | , , ) Y0 Yn = E c  n = c = c 若{ } Xn 为鞅，则对任意n  0 ，有 EXn = EX0 Xn 的数学期望EXn 是一常数EX0 [ ( | , , )] EXn+1 = E E Xn+1 Y0  Yn = EXn 依次递推，可得 EXn = EXn−1 == EX0 首页

首页 例1设{xn}(n=0.12,…)为独立随机序列, Y0=0且对任意n≥0有E=0 令Xn=∑K则{Xn}关于{Xn}是鞅 k=0 证由条件期望的性质可得 E|Xnk∑EVk∞ 且E(Xn+1Y02…,n)=EI(Xn+Ym1)|,…, E(Xn|Y…Yn)+E(Yn+1|Y6,…,n) Xn+ EnmI= X 所以{Xn}关于{n}是鞅

例1 令 且对任意 有 证 由条件期望的性质可得 设{ } Yn （n = 0,1,2,  ）为独立随机序列， 0 Y0 = k n k Xn  Y = = 0 E(Xn+1 |Y0 ,  ,Yn ) = [( )| , , ] E Xn +Yn+1 Y0  Yn ( | , , ) = E Xn Y0  Yn ( | , , ) + E Yn+1 Y0  Yn = Xn + EYn+1 = Xn n  0 EYn = 0 则{ } Xn 关于{ } Yn 是鞅     = | | | | 0 k n k E Xn E Y 且 所以 { } Xn 关于{ } Yn 是鞅 首页

例2设{x}是任一随机序列,X为满足E|XkO的任一随机变量 令X=E(X 0 n)n≥0 n 首页 则{X}关于{Xn}是鞅 证 E|Xn=E|E(X|Y…,Vn) ≤E[E(X‖12…,V)=E|Xk<∞o (2)E(X n+1 0 Yn) EE(X|Y0,…,n+1)Y02…,n E[E(X|Y02…,Vn)|10 1n+1 E(X|Y02…,Vn)=Xn 所以{Xn}关于{Yn}是鞅

例 2 令 证 （ 1 ） 设{ } Yn 是任一随机序列， X 为满足 E | X |  的任一随机变量 ( | , , ) Xn = E X Y0  Yn n  0 则{ } Xn 关于{ } Yn 是鞅 | | | ( | , , )| E Xn = E E X Y0  Yn [ (| || , , )]  E E X Y0  Yn = E | X |  （ 2 ） ( | , , ) E Xn + 1 Y0  Yn [ ( | , , )| , , ] = E E X Y0  Yn+1 Y0  Yn ( | , , ) = E X Y0  Yn = Xn 所以 { } Xn 关于{ } Yn 是鞅。 [ ( | , , )| , , ] = E E X Y0  Yn Y0  Yn+1 首页

二、 、上、下鞅的定义及性质 定义3设{Xn}及{n},n=0.1.2,…,为两个随机序列, 对任意n≥0,有 (1)E|Xnk∞ 首页 (2)Xn是1…,Vn的函数 (3)E(Xn1|12…,yn)≤Xn 则称{Xn}关于{Yn}为上鞅简称{Xn}为上鞅 类似下鞅 E(Xn+1|1,…,Vn)≥Xn

定义3 对任意n  0，有 （1） E | Xn |  （2） 简称 为上鞅 设{ } Xn 及{ } Yn ，n = 0,1,2,  ，为两个随机序列， Xn 是Y0 ，，Yn 的函数； （3） { } Xn 二、上、下鞅的定义及性质 E Xn+ Y Yn  Xn ( | , , ) 1 0  则称{ } Xn 关于{ } Yn 为上鞅 类似 下鞅 E Xn+ Y Yn  Xn ( | , , ) 1 0  首页

关于上、下鞅的的直观解释: 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本, 即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博; 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本, 即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质3{X为鞅的充分必要条件是{Xn}既为上鞅 也为下鞅。 性质4{X}上被〉(x}下映 {Xn}下鞅 Xn}上鞅 首页

关于上、下鞅的的直观解释： 上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本， 即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博； 下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本， 即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。 性质3 为鞅的充分必要条件是， 既为上鞅 也为下鞅。 性质4 上鞅 { } Xn { } Xn { } Xn {−Xn } 下鞅 {Xn } 下鞅 {−Xn } 上鞅 首页