华东交通大学:《离散数学》课程教学资源(PPT课件讲稿)第五章 代数系统的一般性质

第五章代教系统的一性质 551二元运算及事华质 552代数系统及其子代数 553代数系统的同态与同构 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 1 第五章 代数系统的一般性质 §5.1 二元运算及其性质 §5.2 代数系统及其子代数 §5.3 代数系统的同态与同构

85.1二元远算及其性质 一、二元运算的概念 二元运算:设为集合,函数f:SxS→S称为S上 的一个二元运算,简称为二元运算。 集合对运算的封闭性:给定集合S,如果对集合上 的所有元素进行某种运算后,运算结果仍 在中,则称集合S对该运算封闭。 验证运算是否为集合S上的二元运算,首先需要 验证集合S对该运算的封闭性。 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 2 如:集合 验证运算是否为集合 Z对加、减、乘法封闭,但对除法不封闭。 S上的二元运算,首先需要 验证集合S对该运算的封闭性。 一、二元运算的概念 二元运算:设S为集合,函数f : S S → S称为S上 的一个二元运算,简称为二元运算。 §5.1 二元运算及其性质 集合对运算的封闭性:给定集合S ,如果对集合上 的所有元素进行某种运算后,运算结果仍 在S中,则称集合S对该运算封闭

一、二元运算的概念(续) 常见二元运算: (1)设f:NxN→N,∫(x,y)=x+y,则是集合 N上的二元运算。即自然数集合N上的加法运算 是N上的二元运算,但减法不是。 (2)整数集合z上的加、减、乘法运算是z上的二元 运算,但除法不是。 (3)设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合,则矩阵的 加法和乘法都是M(R)上的二元运算。 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 3 一、二元运算的概念(续) 常见二元运算: (1) 设f : N N → N,f () = x + y,则f 是集合 N上的二元运算。即自然数集合N上的加法运算 是N上的二元运算,但减法不是。 (2) 整数集合Z上的加、减、乘法运算是Z上的二元 运算,但除法不是。 (3) 设Mn (R)表示所有n阶实矩阵的集合,则矩阵的 加法和乘法都是Mn (R)上的二元运算

一、二元运算的概念(续) (4)S为任意集合,P(S为其幂集,则∪,∩,-,⊕都 是P(S)上的二元运算。 (5)S为集合,S是S上的所有函数的集合,则合成 运算。是S上的二元运算。 n元运算:设S为集台,n为正整数,则函数 ∫:S×Sx.×S→S称为S上的一个n元运算, 简称为n元运算。 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 4 一、二元运算的概念(续) (4) S为任意集合,P(S)为其幂集,则∪,∩, − , 都 是P(S)上的二元运算。 (5) S为集合, S S是S上的所有函数的集合,则合成 运算 是S S上的二元运算。 n元运算:设S为集合,n为正整数,则函数 f : S S … S → S称为S上的一个n元运算, 简称为n元运算。 n个

一、二元运算的概念(续) n元运算通常用符号。,*,°,A…来表示。 如:f:NxN→N,对x,y∈N, f∫(<x,y)=x+y可简记为。(x,y)=x+y 可κxoy=x+y g:N→N,∫(x)=y可简记为。(x)=y 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 5 一、二元运算的概念(续) n元运算通常用符号 , , • , …来表示。 如: f : N N → N,对 x, yN , f () = x + y 可简记为 (x, y) = x + y 或x y = x + y。 g : N → N,f (x) = y 可简记为 (x) = y

一、二元运算的概念(续) 有限集上的一元、二元运算也可用运算表给出 o(;) n o(a aoa 2 o(( 2 ao a n a.o a 2 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 6 一、二元运算的概念(续) 有限集上的一元、二元运算也可用运算表给出。 a1 a1 a1 a1 a2 … a1 an a1 a2 … an a2 a2 a1 a2 a2 … a2 an an an a1 an a2 … an an … … … … an (an ) (ai ) a1 (a1 ) a2 (a2 ) … …

一、二元运算的概念(续) 例1:设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算如下: xoy=(xy)mod5,Vx,y∈S。 求。的运算表。 234 22413 33142 321 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 7 一、二元运算的概念(续) 例1:设S ={1, 2, 3, 4},定义S上的二元运算如下: x y = (xy) mod 5, x, yS。 求 的运算表。 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1

、二元运算的性质 1、交換律:设。是S上的二元运算,若对x,y∈S都 有xoy=yox,则称运算。在S上是可交换的。 如:Z上的加法满足交换律,但减法不满足交换律。 幂集P(S)上的U,∩,⊕满足交换律 2、结合律:设。是S上的二元运算,若对yx,y,z∈S 都有(xy)oz=x°(°z),则称运算。在S上 是可结合的。 如:z上的减法不满足结合律。幂集P(S)上的U,∩, 满足结合律。 2021/2/24 离散数学
2021/2/24 离散数学 8 如:Z上的减法不满足结合律。幂集P(S)上的∪,∩, 满足结合律。 二、二元运算的性质 1、交换律:设 是S上的二元运算,若对 x, yS都 有x y = y x,则称运算 在S上是可交换的。 2、结合律:设 是S上的二元运算,若对 x, y, z S 都有(x y) z = x (y z),则称运算 在S上 是可结合的。 如:Z上的加法满足交换律,但减法不满足交换律。 幂集P(S)上的∪,∩, 满足交换律

、二元运算的性质(续) 3、幂等律:设。是S上的二元运算,着对x∈S都 有xox=x,则称运算适合幂等律。 也即是S中的所有元素都是幂等元。 如:幂集P(S上的υ,∩运算适合幂等律,但⊕运算 不适合幂等律。 2021/2/24 离散数学 9
2021/2/24 离散数学 9 二、二元运算的性质(续) 3、幂等律:设 是S上的二元运算,若对 xS都 有x x = x,则称运算 适合幂等律。 也即是 S中的所有元素都是幂等元。 如:幂集P(S)上的∪,∩运算适合幂等律,但 运算 不适合幂等律

、二元运算的性质(续) 4、分配律:设。和*是S上的两个二元运算,若对 Ⅴx,y,z∈S都有x*(°)=(x*y)o(x*z) 和(°z)*x=(*x)(z*x),则称运算* 对。适合分配律。 如:R上的乘法对加法满足分配律,加法对乘法不 满足分配律。幂集PS)上的U和∩是相互可分 配的。 2021/2/24 离散数学 10
2021/2/24 离散数学 10 4、分配律:设 和 是S上的两个二元运算,若对 x, y, z S都有x (y z) = (x y) (x z) 和(y z) x = (y x) (z x),则称运算 对 适合分配律。 二、二元运算的性质(续) 如: R上的乘法对加法满足分配律,加法对乘法不 满足分配律。幂集P(S)上的∪和∩是相互可分 配的
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