华东交通大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 几个典型的代数系统

第六章几个典烈的代数系统 §6.1半与详 §62格与布尔代数 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 1 第六章 几个典型的代数系统 §6.1 半群与群 §6.2 格与布尔代数

86.1半群与群 半群的概念 半群:设V=是代数系统,是二元运算。 如果。在S上是可结合的,则称为半群。 即对x,y,z∈S,有(xoy)oz=xo(。z) 如:,,,,,,,都是半群, 但不是半群。 可变换半群:如果半群V=中的二元运算。是 可交换的,则称V为可交换半群。國心 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 2 可交换半群：如果半群V = 中的二元运算 是 可交换的，则称V为可交换半群。 一、半群的概念 半群：设V = 是代数系统， 是二元运算。 如果 在S上是可结合的，则称V为半群。 即对 x, y, z S，有(x  y)  z = x  (y  z)。 §6.1 半群与群 如：, , , , , , , , 都是半群， 但不是半群

一、半群的概念(续) 含幺半群(独异点):如果半群V=的二元 运算含有幺元,则称为含幺半群(独异点 职彐e∈S,使得对x∈S都有e。x=xoe=x 独异点亦可记为。 如:,,,, ,,, 都是独异点,但不是独异点。 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 3 一、半群的概念（续） 含幺半群（独异点）：如果半群V = 的二元 运算 含有幺元，则称V为含幺半群(独异点)。 即 eS，使得对 xS都有e  x = x  e = x。 独异点亦可记为。 如：, , , , , , , 都是独异点，但不是独异点

独异点的性质:是独异点,则*的运算表 中没有任何两行或两列相同 证明:任取a,b(≠b所在行,由于A中含有幺元e, 我们比较a行,b行中e列的元素 a e=a b*e=b 因为:m≠b,所以*≠b*已,从而a行与b行不同, 同理可证任两列不同 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 4 独异点的性质：是独异点, 则的运算表 中没有任何两行或两列相同. 证明： 任取a,b (ab)所在行,由于A中含有幺元e, 我们比较a行,b行中e列的元素 a  e = a b  e = b 因为： ab,所以ae  be,从而a行与b行不同, 同理可证任两列不同

一、半群的概念(续) 子半群:半群的子代数。 即设=是半群,BcS且B≠, 若B对。运算封闭,则和是的子半群,且是 的子独异点,但却不是。 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 5 一、半群的概念（续） 子半群：半群的子代数。 即设V = 是半群，B  S且B  ， 若B对 运算封闭，则是V的子半群。 子独异点：含幺元的子半群。 即设V = 是独异点，B  S且B  ， 若B对 运算封闭，且eB，则是V 的子独异点。 如：和是的子半群，且是 的子独异点，但却不是

一、半群的概念(续) 半髒中的幂:设半群V=,则对vx∈S, x1=x,x+l=x"ox,(m为正整数) 幂运算的性质: roh=xm+", (xmy=xm(m,m为正整数) 独异点中的幂:设独异点V=<S,°,E,则对x∈eS, x0=e,xm+l=xnox,(n为自然数) 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 6 一、半群的概念（续） 半群中的幂：设半群V = ，则对 xS， x 1 = x，x n+1 = x n  x，(n为正整数) 独异点中的幂：设独异点V = ，则对 xS， x 0 = e，x n+1 = x n  x，(n为自然数) 幂运算的性质： x m  x n = x m + n ， (x m) n = x mn (m, n为正整数)

一、半群的概念(续) 半群的同恣:设V1=,V2=为半群, q:S1→S2,且对vx,y∈S1有 Poy)=p(x)*o) 则称是半群v到V2的同态。 独异点的同态:设V=,V2= 为独异点,q:S1→S2,且对vx,y∈S有 P(xoy)=o(x)*ov,o(el=ex 则称ρ是独异点到V2的同态。 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 7 一、半群的概念（续） 半群的同态：设V1 = ，V2 = 为半群，  : S1 → S2 , 且对 x, yS1有  (x  y) =  (x)   (y)， 则称 是半群V1到V2的同态。 独异点的同态：设V1 = ，V2 = 为独异点， : S1 → S2 , 且对 x, yS1有  (x  y) =  (x)   (y)， (e1 ) = e2， 则称 是独异点V1到V2的同态

一、半群的概念(续) a 0 如:半群V=<S,“,其中S a,d∈R 0 d 为矩阵乘法。令9:S→S,(a0)=(a0 0d)(00 则是半群的自同态,且同态象为<g(S),°, 其中p(S)=a0 a∈R 0 但是不是独异点V=S,(10的自同态。 0 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 8 一、半群的概念（续） 如：半群V = ，其中S = ， •为矩阵乘法。令 : S → S,  ( ) = ， 则 是半群V的自同态，且同态象为， 其中 (S) = 。 但是不是独异点V = 的自同态。                a d R d a , 0 0         d a 0 0         0 0 a 0                a R a 0 0 0         0 1 1 0

、群的概念 群:设Ⅳ=是代数系统,是二元运算。 如果。在G上是可结合的,存在幺元e∈G, 并且G中的任意元素x都有x-1∈G, 则称V=为群。 如:,,,,<Mn(R),不是。 代数系/( 半群 独异点(6 群 2021/2/24 离散数学 9

2021/2/24 离散数学 9 二、群的概念 群：设V = 是代数系统， 是二元运算。 如果 在G上是可结合的，存在幺元eG， 并且G中的任意元素x 都有x –1 G ， 则称V = 为群。 如：, , , 是群， 但, 不是。 代数系统 独异点 群 (1) (2) (3) 半群

群的概念(续) 有限群:G为有限集的群称为有限群, 否则称为无限群。 G为有限群的阶。 如:,为无限群,为有限群。 交换群:若群中的二元运算。是可交换的, 则称群为交换群,也称阿贝尔群。 如:,,,都是 阿贝尔群。 2021/2/24 离散数学 10

2021/2/24 离散数学 10 二、群的概念（续） 有限群：G为有限集的群称为有限群， 否则称为无限群。 |G|为有限群的阶。 交换群：若群中的二元运算 是可交换的， 则称群为交换群，也称阿贝尔群。 如：, 为无限群，为有限群。 如：, , , 都是 阿贝尔群