广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十五章（15-2）以2L为周期的函数的展开

生第二节以2L为周期的函数的展开 以2为周期的函数的傅立叶级数 二偶函数与奇函数的傅立叶级数 三典型例题分析 四小结 上页

第二节 以2L为周期的函数的展开 • 一 以2l为周期的函数的傅立叶级数 • 二 偶函数与奇函数的傅立叶级数 • 三 典型例题分析 • 四 小结

生一、以L为周期的傅氏级数 2π兀 ∵T=21.∴0== 代入傅氏级数中 T l × ∑(an, cos nar+ sIn nor) n=1 庄定理设周期为的周期函数∫(满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 (x)=0+(an+:nt nTr nTtr 2 n-=1 上页

一、以2L为周期的傅氏级数 T = 2l, . 2 T l  =   = 定理 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n  +  = +  = ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n + n  +   = 代入傅氏级数中

其中系数an,b为 a nTr in-i/()cos i dx, (n=0,1,2,) f(r)sin 而dx,(n=1,2,…) 上页

其中系数an , bn为 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 =   = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 =   = − dx n l n x f x l b l l n

生三偶函数与奇函数的傅立叶级数 上(如果(x)为奇函数则有 f(x)=>b,sin nTx H=1 其中系数b为bn=2f(x)sin"d,(n=1,2,…) 上页

二 偶函数与奇函数的傅立叶级数 (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1   =  = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n   其中系数 为 = (n = 1,2, )

(2)如果f(x)为偶函数,则有 f(x)=+∑a,c0s nTur H-=1 其中系数a为an=2(x)cos nt dx 0 (n=0,1,2,…) ntr 上证明令1~1≤x≤1→-π≤z≤, 设(x2=r(k,=F(,F(o以m为周期 F(z)=+2(a, cos nz+b, sin nz ) 2 上页

(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0   =  = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n   = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z  令 = − l  x  l  −  z  , ( ) ( ) F(z), lz f x f =  设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = +  n +  =

其中 F(z)cos nzdz, T兀 T F(sin nzdz TC :z=,F(z)=f(x) 庄f(=+(0wx+bs 2 n=1 工工 其中an= ngC f(r)cos xdx, n70 f(x)sin xdx 上页

( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n  +  = +  = ( )sin . 1 ( )cos , 1    −  −  =  = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1   − −  =  = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z =   =

oo 定义如果f(x)为奇函数傅氏级数∑bn SInn 称为正弦级数 如果f(x)为偶函数,傅氏级数 ∑ a. cos nx 2 称为余弦级数 上页

定义 如果 f (x)为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1   = 称为正弦级数. 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 +   = 称为余弦级数

生三、典型例题 例1设∫(x)是周期为2兀的周期函数,它在 -兀,兀)上的表达式为f(x)=x,将f(x)展开成 傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 午在点x=(k+1)mk=0土1,处不连续, 收敛于/(=0)+/(元+02m+分 2 2 在连续点x(x≠(2k+1)π)处收敛于f(x), 上页

例 1 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它 在 [−,)上的表达式为 f ( x) = x ,将f (x) 展开成 傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2  + (−) = = 0, 在连续点x(x  (2k +1))处收敛于f (x), 三、典型例题

x≠(2k+1)时f(x)是以2π为周期的奇函数, 和函数图象 3π-2元 死/2兀3元 0,(n=0,1,2,…) 上页

−   − 3 − 2 −   2 3 x y0  x  (2k +1)时 f (x)是以2为周期的奇函数, 和函数图象a = 0, (n = 0,1,2,) n

b.= 2 n T o/(r)sin ndx==5oxsinnxdr T xcos sinu 210 T n n 2 2 =--c0sm兀=2(-1)”+ ,(n=1,2 n n f(x)=2(sin x-sin 2x +sin 3x-.) 3 n+1 ∑ SInx (-0<x<+0;x≠土π,士3π,…) 上页 圆

  =  0 ( )sin 2 bn f x nxdx   =  0 sin 2 x nxdx  − +  = 2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − n n cos 2 ( 1) , 2 +1 = − n n (n = 1,2, ) sin3 ) 3 1 sin2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1   = + − = n n nx n (−  x  +; x  ,  3, )