广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二十一章（21=6）重积分的应用

S6重积分的应用 教学内容:曲面的面积

§6 重积分的应用 教学内容：曲面的面积

问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应 地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时, 相应地部分量可近似地表示为f(x,y)do的形式, 其中(x,y)在d内.这个f(x,y)d称为所求量U 的微元,记为U,所求量的积分表达式为 U=』f(x,ya

一、问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. d d f (x, y)d (x, y) f (x, y)d 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 (即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应 地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且 在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时， 相应地部分量可近似地表示为 的形式， 其中 在 内．这个 称为所求量U 的微元，记为 ，所求量的积分表达式为  = D U f (x, y)d dU

曲面的面积 实例一颗地球的同步轨道通讯 卫星 卫星的轨道位于地球的赤道平面 内,且可近似认为是圆轨道.通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同,即人们看到它在 天空不动.若地球半径取为R, 问卫星距地面的高度应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大?

实例 一颗地球的同步轨道通讯 卫星的轨道位于地球的赤道平面 内，且可近似认为是圆轨道．通 讯卫星运行的角速率与地球自转 的角速率相同，即人们看到它在 天空不动．若地球半径取为R， 问卫星距地面的高度h 应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ 二、曲面的面积 卫星 h o x z

设曲面的方程为:z=f(x,y) 在xoy面上的投影区域为D S 如图,设小区域d∈D, dA 点(x,y)∈dσ, ∑为S上过M(x,y,f(x,p)/O (x,y) 的切平面. do 以d边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为dA, 则有dA4≈ds

１．设曲面的方程为： z = f (x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 设小区域 d  D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面  为 S 上过 M x y f x y dA ds. s ds dA d z    则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s  o 

d为d4在xoy面上的投影,d=losy ICOS 2 1+f+f d=1+/f2+fh曲面s的面积元素 A=v1+f+fado 曲面积公式为:A=∫y+2+2d

d 为dA 在 xoy 面上的投影, dA = + f x + f y d 2 2 1 1 , 2 2   = + + D A f x f y d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： z dAd n 

同理可得 2.设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面面积公式为:4=1+gy2+g:dhu; 3.设曲面的方程为:y=h(3,x) 曲面面积公式为:A 11+hath dzdx

３．设曲面的方程为： y = h(z, x) 曲面面积公式为： 1 . 2 2 A h h dzdx Dz x =  + z + x ２．设曲面的方程为： x = g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ; 2 2 A g g dydz Dyz =  + y + z 同理可得

例1求圆锥=√x2+y2,含在圆柱体 x2+y2=x内部的那部分面积 解:在平面上的投影域为D:x2+y2≤x, 2 vx + y x + y 2-+z 面积=2h=2

例 1 求圆锥 2 2 z = x + y ，含在圆柱体 x + y = x 2 2 内部的那部分面积. 在 xy 平面上的投影域为 2 2 x y x z x + = 2 2 x y y z y + = 1 2 2 2 + z x + z y =  4 2 = 2 =  S dxdy Dxy 面积 解：