广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二十一章（21.3）格林公式、曲线积分与路径的无关性

S3格林公式、曲线积外与路 径的无关性 教学内容:1格林公式 2第二型曲线积分与路线的无关性 3全微分式及其原函数 教学难点:格林公式用于奇点的研究

§3 格林公式、曲线积分与路 径的无关性 教学内容：1.格林公式 2.第二型曲线积分与路线的无关性 3.全微分式及其原函数 教学难点：格林公式用于奇点的研究

格林公式 1区域D边界曲线L的方向 设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线组成 若沿边界行走时,区域D总在左边,此时,行走 方向定义为L的正方向,记为L; 与正方向相反的称为L的负方向,记为L

一、格林公式 1.区域D边界曲线L的方向 设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线组成 若沿边界行走时，区域D总在左边，此时，行走 方向定义为L的正方向，记为L； 与正方向相反的称为L的负方向，记为-L。 D L D L

2格林公式 定理21.11设闭区域D由分段光滑的曲线 L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有 阶连续偏导数,则有 00 oP ax ay dxdy=f Pdx+Ody (1) 其中L是D的取正向的边界曲线, 式(1)叫做格林公式

设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围 成,函 数P(x, y)及Q(x, y)在 D上具有 一阶连续偏导数, 则 有   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) (1) 其 中L是D的取正向的边界曲线, 公 式(1)叫 做格林公式. 定理21.11 2.格林公式

证明思路: ①D既是ⅹ型区域也是y-型区域 曲线ACB:y=y(x) B 曲线AEB:y=y2(x) 曲线CAE:x=x1(y) 曲线CEE:x=x2(y) D=(x,y)a≤x≤b(x)≤y≤y2(x) D=(xy)sy≤d,x(0y)≤x≤x2(y)

证明思路： ①D既是x-型区域也是y-型区域 a b c d D A B C E O x y : ( ) 1 曲线ACB y = y x : ( ) 2 曲线AEB y = y x : ( ) 1 曲线CAE x = x y : ( ) 2 曲线CBE x = x y D = (x, y) a  x  b, y1 (x)  y  y2 (x) D = (x, y) c  y  d, x1 (y)  x  x2 (y)

②D由一按段光滑闭曲线围成 C 先把D分为有限个类型①的子区域,再用可加性

②D由一按段光滑闭曲线围成 L1 L3 L2 D1 D3 D2 A B C 先把D分为有限个类型①的子区域，再用可加性

③D由几条闭曲线围成 1 L=AB+BL2B+BA+AFLC+CE+EL3E+e<+CGLA

③D由几条闭曲线围成 D C F A G B E L1 L3 L = AB + BL2 B + BA + AFL1 C +CE + EL3 E + EC +CGL1 A L1 L2

3几点说明 (1)格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的第 二型曲线积分与二重积分之间的联系 (2)便于记忆形式: ∫axoy.dy=JPdc+小 DP Q 其中L为D的边界曲线,取正向 (3)格林公式用于封闭曲线 不是封闭线要添加直线或曲线成为封闭线

3.几点说明 ⑴格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的第 二型曲线积分与二重积分之间的联系. (2)便于记忆形式:    = +    L D dxdy Pdx Qdy P Q x y . 其中L为D的边界曲线，取正向 (3)格林公式用于封闭曲线 不是封闭线要添加直线或曲线成为封闭线

(4)格林公式可用于求平面图形的面积 △D= 2JI Ddx+xd 4应用格林公式求曲线积分 步骤:1先作图并检查是否封闭曲线 2找P(xy)及Q(x2y),并检查是否满足定理的条件; 3根据格林公式化为二重积分并求出其值; 4若有添加直线或曲线,则要求出该直线 或曲线积分,再求题目要求的值

(4)格林公式可用于求平面图形的面积   = − + L D ydx xdy 2 1 4.应用格林公式求曲线积分 步骤：1.先作图并检查是否封闭曲线； 2.找P(x,y)及Q(x,y),并检查是否满足定理的条件; 3.根据格林公式化为二重积分并求出其值; 4.若有添加直线或曲线，则要求出该直线 或曲线积分，再求题目要求的值

例1计算[xdy其中曲 AB 线AB是半径为的圆在 第一象限部分. D B

L x y o A B D 例 1 计算AB xdy,其中曲 线AB是半径为r 的圆在 第一象限部分

例2计算ead,其中D是 以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点 的三角形闭区域 BD

例 2 计算 − D y e dxdy 2 ,其中 D 是 以 O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点 的三角形闭区域. x y o B A D