广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二十一章（21.4）二重积分的变量交换

s4二重积分的交量交换 教学内容:1.二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换 3二重积分的极坐标变换 教学重点:二重积分的变量变换(主要为线性变换, (广义)极坐标变换) 教学难点:变量变换后积分限的确定

§4 二重积分的变量交换 教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换， （广义）极坐标变换） 教学内容：1.二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换 3.二重积分的极坐标变换 教学难点：变量变换后积分限的确定

二重积分的变量交换公式 1引理: 变换T:x=x(l,v),y=y(l,v).0v平面上 由按段光滑封闭曲线所围的闭区域Δ,一对一地 映成xoy平面上的闭区域D,且满足 (1)x(u,yv),y(u2y)在Δ上具有一阶连续偏导数; (2)在Δ上雅可比式J(l,y) ≠0 (l,y) 则区域D的面积(D)=(0t

一、二重积分的变量交换公式 1.引理：

2.二重积分的变量替换公式: 定理21.13设f(x,y)在xOy平面上的有界闭区域 D上可积,变换T:x=x(uv),y=y(l,y)将uov 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域Δ 地映成xoy平面上的闭区域D,且满足 (1)x(u,v),y(u,v)在Δ上具有一阶连续偏导数; (2)在△上雅可比式J(a,yx,y)≠0, (,v) 则有(x,y)d=小1x(x,)y(,(x,h x,y的范围 u,v的范围 要加绝对值

( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) . 0; ( , ) ( , ) (2) ( , ) (1) ( , ), ( , ) : ( , ), ( , ) 21.13 ( , )    =     =   = = f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv u v x y J u v x u v y u v xoy D D T x x u v y y u v uov f x y xoy D 则有 在 上雅可比式 在 上具有一阶连续偏导数； 地映成 平面上的闭区域 ，且满足 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一一 上可积，变换 将 定理 设 在 平面上的有界闭区域 2.二重积分的变量替换公式： x,y的范围 u,v的范围 要加绝对值

3利用一般变量替换求二重积分 步骤:(1)根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换 习惯上:设x=x(l,y),y=y(,y) (2)出J(4)=xy) a(,v) 若是设u=l(x,y),v=v(x,y),求/两种办法 (1)先求出x=x(l,y),y=y(,y),再求 (i)先求出 (l,v) ,再求 a(x,y) d(u, v) a(x,y

3.利用一般变量替换求二重积分 步骤：⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换; 习惯上：设x = x(u,v), y = y(u,v) ( , ) ( , ) (2) ( , ) u v x y J u v   求出 = 若是设u = u(x, y), v = v(x, y),求J有两种办法 (i)先求出x = x(u,v), y = y(u,v)，再求J ( , ) ( , ) 1 , ( , ) ( , ) ( ) x y u v J x y u v ii     先求出 再求 ＝

(3)在变换下确定uv的范围△; 把变换代入D的边界曲线中,求出△的边界曲线 作图 (4)代入变换替换公式,化为关于u,v的二重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值 题型一:引入变量替换后,化为累次积分 例1:P242习题3(2) 原式=f(vcos4v,sin4)4sn3vcos3w △:0≤≤a.0≤p≤x 2

(3)在变换下确定u,v的范围△; 把变换代入D的边界曲线中，求出的边界曲线 作图 (4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值。 题型一：引入变量替换后，化为累次积分 例1：P242习题3（2） ( cos , sin )4 sin cos . 4 4 3 3   原式 = f u v u v u v vdudv 2 : 0 ,0    u  a  v 

题型二:作适当的变量替换,计算二重积分 例2计算「ehh其中D是由x=0、y=0和直线 x+y=1所围成的闭区域 1x+y=1 L L=1 D I x L

例2 D x y o x + y = 1  u v o u = −v u = v v =1 题型二：作适当的变量替换，计算二重积分 1 1

例3求抛物线y2=mx,y2=n和直线y=an,y= 所围区域D的面积(D)0<m<n0<a<B) y=a

例3 O x y

二、用极坐标计算二重积分 1变换 P(x y) 变换T:x=rcos0,y=rsnO 其中r为极径,0为OP与x轴正向的夹角 0<r<+0.0<<2兀 此时J(r,0)=r 2适用范围 (1)D为圆域或圆域的一部分; (2)被积函数含x2+y2形式

二、用极坐标计算二重积分 1.变换 变换T : x = r cos, y = rsin     0  r  +,0   2 其中r为极径， 为OP与x轴正向的夹角 . O x y P(x,y) r  此时J(r,) = r 2.适用范围 (1)D为圆域或圆域的一部分； (2)被积函数含 x 2 + y 2 形式

3变换公式 △ 217+△r)2△6;-27Aa =2(2+△r)△r△B+M b=.+△6 △ F+(r1+△r) △r:△6 9 ·△r△6 i 5 I/(x, y)drdy=[/(rcos e, rsin 0XOdrde 二重积分化为二次积分的公式

i i i i i i  = r + r   − r   2 2 2 1 ( ) 2 1 i i i i = (2r + r )r   2 1 i i i i i r r r r    + +  = 2 ( ) , i i i = r  r   ( , ) ( cos , sin ) .    = D D f x y dxdy f r  r  r drd  i A o D i r = r i i r = r + r  =  i +  i  =  i 3.变换公式 ————二重积分化为二次积分的公式

3D的确定 把极坐标代入边界得出D的边界 ①二重积分化为二次积分的公式(1) 区域特征如图 r=q() () a≤6sB, q(6)≤r≤q2(6) D f(rcos 0, sino)rdrde 0 =∫n 92(6) |f(rcosθ, rsin 0)rlr. q1(0)

( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1   =       d f r  r  rdr  D f (r cos ,rsin )rdrd 区域特征如图      , ( ) ( ). 1   r  2    A D o ( ) 1 r =   ( ) 2 r =   ①二重积分化为二次积分的公式（１） 3.D'的确定 把极坐标代入边界得出D'的边界