广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二十二章（22.2）第二型曲面积分

§2第二型曲面积分 教学内容:1.曲面的侧 2第二型曲面积分的概念 3第二型曲面积分的计算 教学重点:1第二型曲面积分的方向性 2JR(,,)型积分的计算 教学难点:第二型曲面积分的概念与计算

§2 第二型曲面积分 教学内容： 1.曲面的侧 2.第二型曲面积分的概念 3.第二型曲面积分的计算 教学难点：第二型曲面积分的概念与计算 教学重点：1.第二型曲面积分的方向性

基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧

一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧

曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面 典型双侧曲面 2 口 2

n  曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典 型 双 侧 曲 面

典型单侧曲面:莫比乌斯带

典型单侧曲面: 莫比乌斯带 播放

曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面∑上取一小块 曲面△S△S在xoy面上的投影(△S)为 (△a)x当cosy>0时 (△S)x={-(△a)当cosy<0时 当c0sy=0时 其中(△σ)表示投影区域的面积

曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: , S在xoy面 在有向曲面Σ上取一小块 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      = −      = 当 时 当 时 当 时      x y x y S x y 其中( ) 表示投影区域的面积.  xy 曲面 S 上的投影(S) xy为

第二型曲面积分的概念 1.实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量ν,有向平面区域A,求单位 时间流过A的流体的质量Φ(假定密度为1) 流量 ①= Acos 6 4v·n=p·A

二、第二型曲面积分的概念 1.实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v  ,有向平面区域 A,求单位 时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1). A v  0 n   A Av n v A Av      =  =   = 0 cos 流量

(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1) 的速度场由 v (x,y, z=P(x,y, )i+e(x, y,j+r(x,y, z k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 (x,y,3),Q(x,y,z),R(x,y,z) 都在∑上连续,求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量

(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P( x, y,z), Q( x, y,z), R( x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 . x y z o 

(1).分割把曲面Σ分成n小块△s,(△s同时也代表 第小块曲面的面积), 在△S,上任取一点 z△S (5,m;) ; 则该点流速为v 法向量为n

x y z o  • Si ( , , ) i i i    i v  ni  把曲面Σ分成n 小块 i s ( i s 同时也代表 第i小块曲面的面积), 在 i s 上任取一点 ( , , )  i i  i , (1). 分割 则该点流速为 . i v  法向量为 . ni 

(2)近似代替 (51,,5) P(5,1,5i+Q(5;,,5)+R(5,m,5;)k, 该点处曲面∑的单位法向量 n:=cos a, i +cos Bj+ cos y, h, 通过Δs,流向指定侧的流量的近似值为 n, AS(i=

该点处曲面Σ的单位法向量 ni i i i j i k     cos cos  cos  0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i  i i =  ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i                 = + + = (2). 近似代替

(3).求和通过Σ流向指定侧的流量 ①≈∑可n△S i=1 ∑|P(5,m,41)c0sa1+Q(5;,n,5)cos月 +R(Si, ni, Cosy As ∑|P(5,m,41)△S)2+Q(5,m,5)AS) i=1 +R(5,m;5)(△S)x (4).取极限λ→>0取极限得到流量Φ的精确值

i i i i i i i i i n i i i i i R S P Q +  =  + = ( , , )cos ] [ ( , , )cos ( , , )cos 1             i i i i x y yz i i i i x z n i i i i i R S P S Q S ( , , )( ) [ ( , , )( ) ( , , )( ) 1 +  =   +  =          (4).取极限  → 0取极限得到流量的精确值. (3). 求和 通过Σ流向指定侧的流量 =     n i i ni Si v 1