广州大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）第二章 数列极限（2.4）函数特性

§4具有某些特性的函数 有界函数若函数f(x)在定义域D上既有上界又有下界,则 称为D上的有界函数。这个定义显然等价于,对一切x∈D,恒有|f(x)sK 有界函数的几何意义 有界函数 yf() 无界函数 请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义 例(x)=xmx,x∈0,+∞)是无界函数。 证明对任意的M>0,在:m 丌 M X 丌 f(xm=n+->M

1 §4 具有某些特性的函数 1 . 有界函数 若函数 在定义域 上既有上界又有下界，则 称 为 上的有界函数。这个定义显然等价于，对一切 ，恒有 有界函数的几何意义 请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。 例 是无界函数。 证明 对任意的 ，存在 ，取 ，则

单调函数 看下面函数的图像,给出单调函数 的定义(a8)(a10) y=f(r) ∫(x1) (x2)

2 2 . 单调函数 看下面函数的图像，给出单调函数 的定义 (a8) (a10)

奇函数与偶函数 (1)定义域关于原点对称 f(r) fcx 奇函数 (2)奇函数(偶函数) 对任何x∈D 有 f(-x)=-f(x).(f(-x)=f(x) 两条缺一不可 clf,x=-2:1/20:2;y1=x.^3;y2=x.^2-1 subplot(1, 2, 1) plot(x, yl, r,linewidth, 2), hold on plot(-1.8,1.8],[0,0]) plot([0,0],[-6,6]) legend(x^3”) subplot (1, 2, 2) plot(x, y2, r,linewidth, 2), hold on 1ot(-1.8,1.8],[0,0])

3 奇函数与偶函数 （1）定义域关于原点对称 （2）奇函数（偶函数） 对任何 有 ，（ ） 两条缺一不可。 clf, x=-2:1/20:2; y1=x.^3; y2=x.^2-1; subplot(1,2,1) plot(x,y1,'r','linewidth',2),hold on plot([-1.8,1.8],[0,0]) plot([0,0],[-6,6]) legend('x^3') subplot(1,2,2) plot(x,y2,'r','linewidth',2),hold on plot([-1.8,1.8],[0,0])

plot([0,0],[2,4]) axis([-2,2,-2,4]) legend(x2) 奇、偶函数的运算性质 请看下面几个图象,回答奇偶函数的运算性质 c1f,x=-1.2i:1/20:1.2*pi; subplot(2, 2, 1) y1=sin(x).*. 3; plot(x, y1, 'r', 'linewidth, 2) hold on plot([-44],[0,0],"b’,[0,0],[-35,10],b) title( 3*sinx); hold on subplot ( 2, 2, 2) y 2=cos(x).*x. 2; plot(x, y2, r, linewidth, 2) hold on plot([-44],[0,0],b’,[0,0],[-15,5],b) title(x 2*cosx) subplot ( 2, 2, 3) y3=sin(x). *cos(x): plot(x, y3, r, 'linewidth, 2) hold on plot([-44],[0,0],b',[0,0],[0.5,0.5],’b)

4 plot([0,0],[-2,4]) axis([-2,2,-2,4]), legend('x^2'); 奇、偶函数的运算性质 请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质 clf, x=-1.2*pi:1/20:1.2*pi; subplot(2,2,1); y1=sin(x).*x.^3; plot(x,y1,'r','linewidth',2), hold on plot([-4,4],[0,0],'b',[0,0],[-35,10],'b') title('x^3*sinx');hold on subplot(2,2,2) y2=cos(x).*x.^2; plot(x,y2,'r','linewidth',2) hold on plot([-4,4],[0,0],'b',[0,0],[-15,5],'b') title('x^2*cosx'); subplot(2,2,3); y3=sin(x).*cos(x);plot(x,y3,'r','linewidth',2) hold on plot([-4,4],[0,0],'b',[0,0],[-0.5,0.5],'b')

title( sinx*cosx) subplot(2, 2, 4): y4=3*sin(x)+sin (x / 3) plot(x,y4,’r',' linewidth’,2) hold on plot([-44],[0,0],"b’,[0,0],[2,15],b’), title(3(sinx+sinx/3)’) axis([-44-4,20]) 3·s1X E arcos 3(1x+:1x/3) 周期函数 例如常见的三角函数 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期

5 title('sinx*cosx'); subplot(2,2,4);y4=3*sin(x)+sin(x./3); plot(x,y4,'r','linewidth',2) hold on plot([-4,4],[0,0],'b',[0,0],[-2,15],'b'),title('3(sinx+sinx/3)') axis([-4,4,-4,20]); 周期函数 例如常见的三角函数 1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期

有的周期函数不一定有最小周期,例如常函数是周期函数,狄里克雷函数,它 们显然没有最小周期 周期函数运算后的周期 clf,x=2*pi:1/20:2*pi subplot(2, 1, 1) y1=2*sin(4*x).*os(8*x);p1ot(x,y1) hold on plot([6,6],[0,0],r3,[0,0],[-2,2],’r3), hold on plot(pi/2,pi/2],[2,2],r) title(2sin2x*cos4x): hold on subplot(2, 1, 2) y 2=sin(2*x)+cos(4*x): plot(x, y2) hold on plot([-6,6],[0,0],’r’,[0,0],[-2,2],’r3), hold on plot(pi,pi],[-2,2],’r-) title sin2xtcos4x) axis([-6,6,-2,2]) 2l2x·c0:4x 42x+c044x 2 6

6 2) 有的周期函数不一定有最小周期 ，例如常函数是周期函数， 狄里克雷函数，它 们显然没有最小周期 周期函数运算后的周期 clf, x=-2*pi:1/20:2*pi; subplot(2,1,1); y1=2*sin(4*x).*cos(8*x); plot(x,y1) hold on plot([-6,6],[0,0],'r',[0,0],[-2,2],'r'),hold on plot([pi/2,pi/2],[-2,2],'r-') title('2sin2x*cos4x');hold on subplot(2,1,2) y2=sin(2*x)+cos(4*x); plot(x,y2) hold on plot([-6,6],[0,0],'r',[0,0],[-2,2],'r'),hold on plot([pi,pi],[-2,2],'r-') title('sin2x+cos4x'); axis([-6,6,-2,2])

两个周期函数的和函数的周期是多少?

7 两个周期函数的和函数的周期是多少？