上海交通大学自动化系：《控制理论基础》第四章 控制系统的稳定性分析（4-4）Nyquist 稳定性判据（田作华）

复习 第四章控制系统的稳定性分析 第四节 Nyquist稳定性判据 基本思想:利用系统的开环频率特性判别闭 环系统的稳定性

1 第四节 Nyquist 稳定性判据 基本思想：利用系统的开环频率特性判别闭 环系统的稳定性。 第四章 控制系统的稳定性分析 复习

预备知识幅角定理 幅角定理: F(s)是s的单值有理函数,在平面上任一闭合路 径包围了F)的Z个零点和P个极点,并且不经过F(s) 的任一零点和极点,则当s沿闭合路径方向旋 转一圈时,映射到F(s)平面内的F(s)曲线 绕原 点(Z-P)圈。即 N=Z-P (或逆时针绕原点N=P-Z圈) 其中:N为圈数 逆时针为正, 顺时针为负

2 一、预备知识——幅角定理 幅角定理： F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路 径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s) 的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋 转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原 点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数 逆时针为正， 顺时针为负

二、奈魁斯特稳定性判据 1、线性系统的特征方程 运动方程一般形式:r()输入c(t)输出 d c(t dn- c(t) dc(t) d r(t) (t) +a ∴+a +.c(t)=b t b +bor(t) dt 特征方程 as"+asn-1+……a,s+a=0 系统传递函数C(s)_bnsm+bn-s+…bs+b R(S n-1 anS十a,_1S a, s+a 系统结构为 R(s)+E(S) C(s) G(s) G(S) (s) )1+G(s)H(s) 比较得到闭环系统的特征方程(闭环传递函数的分母=0) F(s)=1+G(s)H(s)=a,sn+a_s a, s+a=0

3 二、奈魁斯特稳定性判据 1、线性系统的特征方程 运动方程一般形式： r(t)——输入 c(t)——输出 特征方程 系统传递函数 系统结构为： 比较得到闭环系统的特征方程（闭环传递函数的分母＝0） a c(t) dt dc(t) a dt d c(t) a dt d c(t) a n-1 1 0 n-1 n-1 n n-1 n n n + ++ + b r(t) dt dr(t) b dt d r(t) b dt d r(t) b m-1 1 0 m-1 m-1 m m-1 m m = m + ++ + + _ R s( ) C s( ) H s( ) B s( ) E s( ) G s( ) 1 G(s)H(s) G(s) R(s) C(s) + = 1 0 n 1 n 1 n n 1 0 m 1 m 1 m m a s a s a s a b s b s b s b R(s) C(s) + + + + + + = − − − −   a s a s a1 s a 0 0 n 1 n 1 n n + − − + + ＝ F(s) 1 G(s)H(s) a s a s a1 s a 0 0 n 1 n 1 n ＝ + ＝ n + − − + + ＝

2.奈氏路径 令:一→-1→+1→+→-闷顺时针方向包围整个s 右半平面。当F(s) ▲ 有若干个极点处 Jo 于s平面虚轴(包 s平面 括原点)上时, 则以这些点为圆 R 心,作半径为无 +j0 穷小的半圆,按的极点 逆时针方向从右 侧绕过这些点

4 2．奈氏路径 令： 顺时针方向包围整个s 右半平面。当F(s) 有若干个极点处 于s平面虚轴（包 括原点）上时， 则以这些点为圆 心，作半径为无 穷小的半圆，按 逆时针方向从右 侧绕过这些点。 j  j 1 j 1 − j F s( )的极点 R  − j − j0 + j0 s平面 s = − j → − j0 → + j0 → + j → − j

3.奈氏判据 设:F)=1+6/——闭环系统特征多项式 显然:F(s)的零点就是闭环系统的极点 (1)1+G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈,根据幅角定理,F(s)平 面上绘制的FS)曲线F逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差: N=P-Z 当Z=0即(N=P)时,说明系统闭环传递函数无极 点在s右半开平面,系统是稳定的;反之,系统则是不 稳定的

5 3. 奈氏判据 设： ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF 逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0 即（N= P ）时，说明系统闭环传递函数无极 点在 s 右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不 稳定的。 F(S) =1+G(s)H(s)

(2)G(s)H()平面上的系统稳定性分析奈氏判据 因为1+G(s)H(s)与G(s)H(s)之间相差1,所以系统的稳定性可表 达成: 奈氏判据:闭环系统稳定的充要条件:s沿着奈氏路径绕 圈,G(ju)H(ju)曲线逆时针绕(-1,j0)点的P圈(N=P)。 P为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0,且N=0,即曲线不包围(-1,j0)点,则闭环系 统稳定; b.若P≠0,且N=P,即曲线逆时针绕(-1,j0)点P圈,则闭 环系统稳定,否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取; Z=PN c.若曲线通过(-1,j0)点L次,则说明闭环系统有L个极点 分布在s平面的虚轴上

6 （2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据 因为1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 之间相差1，所以系统的稳定性可表 达成： 奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件：s沿着奈氏路径绕一 圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈（N=P ）。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0，且 N=0，即曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定； b.若P≠0，且N=P，即曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭 环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PN c.若曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点 分布在s平面的虚轴上

例:一系统开环传递函数为: (a>0) 试判别系统的稳定性 0=-00 解:本系统的开环频率特性 G(OHgo Jo O=1→-10→+10→+变 化时,系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右半平面,即:P=1 图中奈氏曲线是逆时针方向绕(-1,j0)点的1圈,即N=1 根据奈氏判据,闭环系统在s右半平面极点数Z=PN=1-1=0 所以系统稳定

7 例: 一系统开环传递函数为： 试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性 当 变 化时，系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即N=1。 根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0 所以系统稳定。 ( a 0) 1 ( ) ( )  − = s a G s H s 1 ( ) ( ) − =    j a G j H j  = − j → − j0 → + j0 → + j  −2 −1 0  = −  =   Re Im

绘画乃氏曲线过程中: 当s从-j转到+j0时,G(sH(s)的奈氏曲线以半径 为无穷大,顺时针转过Dr 当s沿奈氏曲线从+j到-j∞时,对nm的系 统,G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径,绕原 点逆时针转过(n-m)π

8 绘画乃氏曲线过程中： 当s从-j0转到+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以半径 为无穷大，顺时针转过 。 当 s 沿奈氏曲线从+j∞到 - j∞时，对n>m的系 统，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原 点逆时针转过（ n - m）π。 

例:一系统的开环传递函数为: G(S)H(S) K1(S-1) S(S+1) (k>0) 试判断系统的稳定性 C=0 解: G(OH(o) K1(j-1) jo(j@+1) 先作+0到+jo时的 2K O→+0 0 G(jo)H(jo)曲线。再根 据对称性,作出-0到 jo时的G(jo)H(jo)曲线。 0

9 例： 一系统的开环传递函数为： 试判断系统的稳定性 解： 先作+j 0到+j∞时的 G(jω)H(jω)曲线。再根 据对称性，作出-j 0到 -j∞时的G(jω)H(jω)曲线。 ( k 0) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1  + − = s s K s G s H s ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 + − =      j j K j G j H j Im Re 2K    = 1 0 − 1  0 + =  0 − =  +  − K1

当b1时,s从-j0转到+j G(0)H(j)曲线以半径为无 =0 穷大,顺时针转过π角(图中 虚线)。并可求得,0=±1时, GoH(jo)与实轴交风。 0→-00 K 从图可见,G(s)H(s)的奈氏曲 ±1 线顺时针绕(-1,j0)点一圈, N=-1,又因为P=0,所以 ZEP-N=I 说明为不稳定系统,有一个闭 环极点在s的右半平面

10 当 时 ， s 从 - j 0转到 +j 0 ， G(jω)H(jω) 曲线以半径为无 穷大 ，顺时针转过 π 角 （图中 虚线）。并可求得 ，  =  1 时 ， G(j )H(j  )与实轴交 。 从图可见 ，G(s)H(s)的奈氏曲 线顺时针绕 ( - 1, j0 ) 点一圈 ， N = - 1 ，又因为P = 0 ，所以 Z = P - N= 1 ， 说明为不稳定系统 ，有一个闭 环极点在 s的右半平面 。  = 1 K1 Im Re 2 K    = 1 0 − 1  0 + =  0 − =  +   −  K1