上海交通大学自动化系：《控制理论基础》第五章 控制系统的误差分析（5-1）误差的基本概念（田作华）

第五章控制系统的误差分析 对于一个稳定的控制系统而言,稳态误差 是反映其控制精度的一种度量,通常又称为稳 态性能 研究表明:稳态误差与系统的结构、输入信 号的形式有很大关系。控制系统设计的任务之 就是要保证系统在稳定的前提下,尽量地减 小仍至消除稳态误差

1 第五章 控制系统的误差分析 对于一个稳定的控制系统而言，稳态误差 是反映其控制精度的一种度量，通常又称为稳 态性能。 研究表明：稳态误差与系统的结构、输入信 号的形式有很大关系。控制系统设计的任务之 一就是要保证系统在稳定的前提下，尽量地减 小仍至消除稳态误差

第一节误差的基本概念 误差与稳态误差 1.定义 R(S) E(s) C(S) G(S) B(s) 1误差的两种定义: a.从输出端定义等于系统输出量的实际值与希望值之差。 这种方法在性能指标提法中经常使用,但在实际系统中 有时无法测量。因此,一般只具有数学意义。 b.从输入端定义,等于系统的输入信号与主反馈信号之 差 e()=r(t)-b()

2 一、误差与稳态误差 1．定义 ⑴ 误差的两种定义： a. 从输出端定义:等于系统输出量的实际值与希望值之差。 这种方法在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中 有时无法测量。因此，一般只具有数学意义。 b. 从输入端定义，等于系统的输入信号与主反馈信号之 差. 第一节 误差的基本概念 R s( ) C s( ) G s( ) B s( ) + E s( ) − H s( ) e(t) = r(t) − b(t)

或区(3)=R(S)-B()=R(S)-C(S)H()=R+G(S)H( 若设 E(s) R(s) 1+G(S)H(s) 式中@(}系统的误差传递函数。得到 E(s)=①(s)R(s) 这种方法定义的误差,在实际系统中是可测量的,故具有 定的物理意义。以后我们均采用从系统输入端定义的误差 来进行计算和分析 误差本身是时间的函数,其时域表达式为 =LL(=L四S)R)=O+O 式中:[O)动态分量 e0)稳态分量

3 或 若设 式中 ——系统的误差传递函数。得到 这种方法定义的误差，在实际系统中是可测量的，故具有 一定的物理意义。以后我们均采用从系统输入端定义的误差 来进行计算和分析。 误差本身是时间的函数，其时域表达式为： 式中： ——动态分量， ——稳态分量。 E(s) = R(s) − B(s) = R(s) −C(s)H(s) = R(s)[1+ G(s)H(s)] 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) R s G s H s E s s e +  = = (s) e E(s) (s)R(s) = e ( )  ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 e t L E s L s R s e t e t = = e = t s + s s − − e (t) ts e (t) ss

(2)稳态误差 稳态误差圖误差信号的稳态分量(Q。 对稳定系统而言,随着时间趋于无穷,系统的动 态过程结束,[将趋于零。根据拉氏变换终值定 理,稳定的非单位反馈系统的稳态误差为 R(s) ese= lim e(t)=lim SE(s)=lim s t→)∞ s→0 s→01+G(s)H(S) 由上式可知,控制系统的稳态误差与输入信号的 形式和开环传递函数的结构有关。当输入信号形式 确定后,系统的稳态误差就取决于以开环传递函数 描述的系统结构

4 ⑵ 稳态误差 稳态误差 :误差信号 的稳态分量 。 对稳定系统而言，随着时间趋于无穷，系统的动 态过程结束， 将趋于零。根据拉氏变换终值定 理，稳定的非单位反馈系统的稳态误差为 由上式可知，控制系统的稳态误差与输入信号的 形式和开环传递函数的结构有关。当输入信号形式 确定后，系统的稳态误差就取决于以开环传递函数 描述的系统结构。 e (t) ss () ss e ss e e (t) ts 1 ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim 0 0 G s H s R s e e t sE s s t s s s s + = = = → → →

20 例:一系统的开环传递函数(M (0.5s+1)(0.04s+1) 求:r(=1(t)及时的稳态误差 解 e, R(s= lim s (0.5s+1)(0.04s+1) R(s s→>01+G(s)H(S s→>0(0.5s+1)(0.04s+1)+20 r(t)=1(t)时,R(s)=1/s ssIm~(0.5s+1)(004s+1) 0.05 s→>0(0.5s+1)(0.04s+1)+20s21 r(t)=t时,R(s)=1/s2 S (0.5s+1)(0.04s+1)1 50(0.5+1)(0.04s+1)+20s2

5 例: 一系统的开环传递函数 求：r(t)=1(t)及t时的稳态误差 解: (0.5 1)(0.04 1) 20 ( ) ( ) + + = s s G s H s ( ) (0.5 1)(0.04 1) 20 (0.5 1)(0.04 1) ( ) lim 1 ( ) ( ) 1 lim 0 0 R s s s s s R s s G s H s e s s s s s + + + + + = + = → → 0.05 21 1 1 (0.5 1)(0.04 1) 20 (0.5 1)(0.04 1) lim 0 • =  + + + + + = → s s s s s e s s s s r(t) = 1(t) 时, R(s)=1/s r(t) = t 时, R(s)=1/s2 • =  + + + + + = → 2 0 1 (0.5 1)(0.04 1) 20 (0.5 1)(0.04 1) lim s s s s s e s s ss

2.系统扰动作用下的稳态误差 系统经常处于各种扰动作用下。如:负载力矩的 变化,电源电压和频率的波动,环境温度的变化等 因此系统在扰动作用下的稳态误差数值,反映了系 统的抗干扰能力。 D(S) R(S) E(S C(s) G(s) B(s) H(S) 得到系统的输出拉氏变换表达式为 C(s)=D(S)+E(S)G(S)=D(S)+G(s[R()-H(sC(s] C(s) D(S) G(s) R(S 1+G(SH(S) 1+G(SH(S)

6 2. 系统扰动作用下的稳态误差 系统经常处于各种扰动作用下。如：负载力矩的 变化，电源电压和频率的波动，环境温度的变化等。 因此系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系 统的抗干扰能力。 得到系统的输出拉氏变换表达式为 R s( ) C s( ) D s( ) E s( ) B s( ) − G s( ) H s( ) + + + C(s) = D(s) + E(s)G(s) = D(s) +G(s)R(s) − H(s)C(s) R(s) 1 G(s)H(s) G(s) 1 G(s)H(s) D(s) C(s)  + + + =

R(S)=0时:Cs D(S) D(S) 1+G(S)H(s) E(S)=-H(SC(S) R(S) E(S C(s) G()-∞ D(S) B(S 1+G(s)H(S) H 稳态时,误差取其绝对值 ess=lim SE(S)=lim H(S) SD(S S→ S-0 1+G(S)H(S) 若扰动为单位阶跃信号,即D)=1时, H(0 1+G(OH(0)G(0) (G(0)H(0)> 式中:G()=imG(s)

7 R(s)＝0 时： E(s) = -H(s)C(s) 稳态时，误差取其绝对值 若扰动为单位阶跃信号，即 时 ， 式中： 1 G(s)H(s) D(s) C(s) + = D(s) 1 G(s)H(s) H(s)  + − = sD(s) 1 G(s)H(s) H(s) e lim sE(s) lim s 0 s 0 s s  + = = → → s 1 D(s) = G(0) 1 1 G(0)H(0) H(0) ess  + = （G(0)H(0) 1） (0) lim ( ) 0 G G s s→ = R s( ) C s( ) D s( ) E s( ) B s( ) − G s( ) H s( ) + + +

分析可知: 扰动作用点前的系统前向通道传 递系数越大,由扰动引起的稳态误 差就越小 所以,为了降低由扰动引起的稳 态误差,我们可以增大扰动作用 前的前向通道传递系数或者在扰动 作用点以前引入积分环节,但这样 不利于系统的稳定性

8 分析可知: 扰动作用点前的系统前向通道传 递系数越大，由扰动引起的稳态误 差就越小。 所以，为了降低由扰动引起的稳 态误差，我们可以增大扰动作用点 前的前向通道传递系数或者在扰动 作用点以前引入积分环节，但这样 不利于系统的稳定性

第二节稳态误差系数与稳态误差 不同信号作用下的稳态误差计算问题 (1)单位阶跃信号作用下的稳态误差 e =lim Se(s)=lim s 1+G(S)H(s)s1+ mg(S)h( 定义:K=mG(SH(--为系统的稳态位置误差系数。 对于0型系统 K(1+71s)1+z2s)…(1+mS) K s→>0 (1+Ts)(1+72s)…(1+Tn 对于型及型以上系统 K(1+1s)(1+z2s)…(1+ns) K=lim 0s0s(1+Ts(1+T2s)…(1+TnNs)

9 第二节 稳态误差系数与稳态误差 一 、 不同信号作用下的稳态误差计算问题 （1）单位阶跃信号作用下的稳态误差 定义： ----为系统的稳态位置误差系数。 对于0型系统: 对于I型及I型以上系统: G s H s s e sE s s s s s s 1 1 ( ) ( ) 1 lim ( ) lim 0 0  + = =  → → 1 lim ( ) ( ) 1 0 G s H s s→ + = lim ( ) ( ) 0 K G s H s s p → = K T s T s T s K s s s K n m s p = + + + + + + = → (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) lim 1 2 1 2 0      =  + + + + + + = − → (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) lim 1 2 1 2 0 s T s T s T s K s s s K n N N m s p      (N = 0) (N  1)

于是,稳态误差可表示为: K=K N=O 1+K 0K=0N≥ 0型系统对阶跃信号的稳态误差 为一定值,园大小基本上与开 C 环放大系数区成反比,K越大 啁越小,但总有误差,除非w 为无穷大。所以0型系统又称为 有差系统。为了降低稳态误 差园,在稳定条件允许的前提 下,可增大开环放大系数K

10 于是，稳态误差可表示为： 0型系统对阶跃信号的稳态误差 为一定值， 大小基本上与开 环放大系数 成反比， 越大， 越小，但总有误差，除非 为无穷大。所以0型系统又称为 有差系统。为了降低稳态误 差 ，在稳定条件允许的前提 下，可增大开环放大系数 。      =   = = = + 0 1 0 1 1 K N K K N e K p p s s p K ss e ss e K ss e K r t( ) t ss e c t( ) 0 K