上海交通大学自动化系：《控制理论基础》第四章 控制系统的稳定性分析（4-1）系统的稳定性（田作华）

第四章控制系统的稳定性分析 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn

1 第四章 控制系统的稳定性分析 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn

第四章控制系统的稳定性分析 第一节稳定性的基本概念 系统的稳定性 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后,能 够恢复到原始的平衡状态,即系统的零输入响应 是收敛的,则称系统是稳定的。 反之,若系统不能恢复到原始的平衡状态, 即系统的零输入响应具有等幅震荡或发散性质, 则称系统是不稳定的

2 第一节 稳定性的基本概念 一、系统的稳定性 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能 够恢复到原始的平衡状态，即系统的零输入响应 是收敛的，则称系统是稳定的。 反之，若系统不能恢复到原始的平衡状态， 即系统的零输入响应具有等幅震荡或发散性质， 则称系统是不稳定的。 第四章 控制系统的稳定性分析

例 稳定系统 不稳定系统 定义表明:线性系统的稳定性仅取决于系统自 身的固有特性,而与外界条件无关。 设系统在初始条件为零,输入为单位脉冲函 数,即R(S)=1。当t>0时,=0,这相当于系 统在扰动信号作用下,输出信号偏离原平衡工作点 的问题。若时,这时系统的输出为脉冲响应 limc(t=o t→)∞ 即输出增量收敛于原平衡工作点,线性系统稳定

3 例： 稳定系统 不稳定系统 定义表明：线性系统的稳定性仅取决于系统自 身的固有特性，而与外界条件无关。 设系统在初始条件为零，输入为单位脉冲函 数，即R（S）=1。当t>0时， =0，这相当于系 统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点 的问题。若时，这时系统的输出为脉冲响应 即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统稳定 。  (t) ( ) 0 lim = → c t t

线性系统稳定的充要条件 设闭环系统的传递函数 C(s)bmS"+ bm-S+.+6S+ o B(S) R(S D (m≤n) anS+an-1S+…+aS+a0 令(=12团为系统特征方程)=的根,而 彼此不等。干扰为理想脉冲函数:R(s)=1 C(s)=B(S) R(S) B(s D(s S =∑+∑ a, S+B +2r=n s-p (σ;+j0,)s-( c(D=cep+2e(A, cosa, t+B, sin@, t)

4 二、线性系统稳定的充要条件 设闭环系统的传递函数 令 为系统特征方程 的根，而 彼此不等。干扰为理想脉冲函数： 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 D s B s a s a s a s a b s b s b s b R s C s s n n n n m m m m = + + + + + + + +  = = − − − −   (m  n) (i =1,2,  ,n) D(s) = 0      = = − + − − + + − = = = r j j j j j j j k i i i s j s j s s p c D s B s R s D s B s C s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       k + 2r = n ( ) ( cos sin ) 1 1 c t c e e A t B t j j j j r j t k i p t i j i    =  + + = = (t  0) i p R(s) = 1

上式表明: 1。当且仅当系统的特征根全部具有负实部(和均小于 零),即特征根的位置分布在S平面的左半部时,才能成 立,此时系统在扰动消失后能恢复到原来的平衡状态,则系 统是稳定的。 2。若特征根中有一个或一个以上正实部根,即根的位 置分布在S平面的右半部,则,表明系统不稳定; 3。若特征根中具有一个或一个以上实部的根为零(虚 根),即根的位置正好分布在S平面的虚轴上,而其余的根 均位于S平面的左半部,此时系统处于临界稳定状态,输出 呈等幅振荡,系统在扰动信号消失后也不能恢复到原来的平 衡位置,按照稳定性定义,也属于不稳定系统

5 上式表明： 1。当且仅当系统的特征根全部具有负实部（和均小于 零），即特征根的位置分布在S平面的左半部时，才能成 立，此时系统在扰动消失后能恢复到原来的平衡状态，则系 统是稳定的。 2。若特征根中有一个或一个以上正实部根，即根的位 置分布在S平面的右半部，则，表明系统不稳定； 3。若特征根中具有一个或一个以上实部的根为零（虚 根），即根的位置正好分布在S平面的虚轴上，而其余的根 均位于S平面的左半部，此时系统处于临界稳定状态，输出 呈等幅振荡，系统在扰动信号消失后也不能恢复到原来的平 衡位置，按照稳定性定义，也属于不稳定系统

结论 线性系统稳定的充要条件是: 闭环系统特征方程的所有根均具 有负实部;或者说,闭环传递函数的 极点均分布在平面的左半部

6 结论： 线性系统稳定的充要条件是： 闭环系统特征方程的所有根均具 有负实部；或者说，闭环传递函数的 极点均分布在平面的左半部

第二节劳斯稳定判据 系统是否稳定 特征方程根的分布 方程的系数 劳斯稳定判据就是根据特征方程的系数 来分析系统的稳定性的一种判据,它避免 了直接求特征方程根的繁琐过程。劳斯稳 定判据一般简称为劳斯判据

7 系统是否稳定 特征方程根的分布 方程的系数 。 劳斯稳定判据就是根据特征方程的系数 来分析系统的稳定性的一种判据，它避免 了直接求特征方程根的繁琐过程。劳斯稳 定判据一般简称为劳斯判据。 第二节 劳斯稳定判据

设线性系统的特征方程为: +am-IS++a, S+ao=0 由代数知识可知:方程的所有根均分布 在左半平面的必要条件是: 特征方程所有系数均为正数。(若均为负数, 方程两边同乘以-1,使之也变为正数),即 若>0(=0数为负或缺项(系 数为零),则可断定此系统为不稳定系统

8 设 线性系统的特征方程为： 由代数知识可知：方程的所有根均分布 在左半平面的必要条件是： 特征方程所有系数均为正数。(若均为负数， 方程两边同乘以-1，使之也变为正数)，即 若特征方程中任一系数为负或缺项（系 数为零），则可断定此系统为不稳定系统。 a 0,(i 0,1 n) i   = 1 0 0 1 1 + + + + = − a s a − S a s a n n n n 

1.劳斯判据 应用劳斯判据分析系统的稳定性步骤: 第一步:将特征方程式+anS++as+a0=0 的系数按下列规则排成两行,即 n, n-4 5 第二步:建立劳斯表(又叫劳斯阵列)。 例:五阶系统,其特征方程: as+as+as'tastasta=o

9 1．劳斯判据 应用劳斯判据分析系统的稳定性步骤： 第一步：将特征方程式 的系数按下列规则排成两行，即 第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程： 1 0 0 1 1 + + + + = − a s a − S a s a n n n n  2 4  , , an an− an− 1 3 5  , , an− an− an− 1 0 0 2 2 3 3 4 4 5 5 a s + a s + a s + a s + a s + a =

S L aadr-asd, aai-asd ,a-aa Aa=0 B1A2-A,B C1B2-0 第三步:根据劳斯判据判别系统的稳定性。 劳斯判据:线性系统稳定的充要条件是: 劳斯表中第一列各值为正,则系统稳定;若劳斯表 中第一列出现负值,则系统不稳定,且实部为正(即 分布在平面右半部)的根的数目,等于劳斯表中第 列系数符号改变的次数

10 第三步：根据劳斯判据判别系统的稳定性。 劳斯判据：线性系统稳定的充要条件是： 劳斯表中第一列各值为正，则系统稳定；若劳斯表 中第一列出现负值，则系统不稳定，且实部为正（即 分布在平面右半部）的根的数目，等于劳斯表中第一 列系数符号改变的次数。 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 0 2 1 1 2 4 2 1 2 4 4 1 5 0 2 4 4 3 5 2 1 3 4 2 0 4 5 3 1 5 B C C B s D B B A A B s C a A A a B A A a a A s B a a a a a A a a a a a s A s a a a s a a a = − = − = = − = − = − = − =