中国科学技术大学：《量子力学》课程教学资源（课件讲义）习题课

量子力学习题课 第五次作业兼期中tips By你们的量子 力学助教

量子力学习题课 第五次作业兼期中tips By 你们的量子 力学助教

Part第五次作业 问题1(表象的变换)自旋为1的粒子的自旋角动量S在x,y,z三个方向上的分量分别 记作S,S,S2,它们满足对易关系 Sr, Sy= ihs 以及循环置换的形式.它们的矩阵形式是 01 01,S 000 0 010 0 注意到S2具有对角形式,可以说这是在S2表象中的表示 另一方面,我们还可以把它们表示为 00 J=边00-1,J=i000,J=边100 100 000 可以验证,(2)中的表示也满足(1)式中的对易关系.以下令h=1. 我们的目的是,找到一个酉变换U,使得USU=J,其中k=x,y,2.为此,我们可以先 考虐S2和J2的本征向量,分别记作)和|),这里的下标i,j∈{-1,0,+1},对应于 S2和J2的本征值

Part I 第五次作业

+)=|0,=1,(-=|0 n+1) n-1) 0 然后构造一个西变换V, V=|+1)(+1+m)(o|+|n-1)(-1 容易验证,VS2V=J但是,让V作用于S2和S之后,发现 vSp /0 01 000,Vsvt=00 100 010

Solution 1 由于Jz2的本征矢可以乘一个任意的相位因子,于是将酉变换V写成更一般的形式,如下 V= an+1)(s+1l+Bno (Col+rn-1)(c-II a y 0√20 ·So| ution2 沿着上述过程继续,希望找到一个与J对易的矩阵W,使得: w(VS-vt)wt=Jr, w(VS,vt)wt=J 与J2对易的矩阵在其表象下是对角的, ∑ AilSs 000 0 10|+入 000+入 000 00

• Solution 1 • Solution 2

问题2( Heisenberg绘景)A和B表示两个自旋1/2粒子,二者之间的相互作用是 Hπ=-gσA⑧σB,g是耦合常数.忽略两个粒子自身的哈密顿量,整个两体系统的哈密 顿量就是H=Hm,时间演化算子是, cos gt sin gt 0 0 U(t) sechin sin gt cos gt 0 00 cos gt -sin gt 0 sin gt cos gt (a)在 Heisenberg绘景中,写出A粒子的力学量a4随时间变化的形式 (b)在 Heisenberg绘景中,写出B粒子的力学量aB,oB,oB随时间变化的形式 注如果利用 Baker-Hausdorff公式 eA Be-A=B+[A, B+A,A, B l+ MA,[A,A,Bll+ 那么未必需要用到U(1)的矩阵表示

问题3(含时哈密顿量)作为一个可以严格求解的含时问题,我们讨论了绕z轴以匀角速 度旋转的磁场B(t)中自旋1/2粒子的量子态,磁场表示为 B(t)=Boez+B1(cos wter +sin wtey) 自旋1/2粒子的哈密顿量是 H(t)=-u.B=hwoa2 +ohwl(or cost +O, sinwt 其中0 elBo eB ·写出从t=0时刻到t时刻的时间演化算子U(t) ·考虑共振( resonance)情形,即ω=ω.写出共振情形下的随时间演化的西算子 Us(t).仅仅就U=(t)的形式而不是真实的物理过程而言,用形象的语言描述该变 换. ·对于酉变换,我们可能有这样一个成见,即U(t1)U(t2)=U(t1+t2).这个说法对于 U=(t)是成立的么?

现在,在量子力学中考察不等式(3).将上面提到的力学量A看作是 Pauli矩阵a系统 的哈密顿量设为 题 H 4 这里我们令h=1.设系统的初态是某个任意的归一化的向量∈C2.在t1时刻测量 2,得到的结果记作vm(t1)其值是+1或者-1,下标m表示测量得到的值.测量后系统 的态是|2+)或者|2-),相应的几率分别是p(tm(1)=+1)和p(vm(t)=-1).然后,系统 从|2+)或者|-)开始继续在哈密顿量H的支配下继续演化在t时刻测量a2,得到结 果是tm(t2)=+1或-1. 计算下面四个条件几率 p(vm(2)=+1lm(t)=+1),p(tmn()=-1lm(t)=+1) p(tm(42)=+1ln()=-1),p(tm(42)=-lmt1)= 定义第一个实验给出的关联函数: C(t1,t2):={tm(t1)mn(t2) (+1)P(cm(1)=+1,tm(t2)=+1)+(+1)p(m(1)=-1,tm(t2)=-1) +(-1)p(m(1)=+1,tmn(t)=-1)+(-1)p(vm(1)=-1,m(2)=-1) 其意思就是tm(t1)tm(t2)的期望值 类似地可以定义其它三个实验给出的关联函数,C(t2,ta),C(ta,t4),C(t1,t4).所以在量 子力学中,与不等式(3)对应的形式应该是 C(1, t2)+C(t2, ta)+C(t3, t4)-C(t1, 44)<2 在量子力学中,不等式(5总是成立的么?为了使计算简单,不妨设t一t1=t-t2 t4-t3=△t.在量子力学中,对不等式(5)的最大违反是多少?

问题4

问题5两体量予系统由子系统A和B构成.两个子系统都是自旋1/2粒子子系统A有 两个彼此互补的观测量,记作A1和A2;子系统B的两个彼此互补的观测量为B1和B2 也就是说,设A1的两个本征向量为a0)和),A2的两个本征向量为a(2)和a2) 那么对于∈101有a9)=边观测量B1和B2之间的互补性有与此相同 的描述.考虑如下形式的两体系统的观测量, C=A1⑧B1+A1⑧B2+A2⑧B1-A2⑧B2 对于所有的c2②c2空间中量子态),证明观测量C的期望值(C)=(亚C|)的最大 值等于2√2 注为了简化计算,可以将观测量A和B3选择为特殊形式,比如 Pauli矩阵

1.题目关于A、B本征值说明并不完整,应添加条件A、B本征值均 为正负1 ·2.将A、B设为Pau矩阵可以一下子将题目做出来,但是为什么可 以这么做? ·3.选取奇怪的基向量 ·4.二维复空间空间中矢量的 Bloch向量表示

• 1. 题目关于A、B本征值说明并不完整，应添加条件A、B本征值均 为正负1 • 2. 将A、B设为Pauli矩阵可以一下子将题目做出来，但是为什么可 以这么做？ • 3. 选取奇怪的基向量 • 4. 二维复空间空间中矢量的Bloch向量表示

问题6对某个量子系统进行测量.制备过程提供了两个量子态,|)和12).测量方式有 两种,记作m1和m2.它们都是投影测量,即测量算子都是投影算子.每一种测量方式都 有两个观测结果,我们可以用1和2标记这两个测量结果 以m1方式进行测量,与测量结果1对应的投影算子是m1),与测量结果2对应的 投影算子是m ·以m2方式进行测量,与测量结果1对应的投影算子是m,与测量结果2对应的 投影算子是 而且,我们还可以设定,测量是完全的即m+m=1,i=1,2,这里1是描述该量子 系统的 Hilbert空间上的单位阵 现在考虑测量结果的几率分布用mm方式测量量子态|,得到结果r的几率记作 p,这里,m,s,r∈{1,2).考察下面的几率表 mh1测量 ml2测量 )|2) )|v2 上表的左侧一栏描述的是用m1方式测量两个不同的量子态)和|2)得到的结果的 几率分布例如用该种测量方式测量(),得到结果1(对应于投影算子m)的几率等 于,得到结果2(对应于投影算子n)的几率等于0即1=1,2=0.而用同样的 测量方式观测量子态2,则得到结果1的几率是0得到结果2的几率为1,即n2=0 2=1.对上表右侧一栏有类似的解读