中国科学技术大学：《量子力学》课程教学资源（课件讲义）第四章 三维空间中的量子力学

量子力學 第四章:三维空间中的量子力学 杨焕雄 国科学技术大学物理学院近代物理系 November 12, 2019

量子力学 第四章：三维空间中的量子力学 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn November 12, 2019 1 / 126

有心力场 物理学中广泛遭遢处理质点或粒子在中心力场中运动的问题,例 V 4丌∈or 中心力场的特点是 Va=Vr 众所周知,经典力学中在中心力场)中运动的质点的轨道角 动量L=F×F是守恒量 dt dt p =m×b-F×Vv(r) re x er

有心力场： 物理学中广泛遭遇处理质点或粒子在中心力场中运动的问题, 例 如： Vp~rq “ ´ 1 40 Ze2 r 中心力场的特点是： Vp~rq “ Vprq 众所周知，经典力学中在中心力场 Vprq 中运动的质点的轨道角 动量 ~L “~r ˆ~p 是守恒量： d~L dt “ d~r dt ˆ~p `~r ˆ d~p dt “ m~v ˆ~v ´~r ˆ rVprq “ ´rp~er ˆ~erq dVprq dr “ 0 2 / 126

考虑到L=LF=0.而L又是守恒量,质点在中心力场中的运 动如为平面运动.平面的法线方向就是其轨道角动量L的方向 那么,在量子力子中情形如何呢? 角动量算符与拴向薛定谔方程 设质量为μ的粒子在中心力场W)中运动,体系的哈密板算符 表为 H=2H +) V+vr 2 现在证明在中心力场中运动的量子力学粒子的轨道角动量算符是 守恒量算符采用笛卡尔直角坐标系,L=Emmn,利用量子力 学基本对易关系知 12,=[2, Eimn[*m, PiPile 2iheimnUmip Pn= 2ihenPiPn=0

考虑到 ~L ¨~r “ ~L ¨~p “ 0，而~L 又是守恒量，质点在中心力场中的运 动必为平面运动. 平面的法线方向就是其轨道角动量 ~L 的方向. 那么，在量子力学中情形如何呢 ？ 角动量算符与径向薛定谔方程： 设质量为  的粒子在中心力场 Vprq 中运动，体系的哈密顿算符 表为： Hˆ “ ˆ~p 2 2 ` Vprq “ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vprq 现在证明在中心力场中运动的量子力学粒子的轨道角动量算符是 守恒量算符.采用笛卡尔直角坐标系，Lˆi “ imnˆxmˆpn，利用量子力 学基本对易关系知： rLˆi ; ˆ~p 2 s “ rLˆi ; ˆpjˆpjs “ imnrxm; ˆpjˆpjsˆpn “ 2iℏimnmjˆpjˆpn “ 2iℏijnˆpjˆpn “ 0 3 / 126

且 [,W=c∈x,V =-i∈xkV) i×Vr) (F×动=0 d 所以,在中心力场中运动的量子力学体系的角动量算符是守恒量 算符 [L,团=0 点评 由于了的各个分量算符都是守恒量算符,而各分量算符彼此 不对易,在中心力场中运动的粒子的能级一般有简并 那么,怎样解除体系能级的简并呢?

且： r ˆ~L; Vprqs “~eiijkxjrˆpk; Vprqs “ ´iℏ~eiijkxjBkVprq “ ´iℏ~r ˆ rVprq “ ´iℏp~r ˆ~erq dVprq dr “ 0 所以，在中心力场中运动的量子力学体系的角动量算符是守恒量 算符： r ˆ~L; Hˆ s “ 0 点评： 由于 ˆ~L 的各个分量算符都是守恒量算符，而各分量算符彼此 不对易，在中心力场中运动的粒子的能级一般有简并. 那么，怎样解除体系能级的简并呢？ 4 / 126

考虑到中心力场中2也是守恒量,而且与的各个分量算符都 对易,因此体系的力学量完全集合可以选取为 {B,,2} 即能量本征态同时也取为与3的共同本征函数 为了实现这一设想,现将中心力场情形下粒子的哈密顿算符用球 坐标表出。注意到对任一洩函数ψ,我们有 产v=-12=-2.(c,u+动v+ rsin 6 pdpv -h l> sin e V( sin 80,w)+ rsin g.V(sin 00e v) h250(20,V)+2 sin ao(sin aov)+

考虑到中心力场中 ˆ~L 2 也是守恒量，而且与 ˆ~L 的各个分量算符都 对易，因此体系的力学量完全集合可以选取为 ! Hˆ ; ˆ~L 2 ; Lˆ3 ) 即能量本征态同时也取为 ˆ~L 2 与 Lˆ3 的共同本征函数. 为了实现这一设想，现将中心力场情形下粒子的哈密顿算符用球 坐标表出。注意到对任一波函数 Ψ，我们有： ˆ~p 2Ψ “ ´ℏ 2r2Ψ “ ´ℏ 2r ¨ ˆ ~erBrΨ ` 1 r ~eBΨ ` 1 rsin  ~eBΨ ˙ “ ´ℏ 2 „ ~er r 2 sin  ¨ rpr 2 sin BrΨq ` ~e rsin  ¨ rpsin BΨq ` ~e r ¨ r ˆ BΨ sin  ˙ȷ “ ´ℏ 2 „ 1 r 2 Brpr 2 BrΨq ` 1 r 2 sin  Bpsin BΨq ` 1 r 2 sin2  B 2 Ψ ȷ 5 / 126

注意到在球坐标系里 h2.de(sin 0de)+ n2 8 上式等价地写为 12a(2)+ h2(a2+2a)+ L2 h2 因此,中心力场中粒子的能量本征值方程可表为 12 中+2=+的一E钟(, 方程左端第二项称为高心势能( centrifugal potential).第一项可 称为径向动能算符

注意到在球坐标系里， ˆ~L 2 “ ´ℏ 2 „ 1 sin  Bpsin Bq ` 1 sin2  B 2  ȷ 上式等价地写为： ˆ~p 2 “ ´ ℏ 2 r 2 Brpr 2 Brq ` ˆ~L 2 r 2 “ ´ℏ 2 ˆ B 2 r ` 2 r Br ˙ ` ˆ~L 2 r 2 “ ´ ℏ 2 r B 2 r r ` ˆ~L 2 r 2 因此，中心力场中粒子的能量本征值方程可表为： « ´ ℏ 2 2r B 2 r r ` ˆ~L 2 2r 2 ` Vprq ff Epr; ; q “ E Epr; ; q 方程左端第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项可 称为径向动能算符. 6 / 126

在中心力场情形下既然可以将能量本征面数取为{H,,3}的 共同本征函数,则应有 vE(r,,中)=()ymn(6,中 式中Jm(日,中)是球谐函数,它是{2,3}的共同本征函数,量子 数l=0,1, ,m=0,±1,±2 于是,径向浅函敖团(须满足的方程是 a+(E-(x)-4+1 “|()=0 倘若进行如下痰函薮替换 第()= 则新的径向波函数A()须滿足方程 x)+分(E-V-文+1 |x()=0

在中心力场情形下既然可以将能量本征函数取为 tHˆ ; ˆ~L 2 ; Lˆ3u 的 共同本征函数，则应有： Epr; ; q “ Rlprq Ylmp; q 式中 Ylmp; q 是球谐函数，它是 tLˆ2 ; Lˆ3u 的共同本征函数. 量子 数 l “ 0; 1; 2; ¨ ¨ ¨ ，m “ 0; ˘ 1; ˘ 2; ¨ ¨ ¨ ; ˘l. 于是，径向波函数 Rlprq 须满足的方程是： „ 1 r d 2 dr2 r ` 2 ℏ 2 pE ´ Vprqq ´ lpl ` 1q r 2 ȷ Rlprq “ 0 倘若进行如下波函数替换， Rlprq “ lprq r 则新的径向波函数 lprq 须满足方程：  2 l prq ` „ 2 ℏ 2 pE ´ Vprqq ´ lpl ` 1q r 2 ȷ lprq “ 0 7 / 126

讨论 ◎不同中心力场中粒子的定态波函数的差别仅在于径向波函数 ()或x(r),它们取决于势场Vr)的具体形式.因此,中 力场的核心问题就是在逅当的边界条件下求解径向薛定谔 方程 ◎径向薛定谔方程与磁量子数m无关.所以,中心力场中粒子 能级的筒开度一般为(2+1 径向洩函数在r→0邻域的渐近行为 假定 limnO)=0 在此祭件下,径向薛定谔方程在r→0的邻城可以近似写为: 1()+-1() l(l+1)

讨论： 1 不同中心力场中粒子的定态波函数的差别仅在于径向波函数 Rlprq 或 lprq，它们取决于势场 Vprq 的具体形式. 因此，中 心力场的核心问题就是在适当的边界条件下求解径向薛定谔 方程. 2 径向薛定谔方程与磁量子数 m 无关.所以，中心力场中粒子 能级的简并度一般为 p2l ` 1q. 径向波函数在 r Ñ 0 邻域的渐近行为： 假定： lim rÑ0 r 2Vprq “ 0 在此条件下，径向薛定谔方程在 r Ñ 0 的邻域可以近似写为： R2 l prq ` 2 r R1 l prq ´ lpl ` 1q r 2 Rlprq “ 0 8 / 126

=0是此方程的正则奇点.在其邻域内,可设 ()~ 代入到前迷方程得到 s(s+1)-ll+1)=0s=4-(l+1) 因此,当r~0,或者有 或者有 提酲 需要强调指出的是:r~0处只有⑧()~1的解才是物理上可以 接受的径向洩薮

r “ 0 是此方程的正则奇点. 在其邻域内，可设 Rlprq „ r s 代入到前述方程得到： sps ` 1q ´ lpl ` 1q “ 0 ù s “ l; ´ pl ` 1q: 因此，当 r „ 0，或者有： Rlprq „ r l 或者有： Rlprq „ 1 r l`1 提醒： 需要强调指出的是：r „ 0 处只有 Rlprq „ r l 的解才是物理上可以 接受的径向波函数. 9 / 126

理由 按照洩函数的褫率诠释,在任何体积元中我到粒子的梳率 都应为有限值 当1≥1时,()~r(什+)的解必须抛弃 至于l=0情形下的“解“0()~r1,由于 它实际上开不是 Schrodinger方程的解

理由： 按照波函数的概率诠释，在任何体积元中找到粒子的概率 ˇ ˇ ˇ Ep~rq ˇ ˇ ˇ 2 d 3 x „ R2 l prqr 2 都应为有限值. 1 当 l ě 1 时，Rlprq „ r ´pl`1q 的解必须抛弃. 2 至于 l “ 0 情形下的“解”R0prq „ r ´1，由于 r2 1 r “ ´4p~rq 它实际上并不是 Schrödinger 方程的解. 10 / 126