中国科学技术大学：《量子力学》课程教学资源（课件讲义）第五章 全同粒子

量子力學 第五章:全同粒子 杨焕雄 国科学技术大学物理学院近代物理系 November 25, 2019

量子力学 第五章：全同粒子 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn November 25, 2019 1 / 23

双粒子体系 单粒子量子力学体系的状态用波函数ψ(7s3,)描写 ψG53,)是粒子空间位置坐标F,自旋角动量3以及 时间参数t的函数. ψ(s,)随时间的演化遵从薛定谔方程 式中, 2+V( 洩函薮的统计诠释要求 ∑4

双粒子体系： 单粒子量子力学体系的状态用波函数 p~r; s3; tq 描写： p~r; s3; tq 是粒子空间位置坐标~r，自旋角动量 s3 以及 时间参数 t 的函数. p~r; s3; tq 随时间的演化遵从薛定谔方程： iℏ B Bt “ Hˆ ; 式中， Hˆ “ ´ ℏ 2 2m r2 ` Vp~r;~s; tq 波函数的统计诠释要求： ÿ sz ż d 3 x › › › › p~r; s3; tq › › › › 2 “ 1 2 / 23

若量子力学体系包合两个粒子,则体系的状态应使用如下洩函数 描写 v(,,513,23,D) 此处亓与5分别是第i个粒子的位置矢量和自旋角动量第三分 量(i=1,2) 洩函数ψ随时间的演化仍遵从薛定谔方程 但是 2 这里的讨论可以平庸地推广到任惫多个粒子构成的量子力学体系

若量子力学体系包含两个粒子，则体系的状态应使用如下波函数 描写： Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq 此处~ri 与 si3 分别是第 i 个粒子的位置矢量和自旋角动量第三分 量 (i “ 1; 2)1 . 波函数 Ψ 随时间的演化仍遵从薛定谔方程： iℏ BΨ Bt “ Hˆ Ψ 但是， Hˆ “ ´ ℏ 2 2m1 r2 1 ´ ℏ 2 2m2 r2 2 ` Vp~r1;~r2;~s1;~s2; tq 1这里的讨论可以平庸地推广到任意多个粒子构成的量子力学体系. 3 / 23

按照洩面数的统计诠释 ,方,1,x,引 是在体积元Ax中发现具有自旋13的粒子1并在dx2中发 现具有自旋23的粒子2的梳率.归一化条件因此为 ∑|4xx|w,,3,2y ●以下仅考虑有效势能不显含时间的情形.此时,通过分离变 量可求得薛定谔方程一蛆完备的特解 v(,,513,523,t)=vE(h,,513,23)exp(-i/h) 这里, 2+Vr, 73, 31,52) DE=EvE

按照波函数的统计诠释， › › › › Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq › › › › 2 d 3 x1d 3 x2 是在体积元 d 3 x1 中发现具有自旋 s13 的粒子 1 并在 d 3 x2 中发 现具有自旋 s23 的粒子 2 的概率. 归一化条件因此为： ÿ s13;s23 ż d 3 x1d 3 x2 › › › › Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq › › › › 2 “ 1 以下仅考虑有效势能不显含时间的情形. 此时，通过分离变 量可求得薛定谔方程一组完备的特解： Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq “ Ep~r1;~r2; s13; s23qexpp´iEt{ℏq 这里， „ ´ ℏ 2 2m1 r2 1 ´ ℏ 2 2m2 r2 2 ` Vp~r1;~r2;~s1;~s2q ȷ E “ E E 4 / 23

全同粒子体系 什么是全同粒子? 我们把具有完全相同的静止质量、电荷、自旋、磁矩和寿命 等内禀属性的同一类粒子称为全同粒子.自然界里存在着大 量的由全同粒子组成的多粒子体系,如多电子原子和金属中 的电子气 ●涉及相互作用时,还须进一步要求具有上迷性质的的体系中 各个粒子受力情况完全相同.所以,对于由两个粒子构成的 全同粒子体系 V,,,)=∑U(引+U一,-互 r=1 即有效势能项关于体杀内两个粒子的交换完全是对称的2. 2从而体系完整的 Hamilton算符也是关于两个粒子的交换具有对称性

全同粒子体系： 什么是全同粒子 ？ 我们把具有完全相同的静止质量、电荷、自旋、磁矩和寿命 等内禀属性的同一类粒子称为全同粒子. 自然界里存在着大 量的由全同粒子组成的多粒子体系，如多电子原子和金属中 的电子气. 涉及相互作用时，还须进一步要求具有上述性质的的体系中 各个粒子受力情况完全相同. 所以，对于由两个粒子构成的 全同粒子体系： Vp~r1;~r2;~s1;~s2q “ ÿ 2 i“1 Up~ri ;~siq ` Up|~r1 ´~r2|; |~s1 ´~s2|q 即有效势能项关于体系内两个粒子的交换完全是对称的2 . 2从而体系完整的 Hamilton 算符也是关于两个粒子的交换具有对称性. 5 / 23

全同粒子系的交换对称性 量子力学中全同粒子体系的基本特征是:任何客观测量,特 别是 Hamilton量,对于任惫两个粒子的交换是不变的.这 特征称为全同粒子系的交换对称性 Example 以氨原子中两个电子组成的体系为例,其 Hamilton算符为 5m+5m--+同可 当交换两个电子的位置坐标、动量与自旋,任明呈不变

全同粒子系的交换对称性： 1 量子力学中全同粒子体系的基本特征是：任何客观测量，特 别是 Hamilton 量，对于任意两个粒子的交换是不变的. 这一 特征称为全同粒子系的交换对称性. Example： 以氦原子中两个电子组成的体系为例，其 Hamilton 算符为： Hˆ “ ˆ~p 2 1 2m ` ˆ~p 2 2 2m ´ 2e 2 r1 ´ 2e 2 r2 ` e 2 |~r1 ´~r2| 当交换两个电子的位置坐标、动量与自旋，Hˆ 明显不变. 6 / 23

量子力学理论中,常引入所谓交换算特描写全同粒子系的交 换对称性 是 Hilbert空间中的线性幺正算符 2=l1-= 但注到=P,我们又有:=,即交换算符P既 是幺正算符,又是 Hermite算符. 对于N粒子体系的洩面數ψ(1,2,,……,i…,M而言, bψ(1,2,…,…,M=ψ(1,2,,j…,…,N 对于由N个粒子构成的全同粒子系而言,其 Hamilton算符 对于任惫西个粒子自由度交换的对称性意味看 ;H1=H 亦即是全同粒子系的守恒量算符 [Pn,闭

量子力学理论中，常引入所谓交换算符 Pˆij 描写全同粒子系的交 换对称性. Pˆij 是 Hilbert 空间中的线性幺正算符： Pˆ : ij “ Pˆ´1 ij “ Pˆji 但注意到 Pˆij “ Pˆji，我们又有：Pˆ : ij “ Pˆij，即交换算符 Pˆij 既 是幺正算符，又是 Hermite 算符. 对于 N-粒子体系的波函数 Ψp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq 而言， PˆijΨp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq “ Ψp1; 2; ¨; j; ¨ ¨ ¨ ; i; ¨ ¨ ¨ ; Nq 对于由 N 个粒子构成的全同粒子系而言，其 Hamilton 算符 对于任意两个粒子自由度交换的对称性意味着： Pˆij Hˆ Pˆ´1 ij “ Hˆ 亦即Pˆij 是全同粒子系的守恒量算符： rPˆij; Hˆ s “ 0 7 / 23

全同粒子体系的交换对称性,反峡到描写其量子态的洩函数上 具有极深刻的物理内涵,据此归纳出了量子力学的笫五条基本 原理 考虑N个全同粒子蛆成的多粒子体系,设其量子态用波函数 ψ(q,…,g,…,分,……,引) 描写,9(i=1,2,…,N)代表第i个粒子的全部坐标(例如 包括空间坐标与自旋)·设表示交换第个粒子与第j个粒子 的全部坐标的线性算符 b(q1,…,9,…,…,引N)=ψ(q,…,,…,…,N) 粒子的全同性惫咏着ψ与D;描写的是同一个量子态,它们最 多可以相差一个非零的常数因子c

全同粒子体系的交换对称性，反映到描写其量子态的波函数上， 具有极深刻的物理内涵，据此归纳出了量子力学的第五条基本 原理. 考虑 N 个全同粒子组成的多粒子体系，设其量子态用波函数 Ψpq1; ¨ ¨ ¨ ; qi ; ¨ ¨ ¨ ; qj ; ¨ ¨ ¨ ; qNq 描写， qi（i “ 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; N）代表第 i 个粒子的全部坐标（例如 包括空间坐标与自旋）. 设 Pˆij 表示交换第 i 个粒子与第 j 个粒子 的全部坐标的线性算符： PˆijΨpq1; ¨ ¨ ¨ ; qi ; ¨ ¨ ¨ ; qj ; ¨ ¨ ¨ ; qNq “ Ψpq1; ¨ ¨ ¨ ; qj ; ¨ ¨ ¨ ; qi ; ¨ ¨ ¨ ; qNq 粒子的全同性意味着 Ψ 与 PˆijΨ 描写的是同一个量子态，它们最 多可以相差一个非零的常数因子 c， PˆijΨ “ c Ψ 8 / 23

两端再作用一次P,得 =v=cP=c,…=1,c=±1 所以,全同粒子体系的波函数如须满足下列关系之一:或者关于 交换任惫两个粒子对称 P;v=ψ 或者关于交换任意两个粒子反对称 P v 选今一切实验表明,全同粒子体系的洩函数的交换对称性与粒子 的自旋角动量有密切的关系 ◎凡由自旋角动量的测量值为h之整数倍的粒子组成的全同多 粒子体系,称之为Bose子体系,洩函数对于两个粒子的交 换总是对称的.在统计方法上,它们遵从Bose- Einstein统计 凡由自旋角动量的测量值为h之半奇数倍的粒子组成的全同 多粒子体系,称之为 Fermi子体系,洩函数对于两个粒子的 交换总是反对称的.在统计方法上,它们遵从 Fermi- Dirac统 计

两端再作用一次 Pˆij，得： Ψ “ Pˆ2 ijΨ “ c PˆijΨ “ c 2 Ψ; ù c 2 “ 1; c “ ˘1 所以，全同粒子体系的波函数必须满足下列关系之一：或者关于 交换任意两个粒子对称： PˆijΨ “ Ψ 或者关于交换任意两个粒子反对称： PˆijΨ “ ´Ψ 迄今一切实验表明，全同粒子体系的波函数的交换对称性与粒子 的自旋角动量有密切的关系： 1 凡由自旋角动量的测量值为 ℏ 之整数倍的粒子组成的全同多 粒子体系，称之为 Bose 子体系，波函数对于两个粒子的交 换总是对称的. 在统计方法上，它们遵从 Bose-Einstein 统计. 2 凡由自旋角动量的测量值为 ℏ 之半奇数倍的粒子组成的全同 多粒子体系，称之为 Fermi 子体系，波函数对于两个粒子的 交换总是反对称的. 在统计方法上，它们遵从 Fermi-Dirac 统 计. 9 / 23

下面将讨论在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具有完全交 换对称性或反对称性的多粒子体系波函薮 两个全同粒子组成的体系 二全同粒子体系的 Hamilton算符写为 =b(q1)+( 这里描写两粒子相互作用的 Hamilton量被忽略了,(q)表示单 粒子 Hamilton算特,.(q)与(q)在形式上完全相同,只不过 q1,2互换而已.显然 12,] 设列(q)的本征值方程为 h(a p q)=EkP q) ∈k为单粒子能量,k(q)为相应的归一化单粒子波函数,k代表 姐完备的量子数

下面将讨论在忽略粒子间相互作用的情况下如何构造具有完全交 换对称性或反对称性的多粒子体系波函数. 两个全同粒子组成的体系： 二全同粒子体系的 Hamilton 算符写为： Hˆ “ ˆhpq1q ` ˆhpq2q 这里描写两粒子相互作用的 Hamilton 量被忽略了，ˆhpqq 表示单 粒子 Hamilton 算符. ˆhpq1q 与 ˆhpq2q 在形式上完全相同，只不过 q1;2 互换而已. 显然， rPˆ12; Hˆ s “ 0 设 ˆhpqq 的本征值方程为： ˆhpqq'kpqq “ k'kpqq k 为单粒子能量，'kpqq 为相应的归一化单粒子波函数，k 代表一 组完备的量子数. 10 / 23