复旦大学:《计算机图形学》课后习题答案_7

7.6习题 2.试证明下述几何变换的矩阵运算具有互换性: 1)两个连续的旋转变换;(2)两个连续的平移变换 (3)两个连续的变比例变换;(4)当比例系数相等时的旋转和比例变换; (1)证明:设第一次的旋转变换为 in e 1 TI= n 01 cos 0 0 第二次的旋转变换为 Cos 02 sin 0 2 0 T2= sin e2 cos e 2 则因为 T1*T2= sine l cos 02 sin 2 sinel cos e 1 sine2 cos 0 2 0 0 001 cos 01 cos 0 2+sinel sin 02 cos 01 sin 2+ sin 01 cos 0 2 sinel cos e 2-cos 0 1 sin e 2 sinel sin e 1+ cos e 1 cos 0 2 Cos(01+02) sin(01+02) sin(1+02) cos(01+02) cos 02 sine2 0 1 sin 0 1 2*T1 sine2 cos 0 2 0 sinel cos e 1 0 cosθlcos2+sin01sin2 cosθlsinθ2+sinθ1cos02 0 sin e 2cos 0 1- -sin el sin e l+ cos e1 cos 0 2
7.6 习题 2.试证明下述几何变换的矩阵运算具有互换性: (1)两个连续的旋转变换;(2)两个连续的平移变换; (3)两个连续的变比例变换;(4)当比例系数相等时的旋转和比例变换; (1)证明:设第一次的旋转变换为: cosθ1 sinθ1 0 T1= - sinθ1 cosθ1 0 0 0 1 第二次的旋转变换为: Cosθ2 sinθ2 0 T2= - sinθ2 cosθ2 0 0 0 1 则因为 T1*T2 = cosθ1 sinθ1 0 cosθ2 sinθ2 0 - sinθ1 cosθ1 0 - sinθ2 cosθ2 0 0 0 1 0 0 1 = cosθ1 cosθ2+sinθ1 sinθ2 cosθ1 sinθ2+ sinθ1 cosθ2 0 - sinθ1 cosθ2- cosθ1 sinθ2 -sinθ1 sinθ1+ cosθ1 cosθ2 0 0 0 1 Cos(θ1+θ2) sin(θ1+θ2) 0 = - sin(θ1+θ2) cos(θ1+θ2) 0 0 0 1 cosθ2 sinθ2 0 cosθ1 sinθ1 0 T2*T1 = - sinθ2 cosθ2 0 - sinθ1 cosθ1 0 0 0 1 0 0 1 cosθ1 cosθ2+ sinθ1 sinθ2 cosθ1 sinθ2+ sinθ1 cosθ2 0 = - sinθ2cosθ1- cosθ2 sinθ1 -sinθ1 sinθ1+ cosθ1 cosθ2 0 0 0 1

Cos(01+62) sin(01+02) sin(01+02) cos(01+02) 0 0 即T*2=T2*1,两个连续的旋转变换具有互换性 (2)证明:设第一次的平移变换为: Txl Tyl 001 第二次的平移变换为 Tx2 Ty2 则因为 T1*T2 00 0 0 Txl Tyl Tx2 Ty2 0 Tx1+Tx2 Tyl+Ty2 1 而 T2*T1 T Ty2 1 0 0 TXI+Tx2 Tyl+Ty2 1 即T1*T2=T2*T1,两个连续的平移变换具有互换性 (3)证明:设第一次的变比例变换为 SxI
Cos(θ1+θ2) sin(θ1+θ2) 0 = - sin(θ1+θ2) cos(θ1+θ2) 0 0 0 1 即 T1*T2= T2*T1, 两个连续的旋转变换具有互换性 (2)证明:设第一次的平移变换为: 1 0 0 T1= 0 1 0 Tx1 Ty1 1 第二次的平移变换为: 1 0 0 T2= 0 1 0 Tx2 Ty2 1 则因为 T1*T2 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Tx1 Ty1 1 Tx2 Ty2 1 1 0 0 = 0 1 0 Tx1+Tx2 Ty1+Ty2 1 而 T2*T1 = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Tx2 Ty2 1 Tx1 Ty1 1 1 0 0 = 0 1 0 Tx1+Tx2 Ty1+Ty2 1 即 T1*T2= T2*T1, 两个连续的平移变换具有互换性 (3)证明:设第一次的变比例变换为: Sx1 0 0

Syl 0 0 01 第二次的变比例变换为: 0 Sy2 0 则因为 T1*T2= SXI Sx2 0 0 0 0 Sy2 0 SxI*Sx2 0 T2*T1= x20 0 y2 0 Syl SxI*Sx2 0 Syl=sy2 0 0 0 即T1*2=2*T1,两个连续的变比例变换具有互换性 (4)证明:设第一次为比例系数相等时的比例变换: Tl= 0 第二次的为旋转变换 cos 0 sine 0 sin e cos 则因为
T1= 0 Sy1 0 0 0 1 第二次的变比例变换为: Sx2 0 0 T2 = 0 Sy2 0 0 0 1 则因为 T1*T2 = Sx1 0 0 Sx2 0 0 0 Sy1 0 0 Sy2 0 0 0 1 0 0 1 Sx1*Sx2 0 0 = 0 Sy1*Sy2 0 0 0 1 而 T2*T1 = Sx2 0 0 Sx1 0 0 0 Sy2 0 0 Sy1 0 0 0 1 0 0 1 Sx1*Sx2 0 0 = 0 Sy1*Sy2 0 0 0 1 即 T1*T2= T2*T1, 两个连续的变比例变换具有互换性 (4)证明:设第一次为比例系数相等时的比例变换: S 0 0 T1= 0 S 0 0 0 1 第二次的为旋转变换: cosθ sinθ 0 T2= - sinθ cosθ 0 0 0 1 则因为

T1*T2= S00 0 cos 0 sine o S 0 sin e os 00 0 s cos e s sin e Scosθ2 而 T2*T1 cos e sin e 0 sin e S00 0 s sin e 即T1*T2=T2*T1,“当比例系数相等时的旋转和比例“变换具有互换性 3、证明二维点相对x轴作对称,紧跟着相对y=x直线作对称变换完全等价于该点相对坐标 原点作旋转变换 证明 (1)点相对x轴作对称的变换矩阵 100 T1+0-10 001 (2)相对于y=-x直线作对称变换矩阵 0-10 100 0 因为们*T2=0-10*-100=100 00 cos(-90° sin(-90°) 0 =sin(-90°)cos(-90°) 即该点相对坐标原点作顺时针方向转90°的旋转变换
T1*T2 = S 0 0 cosθ sinθ 0 0 S 0 - sinθ cosθ 0 0 0 1 0 0 1 S cosθ S sinθ 0 = - S sinθ S cosθ2 0 0 0 1 而 T2*T1 = cosθ sinθ 0 S 0 0 - sinθ cosθ 0 0 S 0 0 0 1 0 0 1 S cosθ S sinθ 0 = -S sinθ S cosθ 0 0 0 1 即 T1*T2= T2*T1, “当比例系数相等时的旋转和比例“变换具有互换性 3、证明二维点相对 x 轴作对称,紧跟着相对 y=-x 直线作对称变换完全等价于该点相对坐标 原点作旋转变换。 证明: (1) 点相对 x 轴作对称的变换矩阵 1 0 0 T1= 0 -1 0 0 0 1 (2) 相对于 y=-x 直线作对称变换矩阵 0 -1 0 T2= -1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 因为 T1*T2= 0 -1 0 * -1 0 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 cos(-90º) sin(-90 º) 0 = - sin(-90 º) cos(-90º) 0 0 0 1 即该点相对坐标原点作顺时针方向转 90 º 的旋转变换

4、证明 1-t2 21 完全表示一个旋转变换。 1t2 1+t2 证明:令t=tg(/2) 则:(1-t2)/(1+t2)=cos (2t)/(1+t2)=sine 将T扩充为一个三行齐次坐标的变换矩阵为 该矩阵表示为一个旋转变换 5、例:三角形ABC各顶点坐标为A(3,0)B(4,2)C(6,0),其绕原点逆时 针旋转90°,再向X方向平移2,Y方向平移1。 解:因为:0=90 变换矩阵为 CoS90°SIN90°0 TR=+SIN90°c0s90°0 0
4、 证明 1-t 2 2t 1+ t 2 1+t2 T= 完全表示一个旋转变换。 -2t 1-t 2 1+t2 1+t2 证明:令 t=tg(θ/2) 则:(1-t 2)/(1+ t 2 )= cosθ (2t)/(1+ t 2 )= sinθ 即 cosθ sinθ T= - sinθ cosθ 将 T 扩充为一个三行齐次坐标的变换矩阵为: cosθ sinθ 0 T= - sinθ cosθ 0 0 0 1 该矩阵表示为一个旋转变换 5、例:三角形 ABC 各顶点坐标为 A(3,0)B(4,2)C(6,0),其绕原点逆时 针旋转 90°,再向 X 方向平移 2,Y 方向平移-1。 解:因为:θ=90° 变换矩阵为 COS90° SIN90° 0 0 1 0 TR= - SIN90° COS90° 0 = -1 0 0 2 -1 1 2 -1 -1

则 A1301 010 2|21 B421 100 031 B C601 251 如果先进行平移变换,再进行旋转变换, c0s90°SIN90°0010 0 SIN90°c0S90°0=-100 2-11 则 A1301 010 151 B421 100 -161 C 01 121 C 结论:变换顺序不同,结果也不同
则 A 3 0 1 0 1 0 2 2 1 A‘ B 4 2 1 -1 0 0 = 0 3 1 B‘ C 6 0 1 2 -1 1 2 5 1 C‘ 如果先进行平移变换,再进行旋转变换, 1 0 0 COS90° SIN90° 0 0 1 0 Tr= 0 1 0 - SIN90° COS90° 0 = -1 0 0 2 -1 1 0 0 1 1 2 1 则 A 3 0 1 0 1 0 1 5 1 A‘ B 4 2 1 -1 0 0 = -1 6 1 B‘ C 6 0 1 1 2 1 1 8 1 C‘ 结论:变换顺序不同,结果也不同
按次数下载不扣除下载券;
注册用户24小时内重复下载只扣除一次;
顺序:VIP每日次数-->可用次数-->下载券;
- 复旦大学:《计算机图形学》课后习题答案_6.docx
- 复旦大学:《计算机图形学》课后习题答案_5.docx
- 复旦大学:《计算机图形学》课后习题答案_4.docx
- 复旦大学:《计算机图形学》课后习题答案_3.docx
- 复旦大学:《计算机图形学》课后习题答案_2.docx
- 复旦大学:《计算机图形学》课后习题答案_1.docx
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第十次课 社会化电子商务——Hold住社会化媒体营销.ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第六次课 电子商务运营与管理 Operating Your E-Business.ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第六次课 电子商务运营与管理 Getting Your E-Business Off The Ground.ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第八次课 电子商务模式与应用课程主题案例分析与展示——电子商务团购.ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第五次课 商业模式的概念与内涵(发现商业模式).ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第九次课 B2B电子商务(B2B行业平台).ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第七次课 B2C电子商务——网上零售.pptx
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第四次课 电子商务商业计划书写作 Creating a Winning E-Business Second Edition.ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第三次课 电子商务过程及相关因素(电子商务创业).ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第一次课 引言(胥正川).ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程PPT课件_第二次课 电子商务的商业模式与分类.ppt
- 复旦大学:《电子商务》课程资源_教学研究:Research On The Utility Of An Advanced ACA In Context-Aware Tour Planning System.pdf
- 复旦大学:《电子商务》课程资源_教学研究:Online Game Addiction among Adolescents_Motivation and Prevention Factors.pdf
- 复旦大学:《电子商务》课程资源_教学案例:The Business Model-Recent Developments and Future Research-JOM2011.pdf
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程资源_教学大纲.pdf
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程资源_2006年期中考试答案.doc
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程资源_2006年期中考试题目.doc
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Introduction to Computer Systems; Information is Bits+Context; Information Storage.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Integer Representations.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Integer Operations; Floating Points.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Machine-Level Representation of Programs I.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Machine-Level Representation of Programs Ⅱ.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Procedure Call and Array.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Heterogeneous Data Structures & Alignment; Putting it Together; Floating Point.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Processor Architecture.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_09、10 Sequential CPU Implementation.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Pipelined Implementation Part I.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Pipelined Implementation Part II.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_12b Code Optimization(• Machine-Independent Optimization – Code motion – Memory optimization • Suggested reading).ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_13 Code Optimization(• Optimizing Blockers • Understanding Modern Processor • More Code Optimization techniques • Performance Tuning).ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Hardware Organization.ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Memory Hierarchy(• Random-Access Memory(RAM)• Nonvolatile Memory • Disk Storage • Locality • Memory hierarchy).ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Cache Memory(• General concepts • 3 ways to organize cache memory • Issues with writes • Write cache friendly codes • Cache mountain).ppt
- 复旦大学:《计算机原理 Computer System》课程PPT课件_Cache Memory(• Cache mountain • Matrix multiplication).ppt