《自动控制之连续控制系统》第2章（2-3-3） 由微分方程求状态空间表达式

233由微分方程求状态空间表达式 1.系统的实现问题 系统的实现:根据系统的外部描述构造一个内 部结构,要求既保持外部描述的输入输出关系, 又要将系统的内部结构确定下来 这是一个复杂的问题,但也是一个非常重要的 问题。一方面,描述系统输入输出关系的微分 方程或传递函数可以用实验的方法得到,我们 可以从输入输出关系描述建立状态空间描述, 这是建立状态空间描述的一条途径(前面介绍 的是通过机理分析建立状态空间描述)。 这时,一般描述为 +an_y+.+a,y+aoy= bu (2.42)

2.3.3 由微分方程求状态空间表达式 1．系统的实现问题 系统的实现:根据系统的外部描述构造一个内 部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系， 又要将系统的内部结构确定下来。 这是一个复杂的问题，但也是一个非常重要的 问题。一方面，描述系统输入输出关系的微分 方程或传递函数可以用实验的方法得到，我们 可以从输入输出关系描述建立状态空间描述， 这是建立状态空间描述的一条途径（前面介绍 的是通过机理分析建立状态空间描述）。 这时，一般描述为 y a y a y a y bu (2.42) n n n + + + + = − − 1 0 ( 1) 1 ( )  

状态变量选为x2=j 由微分方程有 -aoy-a1y tbu 所以 n=-aox-ax2..-am-xn+bu 因此,系统的状态方程为

状态变量选为 则 由微分方程有 所以 因此，系统的状态方程为 ( 1) 2 1 − = = = n n x y x y x y   ( ) 1 2 3 1 2 n n n n x y x x x x x x = = = = −      y a y a y a y bu n n n = − − − − + − − ( 1) 0 1 1 ( )   x  n = −a0 x1 − a1 x2 −− an−1 xn + bu

243a) 因此| m-1=x aox-ax2-.-an-Xn+ bu 输出力刀 243b 由微分方程

(2.43a) 因此，系统的状态方程为 输出方程为 (2.43b) 由微分方程          = − − − − + = = = − − x a x a x a x b u x x x x x x n n n n n 0 1 1 2 1 1 2 3 1 2       1 y = x

表达为矩阵形式 (244a) 00 0 2 b 2 y

表达为矩阵形式 (2.44a) u b xxx a a a a xxx n n n   +  − − − − =  − 000 0 0 0 1 0 0 1 0 1 21 0 1 2 1 21           = n xxx y   21 1 0 0

例210已知系统的微分方程为『+3y+2y+y= 空间表达式。 解选取状态变量为==图=由式 (244)得状态空间描述为 0 A=001 B=0.C 00 1-2-3 3.微分方程含有输入的导数项

例2.10 已知系统的微分方程为 ,求状态 空间表达式。 解 选取状态变量为 ， ， ，则由式 (2.44)得状态空间描述为 3．微分方程含有输入的导数项  y  +3 y  + 2y  + y = r x = y 1 x = y  2 x =  y  3 , 1 0 0 1 0 0 , 1 2 3 0 0 1 0 1 0 =           =           − − − A = B C

这时,一般描述为 (n)+an-y +…+a1y+aoy +b+b(245) 状态变量的选取:对于这种情况不能选 输出及其各阶导数作为状态变量。因为 如果把四,…,作为状态变量 则状态方程 2 2 -aox 01-21 2 a,xtb.untb +bju+bo

这时，一般描述为 (2.45) 状态变量的选取：对于这种情况不能选 输出及其各阶导数作为状态变量。因为 如果把 ， … ， 作为状态变量， 则状态方程为 y a y a y a y b u b u b u n n n n n 1 0 ( ) 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + + = + + + − −     y y  (n−1) y  ,          = − − − − + + + + + = = = − − − − x a x a x a x b u b u b u b u x x x x x x n n n n n n n n n 1 0 ( 1) 1 ( ) 0 1 1 2 1 1 2 3 1 2        

这时,状态变量中包含了输入信号的导数项, 使得当输入信号出现阶跃时,状态变量将是不 确定的,不满足选择状态变量的要求,因此, 在这种情况下,不能选择國作为 状态变量 (1)方法 选取系统的状态变量为

这时，状态变量中包含了输入信号的导数项， 使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不 确定的，不满足选择状态变量的要求，因此， 在这种情况下，不能选择 ， ，… 作为 状态变量。 （1）方法一 选取系统的状态变量为 y y  (n−1) y

XI=y x2=x1-hu=y-hoi-h,u 2-h2u=y-houi -h,u-h 2.46) (n-2 (n-2) h1 u= 1 (n-1) h0(n-1) hyu (n-2) -hn-u-hmn-ju 其中圆国,圆是个待定系数。整理上 式可得际=x+ 2 +hu (247) in-I=xn+hm-u

⚫ (2.46) 其中 ， ，… ，是个待定系数。整理上 式可得 (2.47) x x h u y h u h u h u h u x x h u y h u h u h u x x h u y h u h u h u x x h u y h u h u x y h u n n n n n n n n n n n n n n n 2 1 ( 2) 1 ( 1) 0 ( 1) 1 1 2 ( 3) 1 ( 2) 0 ( 2) 1 2 2 3 2 2 0 1 2 2 1 1 0 1 1 0 − − − − − − − − − − − − − − = − = − − − − − = − = − − − − = − = − − − = − = − − = −              h0 1 h hn−1 x x h u x x h u x x h u n 1 n n 1 2 3 2 1 2 1 − = + − = + = +    

对式(246)中最后一式求导,得 y-hou-h,u (2.48) 由微分方程(245)得 n-1 aiy-aoy+bnu n)+,-um-d)+.+, i+bou (xn t hou (2.49) =-an-1n n-1) +…+hn-1l)-…-ao(x1+h0l) +u(n)+.,u(nm-)+.+b,i+bu an-Ichot (m1)+…+hn-1l) (n-2) an-2(nou h u +b,(m) tbut bou

对式(2.46)中最后一式求导，得 (2.48) 由微分方程(2.45)得 (2.49) x y h u h u hn u n n n n    1 ( 1) 1 ( ) 0 ( ) − − = − − − − y a y a y a y b u b u b u b u n n n n n n n 1 0 ( 1) 1 ( ) 1 0 ( 1) 1 ( ) = − − − − + + + + + − − − −     b u b u b u a h u a h u h u a h u h u a x a x a x b u b u b u b u a x h u h u a x h u n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1 0 ( ) 0 0 2 ( 2) 2 0 1 ( 1) 1 0 1 2 1 0 1 1 0 ( 1) 1 ( ) 1 0 1 0 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + − − + + − + + = − − − − + + + + + = − + + + − − + − − − − − − − − − − − − − −          

将式(249)代入式(248得 dox1-aix +(6mn-1-h1-an-ho ) +(bn-2-h2-an-h,,ho )u(n-2) (6,-h n-1n-2 +(bo-an-hn-1-an-20n-2-..-ao ho )u

将式(2.49)代入式(2.48)得 (2.50) b a h a h a h u b h a h a h a h u b h a h a h u b h a h u b h u x a x a x a x a x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 3 1 0 ( 2) 2 2 1 1 2 0 ( 1) 1 1 1 0 ( ) 0 0 1 1 2 2 1 1 + − − − − + − − − − − + − − − + − − + − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −      