《自动控制之连续控制系统》第2章（2-7-6） 由伯德

2.7.6由伯德图确定传递函数 1.最小与非最小相位系统的概念 如果系统的传递函数在右半S平面上没有极点 和零点,而且不包含滞后环节,则称为最小相 位系统,否则,称为非最小相位系统 只包含比例、积分、微分、惯性、振荡、阶 微分和二阶微分环节的系统是最小相位系统 而包含不稳定环节或滞后环节的系统则是非最 小相位系统

1. 最小与非最小相位系统的概念 如果系统的传递函数在右半S平面上没有极点 和零点，而且不包含滞后环节，则称为最小相 位系统，否则，称为非最小相位系统。 只包含比例、积分、微分、惯性、振荡、一阶 微分和二阶微分环节的系统是最小相位系统。 而包含不稳定环节或滞后环节的系统则是非最 小相位系统

在伯德图上,若一个最小相位系统和一个非最 小相位系统具有相同的幅频特性,则最小相位 系统的相角滞后,总是小于非最小相位系统的 相角滞后。例如,从不稳定典型环节的伯德图 图252和图253上可明显地看出,它们的相角滞 后都大于所对应的稳定的典型环节的相角滞后

在伯德图上，若一个最小相位系统和一个非最 小相位系统具有相同的幅频特性，则最小相位 系统的相角滞后，总是小于非最小相位系统的 相角滞后。例如，从不稳定典型环节的伯德图 图2.52和图2.53上可明显地看出，它们的相角滞 后都大于所对应的稳定的典型环节的相角滞后

最小相位系统的特征: 设一个最小相位系统的传递函数的分子、分母的最 高次数分别是n和m,则当→时,系统的相频特 性必然趋于-(n-m904而对应的所有非最小相位系 统虽然具有相同的幅频特性,但四→≯时,系统的 相频特性不等于-(n-m)90在伯德图上,当系统的 对数相频特性的高频段趋于(0n-m90°4则为最小相 位系统,否则,是非最小相位糸统

最小相位系统的特征: 设一个最小相位系统的传递函数的分子、分母的最 高次数分别是n和m，则当 时，系统的相频特 性必然趋于 。而对应的所有非最小相位系 统虽然具有相同的幅频特性，但 时，系统的 相频特性不等于 。在伯德图上，当系统的 对数相频特性的高频段趋于 ，则为最小相 位系统，否则，是非最小相位系统。    o  (n  m)90    o  (n  m)90 o  (n  m)90

2.由伯德图确定传递函数 对于最小相位系统,幅频特性和相频特性是单值 对应的,因此,根据系统的对数幅频特性就可以 写出系统的传递函数或者频率特性。 例2.28某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线 如图257所示,确定该系统的传递函数

对于最小相位系统，幅频特性和相频特性是单值 对应的，因此，根据系统的对数幅频特性就可以 写出系统的传递函数或者频率特性。 例2.28 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线 如图2.57所示，确定该系统的传递函数

d B L() 40 20 4 4.44dB 60 图2.57最小相位系统的伯德图

图 2 .5 7 最 小 相 位 系 统 的 伯 德 图 L ( )  0 1 0 0 .1 0 .4 1 2 0 4 0 - 2 0 - 4 0 - 2 0 - 6 0 4 .4 4 d B d B

解由于对数幅频特性的低频段是20dB/dec的直线 所以,系统的传递函数有一积分环节。根据转折点处 对数幅频特性渐近线斜率的变化,容易写出系统的传 递函数为 G( K(+s) s(1+,S)(+25S+( 0.4 1010

解 由于对数幅频特性的低频段是 的直线， 所以，系统的传递函数有一积分环节。根据转折点处 对数幅频特性渐近线斜率的变化，容易写出系统的传 递函数为 ) ) 10 ( 10 1 )(1 2 0.4 1 (1 (1 ) ( ) s 2 s s s K s G s        20dB/ dec

由于低频段的延长线与0db线(横坐标轴)的 交点为o=10因此,K=10 由于在转折频率处对数幅频特性和其渐近线的 误差为4.44db,由式(2.112)得 0.3 201g 4.44 所以,系统的传递函数为 10(1+s) 4001) s(1+2.59)1+006+0.0ls2)s(S+0.4)(S2+6s+100)

由于低频段的延长线与0db线（横坐标轴）的 交点为 ，因此，K=10。 由于在转折频率处对数幅频特性和其渐近线的 误差为4.44db，由式（2.112）得 4 . 44 2 1 20 lg     0.3 所以，系统的传递函数为 ( 0.4)( 6 100) 400( 1) (1 2.5 )(1 0.06 0.01 ) 10(1 ) ( ) 2 2           s s s s s s s s s s G s   10

例2.29某最小相位系统的对数幅频特性的渐近 线如图258所示,确定该系统的传递函数。 L(O) -20 -60 10 0.2 -20 图258最小相位系统的伯德图

例2.29 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近 线如图2.58所示，确定该系统的传递函数。 图2.58 最小相位系统的伯德图 L()  0 1 10 0.2 -20 -60 -20

解由于对数幅频特性的低频段是的直 线20b/e所以,系统的传递函数有1个 积分环节。根据转折点处对数幅频特性渐近线 斜率的变化,容易写出系统的传递函数为 K(1+S) K(1+0.1s) 2 s(1+ (1+5s) 0.2

解 由 于 对 数 幅 频 特 性 的 低 频 段 是 的 直 线 ，所以，系统的传递函数有1个 积分环节。根据转折点处对数幅频特性渐近线 斜率的变化，容易写出系统的传递函数为 2 2 2 2 (1 5 ) (1 0.1 ) ) 0.2 1 (1 ) 10 1 (1 ( ) s s K s s s K s G s        20db / dec

穿越频率四=1,因此,可以由L(1)=1, 或者|(10)=1确定K。 通常在穿越频率附近,转折频率在穿越频 率左边的惯性环节的对数幅频特性可以认为是 20db/dec的斜线,即可以近似为一个积分环 节。而转折频率在穿越频率右边的惯性环节的 幅频特性可以认为是0b水平线,即可以近 似为1

穿越频率 ，因此，可以由L(1)=1， 或者 确定K。 通常在穿越频率附近，转折频率在穿越频 率左边的惯性环节的对数幅频特性可以认为是 -20db/dec 的斜线，即可以近似为一个积分环 节。而转折频率在穿越频率右边的惯性环节的 幅频特性可以认为是 的水平线，即可以近 似为1。   1 ( ) 1 1    G j 0db