《量子力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 近似方法

第五章近似方法 §1引言 52非简并定态微扰理论 §3简并微扰理论 54变分法 §5含时微扰理论 56量子跃迁几率 §7光的发射和吸收

第五章 近似方法 §1 引言 §2 非简并定态微扰理论 §3 简并微扰理论 §4 变分法 §5 含时微扰理论 §6 量子跃迁几率 §7 光的发射和吸收

§1引言 (-)近似方法的重要性 前几章介绍了量子力学的基本理论,使用这些理论解 决了一些简单问题。如: 1)一维无限深势阱问题; (2)线性谐振孑问题; (3)势垒贯穿问题; (4)氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。 然而,对于大量的实际物理问题, Schrodinger方程 能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton量是比 较复杂的,往往不能精确求解。因此,在处理复杂的实 际问题时,量子力学求问题近似解的方法(简称近似方 法)就显得特别重要

（一）近似方法的重要性 前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解 决了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题； （4）氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。 然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程 能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量是比 较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实 际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方 法）就显得特别重要。 §1 引 言

(二)近似方法的出发点 近似方法通常是从简单问题的精确解(解析解)出发, 来求较复杂问题的近似(解析)解。 (三)近似解问题分为两类 (1)体系 Hamilton量不是时间的显函数一定态问题 1定态微扰论;2变分法 (2)体系 Hamilton量显含时间状态之间的跃迁问题 1与时间t有关的微扰理论;2.常微扰

（二）近似方法的出发点 近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发， 来求较复杂问题的近似（解析）解。 （三）近似解问题分为两类 （1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论； 2.变分法。 （2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论； 2.常微扰

§2非简并定态微扰理论 (-)微扰体系方程 (二)态矢和能量的一级修正 (三)能量的二阶修正 (四)微扰理论适用条件 (五)讨论 (六)实例

§2 非简并定态微扰理论 （一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件 （五）讨论 （六）实例

(-)微扰体系方程 微扰法不是量子力学所特有的方法,在处理天体运行的 天体物理学中,计算行星运行轨道时,就是使用微扰方法。 计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如,地球受万有引力作用绕太阳转动,可是由于其它 行星的影响,其轨道需要予以修正。在这种情况下,计算 所使用的方法是:首先把太阳和地球作为二体系统,求出 其轨道,然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变 化。 可精确求解的体系叫做未微扰体系,待求解的体系 叫做微扰体系。假设体系 Hamilton量不显含时间,而 且可分为两部分: H=ho+h

微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的 天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。 计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它 行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算 所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出 其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变 化。 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系 叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而 且可分为两部分： H = H + H ˆ ˆ (0) ˆ （一）微扰体系方程

H所描写的体系是可以精确求解的,其本征值En0,本 征矢№n0满足如下本征方程: 另-部分H是很小的(很小的物理意义将在下面讨论)可 以看作加于Ⅳ上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰 后 Hamilton量H的本征值和本征矢,即如何求解整个体系 的 Schrodinger方程: HIy >=Emly 当H′=0时,四n>=n0>,En= 当H′≠0时,引入微扰,使体系能级发生移动,由 En()→En,状态由中n0)>→ 为了明显表示出微扰的微小程度,将其写为:"=(1) 其中λ是很小的实数,表征微扰程度的参量

H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值En (0) ，本 征矢 |ψn (0)> 满足如下本征方程：  =  (0) (0) (0) (0) | | ˆ H  n En  n 另一部分 H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可 以看作加于 H(0) 上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰 后 Hamilton量 H 的本征值和本征矢，即如何求解整个体系 的 Schrodinger 方程： H | n  = En | n  ˆ 当H’ = 0 时， |ψn> = |ψn (0)> , En = E n (0) ； 当H’ ≠ 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动，由 E n (0) →En ，状态由|ψn (0)> →|ψn >。 为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为： H ˆ H ˆ (1)  =  其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量

因为En、№n>都与微扰有关,可以把它们看成是入的函数而 将其展开成入的幂级数 E.=E(0+花E()+2E(2)+ vn>=v0>+|y)>+2|v2) 其中n,AEn(,2En(,…分别是能量的0级近似,能量的一级修正和 二级修正等;而n(0)>,vn(1)>,2|n(2)>,…分别是状态矢量0级 近似,一级修正和二级修正等。 代入 Schrodinger方程得: +aH()( A|ya)>+22|yn2 (E+AE+42En2)+…)(y>+|ym>+4|y2>+…) 乘开得: H >十 1vp>+吗lym+|元1E01y">+E"lv 2101y2>+y>+}={2Elv2>+E|y1>+E)lv?+ +||2

因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而 将其展开成λ的幂级数：    =  +  +  + = + + + (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) | | | | n n n n En En En En         其中En (0), λE n (1), λ2 En (1) , ... 分别是能量的 0 级近似，能量的一级修正和 二级修正等；而|ψn (0)>, λ|ψn (1)>, λ2 |ψn (2)>, ... 分别是状态矢量 0 级 近似，一级修正和二级修正等。 ( )(| | | ) )(| | | ) ˆ ˆ ( (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) (0) (1) (0) (1) 2 (2)    = + + +  +  +  + +  +  +  + n n n n n n n n n E E E H H              乘开得：                   +  +  +  +  +  +  + =                   +  +  +  +  +  +       [ ] [ | | | ] [ | | ] | [ ] | ] ˆ | ˆ [ | ] ˆ | ˆ [ | ˆ 3 2 (0) (2) (1) (1) (2) (0) (0) (1) (1) (0) (0) (0) 3 2 (0) (2) (1) (1) (0) (1) (1) (0) (0) (0)                  n n n n n n n n n n n n n n n n n E E E E E E H H H H H 代入Schrodinger方程得：

根据等式两边入同幂次的系数应该相等,可得到 如下一系列方程式 Hy a' HIyu>+HIyo>=emiyo>+Emlyn> x2:0|y2)>+h|y>=E0y2)>+E)|y>+E2)|y0> 整理后得 HO-EOTI 0 EIIy O>=-HO-EmIlyo ly EmIly>+ER ly 上面的第一式就是H0的本征方程,第二、三式分别是n①>和ψn (2)>所满足的方程,由此可解得能量和态矢的第一、二级修正

根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到 如下一系列方程式:       +  =  +  +   +  =  +   =  2 (0) (2) (1) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) 1 (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1) (0) 0 (0) (0) (0) (0) | | | | ˆ | ˆ : | | | ˆ | ˆ : | | ˆ : n n n n n n n n n n n n n n n n n H H E E E H H E E H E               整理后得：          −  = − −  +  −  = − −  −  =      (0) (0) (2) (1) (1) (1) (2) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (0) (0) (0) (0) ]| | ˆ ]| [ ˆ [ ]| ˆ ]| [ ˆ [ ]| 0 ˆ [ n n n n n n n n n n n n H E H E E H E H E H E       上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分别是|ψn (1) >和|ψn (2)>所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正

(二)态矢和能量的一级修正 现在我们借助于未微扰体系的态矢n(0>和本征能量 En(来导出扰动后的态矢ψ>和能量En的表达式。 (1)能量一级修正λEn(1) 根据力学量本征矢的完备性假定,H0的本征矢vn0>是完备 的,任何态矢量都可按其展开,n①>也不例外。因此我们 可以将态矢的一级修正展开为: vg">=∑lv=∑alv) 代回前面的第二式并计及第一式得 akn()= 110)-Eya|vA>=-(-Ely> k=1 ∑aEs (0) k E (0) 左乘 Iy (0) THD-EDIIrU Vn (0)

现在我们借助于未微扰体系的态矢|ψn (0)>和本征能量 E n (0)来导出扰动后的态矢|ψn >和能量 En 的表达式。 (1)能量一级修正λEn (1) 根据力学量本征矢的完备性假定，H(0)的本征矢|ψn (0)>是完备 的，任何态矢量都可按其展开，|ψn (1)> 也不例外。因此我们 可以将态矢的一级修正展开为：  =    =   =  = (1) (0) 1 (0) (0) (1) 1 (1) | | | | k n k k k k n k  n    a  akn (1) = −  = − −  −  = − −     =  = (1) (0) (0) (0) (1) (1) (0) 1 (1) (0) (1) (1) (0) 1 (0) (0) ]| ˆ [ ]| [ ]| ˆ ] | [ ˆ [ k n k n k n n k k n k n n k n a E E H E H E a H E     左乘 <ψm (0) | （二）态矢和能量的一级修正

∑ 分“E-E1=-+E 种情况 H H (1 2.m≠n E00-E E (0) 准确到一阶微拢的体系能量: En=E0+AE(1)E(0)+元=E0)+ E00+H 其中能量的一级修正等于微扰 Hm= Hamilton量在0级态矢中的平均值

 −   = −   +    = (1) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (0) (1) (0) (0) 1 | | ˆ [ ] | | k n k n m k m n n m n k a E E    H  E   考虑到本征基矢的正交归一性： mn n mn kn k n mk k H E a E E   (1) (1) (1) (0) (0) 1 ˆ [ ] = − +  −  = amn Em En Hmn En  mn (1) (0) (0) ˆ (1) (1) [ − ] = − + 考虑两 种情况 1. m = n = =   (1) (1) (0) (1) (0) | ˆ | ˆ En Hnn  n H  n 2. m ≠ n (0) (0) (0) (1) (0) (0) (0) (1) (1) | ˆ | ˆ n m m n n m mn mn E E H E E H a −   = − =   准确到一阶微扰的体系能量： (0) (1) En = En + En = +   (0) (0) (1) (0) | ˆ | En   n H  n = +   (0) (0) (1) (0) | ˆ | En  n H  n = +    (0) (0) (0) | ˆ | En  n H  n En Hnn = +  (0) ˆ  =    (0) (0) | ˆ | ˆ Hnn  n H  n 其中能量的一级修正等于微扰 Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值