山东理工大学：《交通工程学》课程授课教案（2019）ch8-34跟驰理论、流体模拟理论

第八章 交通流理论 重点第一节概率统计模型 重点二第二节排队论及其应用 中0000040400中000 重点第三节跟驰模型 重点巴第四节流体模拟理论 ★：要求掌握并学会应用

第八章 交通流理论

第三节 跟驰理论 Fundamentals of Tralfic Eengineering 原理：跟驰理论是运用动力学方法，探究在无法超车的 单一车道上车辆列队行驶时，用数学理论描述后车跟随 前车的行驶状态。 适用范圈：非自由行驶状态下车队的特性：密度高、车 间距离不大，车队中人一辆车的车速都受前车速度的制 约，司机只能按照前车所提供的信息采用相应的车速。 发最： 1950年鲁契尔与1953年派普斯奠定基础； 1960年赫尔曼与罗瑟瑞进一步扩充； 1961年伽塞斯提出了最一般跟驰模型。 研究意义：通过求解跟驰方程，可以得到任意时刻车队 中各车辆的速度、加速度和位置等参数，还可以通过进 一 步推导，得到平均速度、密度、流率等参数，描述交 通流的宏观特性

• 原理：跟驰理论是运用动力学方法，探究在无法超车的 单一车道上车辆列队行驶时，用数学理论描述后车跟随 前车的行驶状态。 • 适用范围：非自由行驶状态下车队的特性：密度高、车 间距离不大，车队中人一辆车的车速都受前车速度的制 约，司机只能按照前车所提供的信息采用相应的车速。 • 发展：1950年 鲁契尔与1953年派普斯奠定基础； 1960年 赫尔曼与罗瑟瑞进一步扩充； 1961年 伽塞斯提出了最一般跟驰模型。 第三节 跟驰理论 研究意义：通过求解跟驰方程，可以得到任意时刻车队 中各车辆的速度、加速度和位置等参数，还可以通过进 一步推导，得到平均速度、密度、流率等参数，描述交 通流的宏观特性

一、 车辆跟驰特性分析 Fundamentals of Tvaffie Eengineering 非自由状态行驶的车队有以下三个特性： 1.制约性 紧随要求：司机不愿落后很多，而是紧跟前车前进 车速条件：后车速度不能长时间大于前车的速度，否则会追尾 间距条件：前后车之间必须保持一个安全距离 2.延迟性 前后车运行状态的改变不同步，后车运行状态的改变滞后于 前车，因为驾驶员需要反应时间。 3.传递性 第1辆车的状态改变→第2辆车状态改变→第3辆车改变. 由于延迟性的存在，这种传递不是平滑连续的，而是脉 冲一样间断连续的

1．制约性 紧随要求：司机不愿落后很多，而是紧跟前车前进 车速条件：后车速度不能长时间大于前车的速度，否则会追尾 间距条件：前后车之间必须保持一个安全距离 2. 延迟性 前后车运行状态的改变不同步，后车运行状态的改变滞后于 前车，因为驾驶员需要反应时间。 3．传递性 第1辆车的状态改变第2辆车状态改变第3辆车改变. 由于延迟性的存在，这种传递不是平滑连续的，而是脉 冲一样间断连续的 非自由状态行驶的车队有以下三个特性： 一、车辆跟驰特性分析

三、线性跟驰模型 Fundamentals of Tralfic Eengineexing ,跟驰模型是一种刺激一反应的表达式。 一个驾驶员所接受的刺激是指其前方导引车的加 速、减速以及随之而发生的这两车之间的速度差 和车间距离的变化； ·该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地 跟踪前车地加速或减速动作及其实际效果

 跟驰模型是一种刺激－反应的表达式。  一个驾驶员所接受的刺激是指其前方导引车的加 速、减速以及随之而发生的这两车之间的速度差 和车间距离的变化；  该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地 跟踪前车地加速或减速动作及其实际效果。 二、线性跟驰模型

二、线性跟驰模型 Fundamentals of Tralfic Eengineering Xn+i(t) Xn(t) Xn+i(t') Xnt'） d!n车制动距离副 n+ 前车开始减速 t艹T n+1 ○后车开始减速 d, 反应时间内 t 行驶的距离 n+1 安全距离 d2 n+1车制动距离

n t n+1 Xn+1(t) Xn(t) n+1 n n+1 n t+T t' Xn+1(t’) Xn(t’) d1 d2 d3 L 前车开始减速 后车开始减速 反应时间内 行驶的距离 安全距离 二、线性跟驰模型 n车制动距离 n+1车制动距离 0

二、线性跟驰模型 Fundamentals of Tralfic Eengineering 两车不发生碰撞的条件：L=安全间隔+车身长度 Lo=x(1)-x(t) x,(t)=x,(t)+d3 x(t)=x(t)+d+d [xn(t)+d3]-[xn+1(t)+d1+d2]=Lo 假设：前车与后车在减速期间行驶的距离相同，于是d2=d3 xn (t)-xn(t)=d +Lo 假设：后车在反应时间保持车速不变，于是d,=优1()=+1t+T) x()-x(t)=Tim(t+T)+Lo

两车不发生碰撞的条件： L0 =安全间隔+车身长度 L= ( ) ( ) 1 x t x t n n ′ − ′ + 3 xn (t′) = xn (t) + d 1 1 1 2 xn+ (t′) = xn+ (t) + d + d 3 1 1 2 0 [xn (t) + d ] −[xn+ (t) + d + d ] = L 假设：前车与后车在减速期间行驶的距离相同，于是 d2=d3 1 1 0 xn (t) − xn+ (t) = d + L 假设：后车在反应时间保持车速不变，于是 ( ) ( ) d1 = Txn+1 t = Txn+1 t + T 1 1 0 xn (t) − xn+ (t) = Txn+ (t +T) + L 二、线性跟驰模型 L0

二、线性跟驰模型 Fundamentals of Faffic Eengineering x(t)-x(t)=T(t+T)+L 两边对t微分： (t)-(t)=Tn(t+T) xa1+T)=T{x,(0-xa1(0} xn+1(t+T)为后车在时刻(t+T)的加速度，理解为后车的反应； 为司机反应敏感度； T xn(t)-xn+1(t)为时刻t的刺激， 从而认为：反应=敏感度×刺激 ⑤

xn (t) − xn+1(t) = Txn+1(t +T) + L 两边对 t 微分： ( ) ( ) ( ) xn t − xn+1 t = T  x n+1 t + T { ( ) ( )} 1 ( ) 1 . . 1 . x t x t T x t T n n n+ + = − + 1( ) . xn+ t +T 为后车在时刻（t+T）的加速度，理解为后车的反应； T 1 为司机反应敏感度； ( ) 1 ( ) . . x n t − x n+ t 为时刻 t 的刺激， 从而认为：反应=敏感度×刺激 二、线性跟驰模型

二、线性跟驰模型 Fundamentals of Tralfic Eengineexing xa+1(t+T)=T{xn(0-xn+1(0)} 上述公式的推导是基于三点假设： (1)前车刹车 (2)前车、后车的减速距离相等d2=d3 (3)后车在反应时间保持车速不变，d,=T优n+1(t)=Tm+1(t+T) 实际情况比此要复杂多 戈n+1(t+T)=2[xn(t)-xm+1(t]) 入一反应强度系数，量纲为s1。 模型表明即跟驶车的加减速度与前后车的相对速度呈线性关系 故称为线性跟驰模型

上述公式的推导是基于三点假设： (1) 前车刹车 (2) 前车、后车的减速距离相等 d2=d3 (3) 后车在反应时间保持车速不变， ( ) ( ) d1 = Txn+1 t = Txn+1 t + T 实际情况比此要复杂多 ( ) [ ( ) ( )]) 1 1 x t T x t x t n+ + = n − n+  λ   { ( ) ( )} 1 ( ) 1 . . 1 . x t x t T x t T n n n+ + = − + 二、线性跟驰模型 λ——反应强度系数，量纲为s-1 。 模型表明即跟驶车的加减速度与前后车的相对速度呈线性关系， 故称为线性跟驰模型

三、线性跟驰模型的稳定性 Fundamentals of Traffic Eengineering 线性跟驰模型的两类波动稳定性： (1)局部稳定性：关注跟驰车对前面车运行波动的反应，如前后两 车车间距变化是否稳定，摆动大则不稳定，摆动小则不稳定 (2)渐进稳定性：关注车队中每一辆车的波动特性在车队中的表现， 即车队的整体波动特性（长期行为)，如前车向后面各车传播 速度的变化，速度振幅扩大则不稳定，振幅衰减则渐进稳定。 线性模型为一个复杂的二阶微分方程，求解需用拉普拉斯 变换。赫尔曼用IBM704计算机解该微分方程，并推导出 如下关系式： C=λT C一表示两车间距摆动特性的数值。C越大，车间距摆动越大； C值越小，车间距的摆动则趋近于零。 灵敏系数或反应强度系数，其值大则表示反应过分强烈 T 反应时间

三、线性跟驰模型的稳定性 线性跟驰模型的两类波动稳定性： (1)局部稳定性：关注跟驰车对前面车运行波动的反应，如前后两 车车间距变化是否稳定，摆动大则不稳定，摆动小则不稳定 (2) 渐进稳定性：关注车队中每一辆车的波动特性在车队中的表现， 即车队的整体波动特性（长期行为） ，如前车向后面各车传播 速度的变化，速度振幅扩大则不稳定，振幅衰减则渐进稳定。 线性模型为一个复杂的二阶微分方程，求解需用拉普拉斯 变换。赫尔曼用 IBM704计算机解该微分方程，并推导出 如下关系式： C——表示两车间距摆动特性的数值。C越大，车间距摆动越大； C值越小，车间距的摆动则趋近于零。 ——灵敏系数或反应强度系数，其值大则表示反应过分强烈。 T——反应时间。 C = λT λ

1、局部稳定 Fundamentals of affie Eengineering 针对C=T取不同的值，跟驰行驶两辆车的运动情况可 以分为以下四类： (1)0sC≤e1时，车头间距不发生波动，基本稳定； (2)e1π2，车头间距发生波动，振幅增大。 G-0.50 C=0.80 57 时间

针对C=λT 取不同的值，跟驰行驶两辆车的运动情况可 以分为以下四类： （1）0≤C≤e-1时，车头间距不发生波动，基本稳定； （2） e-1π/2，车头间距发生波动，振幅增大。 1、局部稳定