《线性系统理论》PPT课件：第5章 能控性和能观性（5.5-5.6）线性动态方程的规范分解

第五章线性动态方程的可 控性和可观测性 5.1引言 5.2时间函数的线性无关性 5.3线性动态方程的可控性 5.4线性动态方程的可观测性 5.5线性动态方程的规范分解 5.6约当形(若当型)动态方程的可 控性和可观测性 木*2

第五章 线性动态方程的可 控性和可观测性 5.1 引言 5.2 时间函数的线性无关性 5.3 线性动态方程的可控性 5.4 线性动态方程的可观测性 5.5 线性动态方程的规范分解 5.6 约当形(若当型)动态方程的可 控性和可观测性

5.5线性时不变系統的规范分解 等价变换的性质 元=A+Bu y=Ca+ eu 令x=Px,det(P)≠0,则经等价变换后有 =artful y=Ca+ ew 其中: A=PAPB=PB. C=CPE=E 木*2

一、等价变换的性质 = + = + A B C E x xu  yxu 令 ， ，则经等价变换后有 x = P x det( ) 0 P ≠ = + = + A B C E x xu  yxu 其中： 1 1 ,, , − − A PAP B PB C CP E E = == = 5.5 线性时不变系统的规范分解

定理5-15:在任何等价变换之下,线性时不变系 统的可控性和可观测性不变。 注:定理5-15可以推广到线性时变系统。 证明:等价系统 x=Ax+Bu Cx+eu 可控,则有: ranklBAB Am-B=m BABA(mB]=P|BABA0nB]证完。 ★

定理5－15：在任何等价变换之下，线性时不变系 统的可控性和可观测性不变。 注：定理5－15可以推广到线性时变系统。 证明：等价系统 x x y x = + = + A Bu C Eu  ( 1) ( 1) [B AB A B P[B AB A B ] ] n n − − = ( 1) [B AB A B] − = n rank n 而 证完。 可控，则有：

二、动态方程按可控性分解 设系统动态方程为 =a tBu y=c+eu x (553) 其可控性矩阵的秩为n<(n为a的维数),系统不 可控,但可分解出维的可控子系统,有以下定理 ★

= + = + A Bu C E x x  yxu (5-53) 其可控性矩阵的秩为n1<n (n为x的维数)，系统不 可控，但可分解出n1维的可控子系统，有以下定理 设系统动态方程为 二、动态方程按可控性分解 ∫ 1 x  1 x − 1 u ∫ 2 x  2 x

定理5-16:n维线性时不变动态方程FE,若动态方程 的可控性矩阵有秩,则存在一个非奇异的常值矩阵 P及等价变换x=Px,将系统化为下列形式 B T°+ y=C 其中维子方程FE如下 c2 A x+b. C x+e 是可控的,且与原动态方程有相同的传遂图数矩

其中 n1维子方程FEc 如下： 12 0 0 [ ] ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = A A B A C C  c c c c c x xu y x cc c c cc x xu y xu = + = + c A B C E  是可控的，且与原动态方程有相同的传递函数矩阵: 定理5-16: n维线性时不变动态方程FE，若动态方程 的可控性矩阵有n1秩，则存在一个非奇异的常值矩阵 P及等价变换 ，将系统化为下列形式 x = Px ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ cc x x x 1 1 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ #cc c cn xx x x

定理的证明说明:(同时说明了变换矩阵的构造方法) 1)列写出动态方程的可控性矩阵U,其秩为n; B: AB::AB 2)从U中选取1个线性无关的列向量 1>22 7901 作为变换阵的逆矩阵的前n列,再补充m-m个乳 维的列向量 得到: q

定理的证明说明：(同时说明了变换矩阵的构造方法) 1 1 1 1 1 [ ] − P = q qq q " " nn n + 1) 列写出动态方程的可控性矩阵U，其秩为n1； 2) 从U中选取n1个线性无关的列向量 1 q q n n +1" 1 1 2 qq q ,,, " n 作为变换阵的逆矩阵的前n1列，再补充n−n1个n 维的列向量 得到： 1 [ ] − # #"# n B AB A B

3).由PAP=A→AP=PA,有 AP=ALg1 qm, qn q qm, qn+ qX * 12 * 00 0 00 ★ A

− −− 1 11 3). 由PAP A AP P A = ⇒= ， 有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ] [ ] AP A − + + = = × " "" " "" nn n nn n q qq q q qq q ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A   * * * 0 0 0 # # 1 n 1 A q * * * 0 0 0 # # 2 A q * * * 0 0 0 # # 1n A q * * * * * * * # 1n 1 q A + * * * * * * * # n A q A c A12 0 A c

同理,由PB=B→B=PB,有 b=q +1 qn」 B * 00 00 00 ★ B

−1 同理，由 ，有 PB B B P B = ⇒= 1 1 1 1 B [ ] = q qq q " "" nn n + × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B   * * * 0 0 0 # # * * * 0 0 0 # # * * * 0 0 0 # # B c 0

4).可控矩阵: 7=再观…团…要 00 Ranku= ranku=n 因而动态方程FE是可控的。 木*2

4). 可控矩阵： 1 1 1 0 0 0 0 0 0 n n n c cc c c c c c c c B A B A A BU B A B U − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ " " " " 而 R 1 ankU RankU n = = 因而动态方程FEc是可控的

5).传递矩阵: G(S=C(sI-A) B+E=C(sl-A)B+E A B CC =C (Si-AdB+E 证完。 木*2

5). 传递矩阵： 1 12 1 [ ] 0 0 c c c c c c cc s s s − − ⎡ ⎤ − − ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − ⎣ ⎦ =− + IA A B CC E I A C IA B E （ ） 1 1 () ( ) ( ) ss s − − G C I A B+E C I A B+E =− =− 证完