《线性系统理论》PPT课件：第8章 线性系统的稳定性分析（8.1）李雅普诺夫稳定性

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参考书 1.高为炳编著:运动稳定性基础,高等教育出 版社,1987年5月 2.黄琳:稳定性理论,北京大学出版社,1992 年7月 3.秦元勋、王慕秋、王联: 运动稳定性理论与应用,科学出版社,1980年 4.王柔怀、伍卓群编: 常微分方程讲义,人民教育出版社,1978年5月 5.黄琳:稳定性与鲁棒性的理论基础,科学出版社, 2003年2月 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建iw, fineprint. com. cn

1. 高为炳编著： 运动稳定性基础，高等教育出 版社, 1987 年5月 2. 黄琳： 稳定性理论，北京大学出版社, 1992 年 7月 3. 秦元勋、王慕秋、王联： 运动稳定性理论与应用, 科学出版社, 1980年 4. 王柔怀、伍卓群编： 常微分方程讲义, 人民教育出版社, 1978年5月 5. 黄琳：稳定性与鲁棒性的理论基础,科学出版社， 2003年2月 参考书 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 Ìwww.fineprint.com.cn

6. Lasalle, J. P, Stability by lyapunoy direct method New york Academic press. 1961 7. Hahn, W, Stability of motion, New York, Springer Verlag. 1967 8. Desoer, C.A. and Vidyasagar, M, Feedback systems: Input-output properties, New York Academic Press. 1975 9线性系统理论(第2版)清华大学出版社郑大中 10线性系统理论与设计科学出版社陈启宗 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn

3 6. LaSalle, J. P., Stability by Lyapunov direct method, New York: Academic Press, 1961. 7. Hahn, W., Stability of motion, New York, Springer￾Verlag, 1967. 8. Desoer, C.A. and Vidyasagar, M., Feedback systems: Input-output properties, New York: Academic Press, 1975. 9.线性系统理论（第2版） 清华大学出版社 郑大中 10.线性系统理论与设计 科学出版社 陈启宗 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/

任何一个实际系统总是在各种偶然和持续 的干扰下运动或工作的。显然,我们首先要考 虑的问题是,当系统承受这种干扰之后,能否 稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态,这 就是稳定性。 此外,我们知道,描述系统的数学模型, 绝大部分都是近似的,这或者是由于量测误差, 或者是为使问题简化,而不得不忽略某些次要 因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运 动,在某种意义上说,也是稳定性问题。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn

任何一个实际系统总是在各种偶然和持续 的干扰下运动或工作的。显然，我们首先要考 虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否 稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这 就是稳定性。 此外，我们知道，描述系统的数学模型， 绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差， 或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要 因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运 动，在某种意义上说，也是稳定性问题。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/

预备知识:微分方程解的存在性及唯一性条件、 解对初值的连续依赖性。 1.微分方程解的表示。考虑微分方程: x=f(x, t)(E) x x 其解x()是自变量t的函数,而1,x变动时对应的 解也随着变动,故它应该是自变量t与初值t、xo的 函数,可记为x(,10x0) 例如 x=x=x=x(t, to, xo=ex(to=e=oxo PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn

预备知识: 微分方程解的存在性及唯一性条件、 解对初值的连续依赖性。 1. 微分方程解的表示。考虑微分方程： 0 0 ( , ) ( ) ( ) x f x t E x t x = = & 其解 x(t) 是自变量 t 的函数，而t0, x0 变动时对应的 解也随着变动，故它应该是自变量 t 与初值 t0、x0 的 函数, 可记为 x(t, t0,x0) 例如 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( ) t t t t x x x x t t x e x t e x - - & = Þ = = = PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/

问题:当初值变动时,对应的解如何变动? 在应用上的意义是:初值通常是用实验方法求得 的,实验测得的数据不可能绝对准确,若微小的误差 会引起对应解的巨大变动,那么所求的初值问题解的 实用价值就很小。 2. Lipschitz条件 f(x, t),x(to)=x o (t1,t2)∈(-∞,+) (t1,t2):=I,x∈WCR f(x,t)的定义域记为WxI PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn

6 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？ 在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得 的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差 会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的 实用价值就很小。 0 0 1 2 1 2 ( , ) , ( ) , ( , ) ( , ) ( , ) : , I W R x f x t x t x t t t t t x = = Î Ì - ¥ + ¥ = Î Ì & 2. Lipschitz条件： f (x t, )的定义域记为W I ´ 。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/

若存在一个常数L,使得对任何t∈L,x,y∈W都有 f(x, t)-f(y, t)s L k-y 则称f在Wx让满足 Lipschitz条件。这个定义可以 推广到W为任意有限n维空间的情形。 注:满足 Lipschitz条件可保证微分方程解的存在性和 唯一性。 3.解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建v, fineprint,com,cn

若存在一个常数L，使得对任何 t Î Î I W , , x y 都有 f ( x , t ) - f ( y , ) t £ - L x y 则称 f 在 上满足Lipschitz条件。这个定义可以 推广到W为任意有限n维空间的情形。 W I ´ 注：满足Lipschitz 条件可保证微分方程解的存在性和 唯一性。 3. 解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn //

定理1(解的存在性及唯一性定理):对于微分方程 i'=f(r, t) 若f(x)在WxⅠ域内连续且满足 Lipschit条件,则 对任意的初始条件 x(x0,tb)∈W×, 总存在常数a>0,使得有唯一解 在[ωo-a,to+a]上存在、对t连续,且满足初始条件 x(10)=x° 稳定性的核心是研究解的淅近性质,即当解x( 在t>∞时的性状。故总假定在[o.∞)上解是存在的。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn

定理1（解的存在性及唯一性定理）：对于微分方程 若 f (x,t) 在 W´I 域内连续且满足Lipschitz 条件，则 对任意的初始条件 x(x0, t0)ÎW´I， 总存在常数a>0，使得有唯一解 x=x(t, t0, x0) 在[t0-a, t0+a]上存在、对t 连续 ，且满足初始条件 x(t0)=x0。 稳定性的核心是研究解的渐近性质，即当解x(t) 在t®¥时的性状。故总假定在[t0, ¥) 上解是存在的。 x& = f (x t, ) PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/

定理2(解对初值的连续依赖性):在定理1的条 件下,若f(x)在域内连续且满足Libh条件, 则微分方程的解x(,1,x0)作为,1,x的函数在它 的存在范围内是连续的,即 ⅤE>0,38>0,使得当‖x(t)()<6时,有 1x(t, to, x( to)-V(t, to, u(t)<E a≤长≤b,a≤t≤b 以上定理说明:若在初始时刻x(t0(和v(0)十分接 近,则在定义域[a,b]内的解x()和v()也会十分 接近。 PDF文件使用" pdfFactory”试用版本创建 dir. fineprint,com,cn

定理2（解对初值的连续依赖性）：在定理1的条 件下，若f (x,t) 在域内连续且满足Lipschitz 条件， 则微分方程的解 x(t, t0, x0) 作为t, t0, x0的函数在它 的存在范围内是连续的, 即 "e >0, $d >0, 使得当 ‖x (t0)-y (t0)‖ <d 时,有 ‖x(t, t0, x(t0))-y (t, t0, y(t0))‖<e, a≤t≤b , a≤ t0 ≤b 以上定理说明：若在初始时刻x (t0)和y (t0) 十分接 近，则在定义域[a, b]内的解x (t)和y (t) 也会十分 接近。 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 / www.fineprint.com.cn ÿ/

§8-1李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初 值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推 广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的 解在无穷区间[o.∞)满足存在和唯一性条件。 、平衡状态的稳定性 1平衡状态 考虑系统: x=f(x,t),x∈R 若随着时间t的变化,状态x=x保持不变(即恒为 常数),则称这个状态为系统的平衡状态。由于平 衡状态也是系统的一个状态,故它是上述微分方程 PDF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprint,com,cn

§8-1 李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初 值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推 广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的 解在无穷区间[t0, ¥)满足存在和唯一性条件。 一、平衡状态的稳定性 1.平衡状态 考虑系统： ( , ), n x& = Î f x t x R 若随着时间t 的变化，状态 x=xe保持不变（即恒为 常数），则称这个状态为系统的平衡状态。由于平 衡状态也是系统的一个状态，故它是上述微分方程 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 ÿwww.fineprint.com.cn