哈尔滨工业大学：《建筑结构抗震设计》课程教学资源（PPT讲稿）第三章 地震作用和结构抗震验算 §3.12 结构非弹性地震反应分析

§3.12结构非弹性地震反应分析 、结构的非弹性性质 滞回曲线:结构或构件在反复荷载作用下的力与非弹 性变形间的关系曲线。 A 骨架曲线 受弯钢筋凝土构 件的滞回曲线

§3.12 结构非弹性地震反应分析 一、结构的非弹性性质 滞回曲线：结构或构件在反复荷载作用下的力与非弹 性变形间的关系曲线。 受弯钢筋凝土构 件的滞回曲线

滞回模型:描述结构或 k 构件滞回关系的数学模 型。 P 双线性模型 lko 双线性模型一般适 用于钢结构梁、柱、节 O 点域构件。 钢筋混凝土梁、柱、 墙等一般采用退化三线 3 性模型。 4

滞回模型：描述结构或 构件滞回关系的数学模 型。 双线性模型 双线性模型一般适 用于钢结构梁、柱、节 点域构件。 钢筋混凝土梁、柱、 墙等一般采用退化三线 性模型

3,89 退化三线性模型 k 0 8(113 04 10 26,115

退化三线性模型

、结构非弹性地震反应分析的逐步积分法 线加速度法 运动方程m+cj+ky(t)=P(t) P(t) y(t) f1(1)+JD(1)+f(D)=P() 线性问题:c、k为常数 fn f ly=k=tga fp/y=c=tgB y(t) y(t 非线性问题:C、k为非常数↑ f

线加速度法 运动方程 m  y  + cy  + k y(t) = P(t) f s / y = k = tg P(t) m k c y(t) f (t) f (t) f (t) P(t) I + D + s = 线性问题： c、k为常数 f D / y  = c = tg s f y(t)  D f y (t)  非线性问题： c、k为非常数 s f y(t) D f y (t) 二、结构非弹性地震反应分析的逐步积分法

增量方程 df. △y 时刻 f/(1)+fD(t)+∫。(1)=P(t) △y4 t+A时刻 y(t)y(t+△t ∫(+△)+fD(t+A)+f(t+△)=P(+△) Ay ;(t)+AD()+4(t)=△P(t) 其中:4()=f(t+△)-f() =my(t+△t)-m(1)=m·Aj(t) △ y(t) ∽(t)≈k(t)·4y(1)k()=d/dy j()j(t+△t) A(tac(t).Ai(t) c(0=dfs/dy △P(t)=P(t+△)-P(t) m△y()+c(t)△(t)+k(1)△y()=△P(t) 增量方程

1.增量方程 t时刻 f (t) f (t) f (t) P(t) I + D + s = t +t 时刻 f (t t) f (t t) f (t t) P(t t) I +  + D +  + s +  = +  f (t) f (t) f (t) P(t)  I +  D +  s =  其中： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) my t t my t m y t f t f t t f t I I I =  +  −  =   = +  − f (t) k(t) y(t)  s   s f y(t) y dy dfs  s f y(t) y(t + t) y k t df dy s ( ) = / f (t) c(t) y(t) D    c t df dy s ( ) = / D f y (t) y dy dfD    D f y (t) y (t + t) y  P(t) = P(t + t) − P(t) m y (t) + c(t)y (t) + k(t)y(t) = P(t) ----增量方程

2线加速度法 m△j()+c(t)A(t)+k()Av(t)=△P(t j( △y()=j(1)△t+(△t)+ )3 增量方程 2! △()=y()△t+(△)2+ (4) △()=y()△t+ △)+ k(t=k(t) m+—C 设y4(t)=0并消去(t) △y() △y()-y()-3j(t) y(t+△t)=y(t)+△y(t) (△t) j(t+△t)=j(t)+△j(t) 3 △t A(1)=4y()-31()-()y(t+△)=y()+4(t) △y=△P/k 其中△P(t)=△P(1)+m[ⅳ(1)+3y)+c(3y()+y(

2.线加速度法     =   +  +  + 2 3 ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) t y t t y t y t y t t y P k ~ / ~  =     =   +  + 2 ( ) 2! ( ) ( ) ( ) t y t y t y t t  =   +  2 + (4) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) t y t y t y t t 设 ( ) 0 并消去 (4) y t =  y (t) ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) 6 ( ) 2 y t y t t y t t y t  −    −   = ( ) 2 ( ) 3 ( ) 3 ( ) y t t y t y t t y t     − −   = 其中 ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) ~ 2 c t t m t k t k t  +  = + ( )] 2 ( ) 3 ( )] ( )[3 ( ) 6 ( ) ( ) [ ~ y t t y t y t c t y t t P t P t m      + + +   =  + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t t y t y t y t t y t y t y t t y t y t       +  = +  +  = +  +  = +  m y (t) + c(t)y (t) + k(t)y(t) = P(t) ----增量方程

3.计算步骤 已知t1时刻的状态向量及4y(t-1)4(-) 求t时刻的状态向量及增量。 (1)求t时刻的状态向量 y(t1)=y(t1)+△y(t1-1) ji(t)=y(11)+△y(t1) j(1)=-[P(t1)-fD(t1)-f(t1) (2)求△P(1)k(t1) (3)求△1)j(t1) 积分步长:M≤T/10

3.计算步骤 （1）求ti时刻的状态向量 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i i D i s i i i i i i i P t f t f t m y t y t y t y t y t y t y t = − − = +  = +  − − − −     （2）求 ) ~ ( ) ~ i i P t 、k（t （3）求 ( ) ) i i y t 、y （t 积分步长： t T /10 已知ti-1时刻的状态向量及 ( ) ( )  i−1  i−1 y t 、 y  t 求ti时刻的状态向量及增量

例:求位移时程曲线, 恢复力时程曲线, P(+)y(t)计算步骤 已知t1时刻的状态向量及 最大位移,最大恢复力, Ay(t1)、Aj(t1) 开始时静止。 求t时刻的状态向量及增量 P(t)(kN) (1)求t时刻的状态向量 fs (1)=y(t1)+△y(t j(t1)=(t1-1)+△j(t-1) j(t1)=-[P(t1)-fD(t1)-f(t1) 0.1 0.05 2)求△P(4)k(t) fi tan B=c=lkN.s/m k(t)=k(t)+ (417)2m+ P(t)=△P(1)+mj(t)+3j() +c(t[3v(1)+() 解:确定步长 (3)求A4)4(4) m=W/g=15×103/981=1.529×10kg 积分步长Ms7/10 O=√k/m=√60/1.529=62641/s △P(t)=△P()+94.74y(1)+4637y(1) T=2x/o=1003s:Mt=0.ls △y()=30Ay(1)-3()-0.05v(t) k()=(0)+5×1529+3=k(0+974Nm

P(t) W=15kN 例：求位移时程曲线， y(t) 恢复力时程曲线， 最大位移，最大恢复力， 开始时静止。 P(t)(kN) 0.1 0.8 t(s) 2.5 4 3.5 2.5 1.5 1 0.5 fs y(m) 3kN 0.05 fD 0.05 y (t)  tan  = c =1kNs/m 解： 确定步长 / 15 10 / 9.81 1.529 10 kg 3 3 m =W g =  =   = k / m = 60/1.529 = 6.264 1/s T = 2 / =1.003s; t = 0.1s 计算步骤 已知ti-1时刻的状态向量及 求ti时刻的状态向量及增量 ( ) ( )  i−1  i−1 y t 、 y  t （1）求ti时刻的状态向量 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i i D i s i i i i i i i P t f t f t m y t y t y t y t y t y t y t = − − = +  = +  − − − −     （2）求 ) ~ ( ) ~ i i P t 、k（t （3）求 ( ) ) i i y t 、y （t 积分步长： t T /10 ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) ~ 2 c t t m t k t k t  +  = + ( )] 2 ( )[3 ( ) ( ) 3 ( )] 6 ( ) ( ) [ ~ y t t c t y t y t y t t P t P t m      + + +   =  + ( ) 947.4kN/m 0.1 3 1.529 0.1 6 ( ) ( ) ~ 2 k t = k t +  + = k t + ( ) ( ) 94.74 ( ) 4.637 ( )] ~ P t = P t + y  t +  y  t y (t) = 30y(t) −3y (t) − 0.05 y (t)

1.t=0 10=010)=00)=6(0)=00)=(0=0P0“已知t时刻的状态向量及 f(0)+fD(0)+f(0)=P(0);∴0)=0 Ay(t1)、Aj(t1) y(O)0)k(O)=60,k(0)=60+947410074 求t时刻的状态向量及增量 j(O)}={0}△P(0)=25△P(O)2=2.5 (1)求t时刻的状态向量 y(t1)=y(t1-1)+△y(t1 (O)(0Ay(O)=△P(0)/k(0)=000248 j(t1)=(t1-1)+△j(t-1) P(t)(kN) △(0)=0.0744 j(t1)=-[P(t1)-fD(t1)-f(t1) fs (2)求AP(1)k(1) BkN k(t)=k(t)+ (417)2m+ △P(t)=△P(1)+m[ⅳ(t)+3j(1) 0.1 0.8t( 0.05 (m) +c(t[3v(1)+() 解:确定步长 (3)求A4)4(4) m=W/g=15×103/9.81=1:529×103ks 积分步长:MsT10 O=√k/m=√60/1.529=62641/s △P(t)=△P()+94.74y(1)+4637y(1) T=2x/o=1003s:Mt=0.ls △y()=30Ay(1)-3()-0.05v(t) k()=(0)+5×1529+3=k(0+974Nm

P(t)(kN) 0.1 0.8 t(s) 2.5 4 3.5 2.5 1.5 1 0.5 fs y(m) 3kN 0.05 解： 确定步长 / 15 10 / 9.81 1.529 10 kg 3 3 m =W g =  =   = k / m = 60/1.529 = 6.264 1/s T = 2 / =1.003s; t = 0.1s ( ) 947.4kN/m 0.1 3 1.529 0.1 6 ( ) ( ) ~ 2 k t = k t +  + = k t + ( ) ( ) 94.74 ( ) 4.637 ( )] ~ P t = P t + y  t +  y  t y (t) = 30y(t) −3y (t) − 0.05 y (t) 1. t=0 y(0) = 0; y(0) = 0; f (0) = k y(0) = 0; f (0) = cy(0) = 0;P(0) = 0 s D   f (0) + f (0) + f (0) = P(0); y(0) = 0 I D s  计算步骤 已知ti-1时刻的状态向量及 求ti时刻的状态向量及增量 ( ) ( )  i−1  i−1 y t 、 y  t （1）求ti时刻的状态向量 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i i D i s i i i i i i i P t f t f t m y t y t y t y t y t y t y t = − − = +  = +  − − − −     （2）求 ) ~ ( ) ~ i i P t 、k（t （3）求 ( ) ) i i y t 、y （t 积分步长： t T /10 ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) ~ 2 c t t m t k t k t  +  = + ( )] 2 ( )[3 ( ) ( ) 3 ( )] 6 ( ) ( ) [ ~ y t t c t y t y t y t t P t P t m      + + +   =  +           =           0 0 0 (0) (0) (0) y y y   (0) 60 947.4 1007.4 ~ k(0) = 60;k = + = (0) 2.5 ~ P(0) = 2.5;P = (0) 0.00248 ~ (0)/ ~ y(0) = P k = y (0) = 0.0744

1.t=0 计算步骤 y10)=0,y(O)=0.f,(0)=k(0)=0.f(0)=0)2=0,P(O)=0已知t时刻的状态向量及 f(0)+fD(0)+f(0)=P(0);∴0)=0 Ay(t1)、Aj(t1) y(O)0)k(O)=60,k(0)=60+947410074 求t时刻的状态向量及增量 j(O)}={0}△P(0)=25△P(O)2=2.5 (1)求t时刻的状态向量 y(t1)=y(t1-1)+△y(t1 (O)(0Ay(O)=△P(0)/k(0)=000248 j(t1)=(t1-1)+△j(t-1) 2.t=0.1s △(0)=0.0744 j(t1)=-[P(t1)-fD(t1)-f(t1) y0D=y0+V0=00810)=0)+A0=00+(2)求AP)、k(1) y(0.1)<005弹性阶段k(0.1)=60 k(t)=k(t)+ (417)2m+ f(0.1)=k(0.1)×y(0.1)=0.1488 △P(t)=△P(1)+m[ⅳ(t)+3j(1) f(0.1)=cxy0.1)=00744P(0.1)=25 (0=P0)-1(0)-f01)=227800=1491+0)2yo P(t(kN) (3)求A4)4(4) f 3kN 积分步长:MsT10 △P()=△P(1)+94.74y(1)+4637( 0.1 y △y()=30Ay(1)-3()-0.05v(t)

P(t)(kN) 0.1 0.8 t(s) 2.5 4 3.5 2.5 1.5 1 0.5 fs y(m) 3kN 0.05 ( ) ( ) 94.74 ( ) 4.637 ( )] ~ P t = P t + y  t +  y  t y (t) = 30y(t) −3y (t) − 0.05 y (t) 计算步骤 已知ti-1时刻的状态向量及 求ti时刻的状态向量及增量 ( ) ( )  i−1  i−1 y t 、 y  t （1）求ti时刻的状态向量 [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i i D i s i i i i i i i P t f t f t m y t y t y t y t y t y t y t = − − = +  = +  − − − −     （2）求 ) ~ ( ) ~ i i P t 、k（t （3）求 ( ) ) i i y t 、y （t 积分步长： t T /10 ( ) 3 ( ) 6 ( ) ( ) ~ 2 c t t m t k t k t  +  = + ( )] 2 ( )[3 ( ) ( ) 3 ( )] 6 ( ) ( ) [ ~ y t t c t y t y t y t t P t P t m      + + +   =  + 1. t=0 y(0) = 0; y(0) = 0; f (0) = k y(0) = 0; f (0) = cy(0) = 0;P(0) = 0 s D   f (0) + f (0) + f (0) = P(0); y(0) = 0 I D s            =           0 0 0 (0) (0) (0) y y y   (0) 60 947.4 1007.4 ~ k(0) = 60;k = + = (0) 2.5 ~ P(0) = 2.5;P = (0) 0.00248 ~ (0)/ ~ y(0) = P k = y (0) = 0.0744 2. t=0.1s y(0.1) = y(0) + y(0) = 0.00248 y(0.1)  0.05 f (0.1) = k(0.1) y(0.1) = 0.1488 s P(0.1) = 2.5 弹性阶段 k(0.1) = 60 f D (0.1) = c y (0.1) = 0.0744 f (0.1) = P(0.1) − f (0.1) − f (0.1) = 2.2768; y(0.1) =1.4891 I D s  y (0.1) = y (0) + y (0) = 0.0744