哈尔滨工业大学：《建筑结构抗震设计》课程教学资源（PPT讲稿）第三章 地震作用和结构抗震验算 §3.7 结构自振周期的计算 §3.8 结构振型的计算

§3.7结构自振周期的计算 应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应,除砌 体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法 不需要计算自振周期外,其余均需计算自振周期。 计算方法:矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。 能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 yN(t) t时刻的位移为 {y(t)}={X}sn(t+E1) y2(t) 速度为 1() L(t)=xo, cos(a t+E)

一、能量法计算基本周期 §3.7 结构自振周期的计算  ( )   sin( ) i i i y t = X  t + m1 mN ( ) 1 y t ( ) 2 y t y (t) 设体系按i振型作自由振动。 N 速度为  ( )   cos( ) i i i i y  t = X   t + 应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应，除砌 体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法 不需要计算自振周期外，其余均需计算自振周期。 计算方法：矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。 t时刻的位移为

、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 时刻的位移为 {y()}={X}sin(o1t+E1) y2(t) 速度为{()}={X}o,cos(at+;)m( 动能为 ()=m站(4)x72(t)+ 2my() (t t Hximkrho cos(o, t+E) 势能为 U, (r=XLkKX sin2(@, t+E)

一、能量法计算基本周期  ( )   sin( ) i i i y t = X  t + m1 mN ( ) 1 y t ( ) 2 y t y (t) 设体系按i振型作自由振动。 N 速度为  ( )   cos( ) i i i i y  t = X   t + t时刻的位移为 动能为 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 1 1 T t m y t m y t m y t i N N =  +  +   ( )   ( ) 2 1 y t m y t T =        cos ( ) 2 1 2 2 i i i i T i = X m X   t + 势能为      sin ( ) 2 1 ( ) 2 i i i T i i U t = X k X  t +

、能量法计算基本周期 设体系按i振型作自由振动。 (1) 时刻的位移为 {y()}={X}sin(o1t+E1) y2(t) 速度为{(}={Xla,cos(m,+6)my( 动能为T(t)={X[m]xo,2cos2(ot+s;) 势能为U()=1(xy/[k]{x}sm(o,+6) 最大动能为 LXmImlX) 最大势能为Um={xy[k]{x 由能量守恒,有 I max I max 通常将重力作为荷载所 HKiX 引起的位移代入上式求基本 LxrImkry 频率的近似值

一、能量法计算基本周期  ( )   sin( ) i i i y t = X  t + m1 mN ( ) 1 y t ( ) 2 y t y (t) 设体系按i振型作自由振动。 N 速度为  ( )   cos( ) i i i i y  t = X   t + t时刻的位移为 动能为      cos ( ) 2 1 ( ) 2 2 i i i i T i i T t = X m X   t + 势能为      sin ( ) 2 1 ( ) 2 i i i T i i U t = X k X  t + 最大动能为      2 max 2 1 i i T Ti = X i m X      i T Ui X i k X 2 1 最大势能为 max = 由能量守恒，有 Timax =Uimax          i T i i T i i X m X X k X = 2  通常将重力作为荷载所 引起的位移代入上式求基本 频率的近似值

maX 2 max n n12.(O,Z max max n.u ∑m Gu T1=2x/1g=9.8m/s2

m1 mN G1 u1 G2 Gn un u2   = = = = n i i i i n i i m u g U G u 1 1 max 2 2 1 = = n i T mi ui 1 2 max 1 ( ) 2 1  Tmax =Umax  = = = n i i n i i i i m u g m u 1 2 2 1 1 1 1 T = 2 / m/s 2 g = 9.8   = = = n i i n i i i i G u G u T 1 1 2 1 2

例.已知:G1=400kN,G2=300kN L k1=14280kN/m,k2=10720kN/m 求结构的基本周期。 解:(1)计算各层层间剪力 GGk I1=400+300=700kN 12=300kN (2)计算各楼层处的水平位移 1=H1/k1=700/14280=0.049m l2=1/k1+2/k2=0.049+300/10720=0.077m (3)计算基本周期 400×0.0492+300×0.077 0.508s 400×0.049+300×0.077

解: 例.已知： 14280kN/m, 10720kN/m 400kN, 300kN 1 2 1 2 = = = = k k G G 求结构的基本周期。 2 k G2 1 k G1 G1 G2 u2 u1 （1）计算各层层间剪力 V1 = 400+300 = 700kN V2 = 300kN （2）计算各楼层处的水平位移 u1 =V1 / k1 = 700/14280 = 0.049m u2 =V1 / k1 +V2 / k2 = 0.049+300/10720 = 0.077m （3）计算基本周期   = = = n i i n i i i i G u G u T 1 1 2 1 2 0.508s 400 0.049 300 0.077 400 0.049 300 0.077 2 2 2 =  +   +  =

、等效质量法(折算质量法) mNp Mom 将多质点体系用单质点体系代替。 多质点体系的最大动能为 ∑m(a1x) 单质点体系的最大动能为 max 2 M(a,xm -体系按第一振型振动时,相应于折算质点处的最大位移 max 2 max i=1 T1=2x√MCo δ-单位水平力作用下顶点位移

二、等效质量法（折算质量法） m1 mN x1 n x Meq m x 将多质点体系用单质点体系代替。 多质点体系的最大动能为 = = n i T mi xi 1 2 1max 1 ( ) 2 1  单质点体系的最大动能为 2 2max 1 ( ) 2 1 T = Meq  xm T1max = T2max m x ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移； 2 1 2 m n i i eq x m x M  i = =   Meq 1 1 = T1 = 2 Meq  ---单位水平力作用下顶点位移

1r 7L G2 F=lki 例.已知: 400kN,G2=300kN k1=14280kN/m,k2=10720kN/m 句Gk 求结构的基本周期。 解 F/k1=1/14280=7.00×10 x2=F/k1+F/2=7.00×10-5+1/10720 =16.33×10-m 能量法的结果为 xn==x2,=16.33×10-m T=0.508s ∑m2 400×(7×103)2+300×(1633×103)2 38.1lt 98×(16.33×10-3 T=2x√MO 2元√38.11×16.33×10 O.496s

2 1 2 m n i i eq x m x M  i = = T1 = 2 Meq 解: 例.已知： 14280kN/m, 10720kN/m 400kN, 300kN 1 2 1 2 = = = = k k G G 求结构的基本周期。 2 k G2 1 k G1 x2 x1 F =1kN Meq x2 x F k m 5 1 / 1 1/14280 7.00 10− = = =  / / 7.00 10 1/10720 5 2 = 1 + 2 =  + − x F k F k xm x m 5 2 16.33 10− =  = =  2 1 2 m n i i eq x m x M  i = = 38.11t 9.8 16.33 10 ) 400 (7 10 ) 300 (16.33 10 ) 5 2 5 2 5 2 =     +   = − − − （ T1 = 2 Meq 2 38.11 16.33 10 0.496s 5 =   = −  m 5 16.33 10− =  能量法的结果为 T1=0.508s

顶点位移法 对于顶点位移容易估算的建筑结构,可直接由顶点位移估计基本周期。 (1)体系按弯曲振动时 抗震墙结构可视为弯曲型杆。 无限自由度体系,弯曲振动的运动方程为 Eoy+m°2y El at 2 悬臂杆的特解为y,(x,t)=X,(x)sin 2丌 基本周期为=1.7872√m/EF 振型 重力作为水平荷载所引起的位移为 uT =gl/8EI g=mg 8 El gl 1=1.6√mn

三、顶点位移法 对于顶点位移容易估算的建筑结构，可直接由顶点位移估计基本周期。 (1)体系按弯曲振动时 抗震墙结构可视为弯曲型杆。 EIm 无限自由度体系，弯曲振动的运动方程为 0 2 2 4 4 =   +   t y m x y EI 悬臂杆的特解为 t T y x t X x i i i 2 ( , ) = ( )sin 振型 基本周期为 T 1.78l m / EI 2 1 = q uT 重力作为水平荷载所引起的位移为 u ql EI T /8 4 = q = mg T 6 uT 1. T 1 = u EI gl m 4 8 =

(2)体系按剪切振动时 框架结构可近似视为剪切型杆。 无限自由度体系,剪切杆的的运动方程为 GA UGA +m at 悬臂杆的特解为 振型 y(x.O)=x(x)s22t重力作为水平荷载所引起的位移为 2i-1) X)=sin uT =ugl/2GA 2/ q 4l 2i-1√m/GA l T 基本周期为 T=4√mA/GA T1=1.8√u

(2)体系按剪切振动时 框架结构可近似视为剪切型杆。 无限自由度体系，剪切杆的的运动方程为 0 2 2 2 2 =   +   t y m x y GA 悬臂杆的特解为 t T y x t X x i i i 2 ( , ) = ( )sin 振型 基本周期为 T1 = 4l m /GA GAm q uT 重力作为水平荷载所引起的位移为 uT ql / 2GA 2 =  q = mg T 8 uT 1. 1 = x l i Xi x 2 (2 1) ( ) sin −  = m GA i l Ti / 2 1 4  − = uT GA gl m 2 2 = 

(3)体系按剪弯振动时 框架-抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。 基本周期为 T1=1.7√lx

(3)体系按剪弯振动时 框架-抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。 基本周期为 T 7 uT 1. 1 =