西安交通大学：《电介质物理》课程教学课件（PPT讲稿）第十四讲 德拜驰豫及弛豫极化的微观机制

第十五讲德拜驰豫及弛豫极化的微观机制

第十五讲 德拜驰豫及弛豫极化的 微观机制

一德拜驰豫方程复介电常数依赖于弛豫函数f(y），f(）决定于极化微观机制，它与介质组成，结构，物理状态及外界温度有关，通常由实验来确定。分析P的建立过程，t=0，P=0，加阶跃电场E(t)=E.S(t)，经过足够长时间，电介质建立热平衡极化强度的最大值Prm=8XreE。。假设在t时刻，P的增长速度正比于最大值Pm与该时刻P值之差：ddP._(coxnEo-P)dt"t其中xre=8,-8%，！为比例常数，具有时间量纲，称时间常数。解上述方程可得：P,(t)=oxreE(1-e-t)=(6,-)E(1-e-1lt)dP-e-t=(6,-.)80E0对求导，则dtL1erf(t)=可得弛豫函数：T

一 德拜弛豫方程 复介电常数   依赖于弛豫函数 f ( y) ， f ( y) 决定于极化微观机制，它与介质组 成，结构，物理状态及外界温度有关，通常由实验来确定。 分 析 Pr 的建立过程，t = 0， Pr = 0，加阶跃电场 ( ) ( ) 0 E t = E S t ，经过足够长 时间，电介质建立热平衡极化强度的最大值 Prm 0  reE0 =  。 假设在 t 时刻， Pr 的增长速度 dt dPr 正比于最大值 Prm与该时刻Pr 值之差： 0 0 1 ) r re r dP E P dt    = − （ 其中 = −     re s ， 1 为比例常数，具有时间量纲，称时间常数。 解上述方程可得： ( ) (1 ) ( ) (1 ) / 0 0 / 0 0        t s t r r e P t E e E e −  − = − = − − 对 t 求导，则      / 0 0 1 ( ) t s r E e dt dP − = −  可得弛豫函数：   1 / ( ) t f t e − =

如果施加的是交变电场E=E.eiolcoxrE则 P()的稳态解为：P(の)=(,-8.)/f(y)E(t-y)dy一1+iotXre)E(t)=60xE总极化强度为：P(0,t)=P()+P(0)=8(x+1+iotXre电介质复极化率为：×（0）=+1+iot电介质复介电常数为：8（）=1+×（0)=6.+1+iot其中介电常数的实部()，虚部&"(の)及tgo(の)分别为8(0)=6 +(8,-8.)-1+0°28,(0)=(8, -8)0t/1+0*t2德拜方程6(0)(6,-8)OTtgo(0)=6+8't?6,(0)

如果施加的是交变电场 i t E E e  = 0 ， 则 Pr(ω)的稳态解为： 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 re r s E P f y E t y dy i         = − − =  +  总极化强度为： * 0 0 r ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 re P t P t P E t E r i t         = + = + =   + 电介质复极化率为： i t re      + =  +  1 ( ) 电介质复介电常数为： i t re r        + = + =  +   1 ( ) 1 ( ) 其中介电常数的实部 εr’(ω)，虚部 εr’’(ω)及 tgδ(ω)分别为： ' 2 2 " 2 2 " ' 2 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) r s r s r s r s tg                                  = + −  +   = − +   − = =  +  德拜方程

将(0)-=et代入s;(o)=6,+(6,-6)f()e-dy由于me=e=1+iot(8, -8.)则可得：()=6+I+iot与C一R简单串联电路比较，C复电容量表示成相应的由吃与计划贡献的电介质复极化率x为：x(0)==xi(0)-ix(0)1+iot8,-80(8,-8.)OTXreotXre其中x（の)=xr(0)=1+0t2-11+0*121+0t?1+0T?gre(0)= Xre(0)显然Xr(0)=8,(0)-60,由以上可得：当0=0时，xr(0)=8,-6，x(0)=0;当0→00时，xr()=0,xr(0)=0

将   1 / ( ) t f t e − = 代入   −    = + − 0 ( ) ( ) f (y)e dy i y r s       由于      i f y e dy e e dy i y y i y + = = −  −  −   1 1 1 ( ) 0 0 则可得：       i s r + − = +    1 ( ) ( ) 与 C—R 简单串联电路比较，  Cre复电容量表示成相应的由吃与计划 贡献的电介质复极化率   re 为： ( ) ( ) 1 ' "         re re re re i i = − + = （ ） 其中 2 2 2 2 ' 1 1 ( )          + − = + = re s  re ， 2 2 2 2 " 1 ( ) 1 ( )            + − = + = re s  re 显然 = −   ()  ()  ' ' re r ， ( ) ( ) " "  re  =  re  由以上可得： 当 = 0时， = −     re s (0) ' ， ( ) 0 "  re  = ； 当 →时， ( ) 0 '  re  = ， ( ) 0 "  re  =

二极化驰豫的微观机制1自由点偶极子转向极化的微观机制-德拜理论郎之万理论：恒定电场作用下偶极子取向MEME1O=μ= μ,L(x)=μ45KT33KTxOe德拜理论：可变电场作用下偶极子取向：t0时电介质行为。加交变电场E=EDebey假定：一方面极性液体中的偶极分子在电场转矩M=u.Esine作用下，发生旋转取向，另一方面，极性分子作一种布朗运动（热运动），布朗运动同样使极性分子产生转动，阻碍分子的定向取向，使分子发生碰撞而引起摩擦力作用，两种作用使分子取向达到一种统计平衡。当电场突然撤除，电场转矩M立即消失，布朗运动多次碰撞引起摩擦，使偶极分子统计取向缓慢消失，从而出现弛豫

二 极化弛豫的微观机制 1 自由点偶极子转向极化的微观机制-德拜理论 郎之万理论：恒定电场作用下偶极子取向 . 3 45 ) 1 cos ( ) ( 3 3 4 3 0 2 0 0 0 0 − = − + − +  =  = = − − K T E KT E e e x e e L x e e x x x x E        德拜理论：可变电场作用下偶极子取向： ① t  0时，加恒定电场 t = 0时，拆去电场，t  0时电介质行为。 ② 加交变电场 i t E E e  = 0 。 Debey 假定：一方面极性液体中的偶极分子在电场转矩M = 0 Esin  作用 下，发生旋转取向，另一方面，极性分子作一种布朗运动（热运动），布朗运 动同样使极性分子产生转动，阻碍分子的定向取向，使分子发生碰撞而引起 摩擦力作用，两种作用使分子取向达到一种统计平衡。当电场突然撤除，电 场转矩 M 立即消失，布朗运动多次碰撞引起摩擦，使偶极分子统计取向缓慢 消失，从而出现弛豫

1）偶极分子取向的分布函数及其极化的弛豫函数8无限大的均匀电介质，加阶跃电场E，相应的有效电场为E，偶极分子只发生在电场方向的转向，其偶极矩大小不变。取球坐标系（1.0.）单位球，沿e方向有一定向的偶极分子，用沿偶极矩方向到单位球面上的一个截点（交点）来表示该偶极分子t时刻，分子取向的分布可用单位球面上对应点的分布来表示。设为单位体积内偶极分子数，G(e,为电场作用下偶极子在空间的分布几率。在t时刻，在立体角增量dQ=2元sinde内的球面上交点数目为dn(t) = n.G(0,t)dΩ2Eesine=n.G(0,t)2元sin0de其中nG(O,t）为单位立体角内球面交点的密度。偶极分子分布

1) 偶极分子取向的分布函数及其极化的弛豫函数 ε 无限大的均匀电介质，加阶跃电场 E，相应的有效电场为Ee，偶极分子只发生 在电场方向的转向，其偶极矩大小不变。取球坐标系（1,,）单位球，沿方向有一定 向的偶极分子，用沿偶极矩方向到单位球面上的一个截点（交点）来表示该偶极分子， t 时刻，分子取向的分布可用单位球面上对应点的分布来表示。设 0 n 为单位体积内偶极 分子数，G(,t) 为电场作用下偶极子在空间的分布几率。在 t 时刻，在立体角增量 d = 2 sind 内的球面上交点数目为： 0 0 ( ) ( , ) ( , )2 sin dn t n G t d n G t d      =  = 其中 ( , ) 0 n G  t 为单位立体角内球面交点的密度。 x z Ee sin  d  偶极分子分布

设J。为单位时间内穿过e=常数的圆周2元sne的交点数，对称扩散流假设J=Jau+JeE其中 Ja=-kn)2元sin为热运动引起的分子扩散速率，与截点的00aG密度梯度n。成正比，K为扩散系数，负号表示扩散转移的方向（密度ae减小方向）跟密度梯度（密度增大方向）相反，如果没有电场作用，分子1mv2作混乱排布，在一定温度下，G是偶极分子能量（动能）的函数，2aG0与O和t无关，G为常数，密度各处均匀，因而没有扩散。aeJe=0。Je的意义：在电场作用和热运动使球面交点的密度不均匀，引起从密度大的地方向密度小的地方转移一扩散

设  J 为单位时间内穿过 =常数的圆周2 sin  的交点数，对称扩散流， 假设 d E J J J  =  +  其中     2 sin ( ) 0   = − n G J d K 为热运动引起的分子扩散速率，与截点的 密度梯度  G n0 成正比，K 为扩散系数，负号表示扩散转移的方向（密度 减小方向）跟密度梯度（密度增大方向）相反，如果没有电场作用，分子 作混乱排布，在一定温度下，G 是偶极分子能量（动能）的函数， 2 2 1 mv 与 和 t 无关，G 为常数，密度各处均匀，因而没有扩散。 = 0    G ， = 0 d J 。 d J 的意义：在电场作用和热运动使球面交点的密度不均匀， 引起从密度大的地方向密度小的地方转移—扩散

第二项Je为电场促使分子趋向与电场方向取向的分子取向密度流：JeE=n.G20sin0为t时刻e角处分子的平均角速度。偶极分子的转向是受电矩M。的作用引起的，假定：-M。(t)u为内摩擦有关的常数。dwLMe(t)==-uE(t)sineW,(t)=-μ.E(t)cose则：deaG+n.G)2元sin0故J。=(-Kn。00其中负号表示力矩使偶极矩趋向e角的减小方向

第二项 E J 为电场促使分子趋向与电场方向取向的分子取向密度流： JE = n0 G  v  2 sin   v  为 t 时刻 角处分子的平均角速度。 偶极分子的转向是受电矩M 的作用引起的，假定： ( ) 1 v M t     =  为内摩擦有关的常数。 则： W (t) = − 0 Ee (t) cos      ( ) 0 E (t)sin d dW M t = − = − e 故      ( 0 + 0  )2 sin   = − n G v G J Kn 其中负号表示力矩使偶极矩趋向 角的减小方向

在极化弛豫过程中，弛豫极化强度P和有效电场E（t）都是时间的函数，同样M.(t)与W（t)亦是时间的函数。经足够长时间，达平衡时J。=0E)=E。，有效场与时间无关。则得到以下方程：n.GowaG=0Knoae5aoG=Ce-Wu/Ks解方程得：在平衡状态下：K==KTG = Ccl"./e =Cernf.oso/T = A1+ 4efe cos 0]KT

在极化弛豫过程中，弛豫极化强度 Pr 和有效电场 E (t) e 都是时间的函 数，同样M (t)  与W (t)  亦是时间的函数。经足够长时间，达平衡时 J = 0， e Ee E (t) = ，有效场与时间无关。则得到以下方程： 0 0 0 =   +      G n G W Kn 解方程得： W K G Ce− = 在平衡状态下： K = KT [1 cos ] 0 cos 0       KT E G Ce Ce A W K Ee KT e = = = + −

按照以上假设，单位时间内进入dQ=2元sinde带状区域内的截点数为aJeJelo+dede一ele00这一数值等于dn（t）=n.G2元sinde对时间的增长率，则：aG1aJeat2元m.sineae有以上讨论可得到扩散微分方程为：aG10[-KTsin oOG(u,E,sin0)G)ssineae00atOG=0，则：当时间足够长，达平衡时atG=CeloE.cos0/KT

按照以上假设，单位时间内进入d = 2 sind 带状区域内的截点数为：         d J J J d   − = + 这一数值等于 0 dn t n G d ( ) 2 sin  =    对时间的增长率，则：       =   J t n G 2 sin 1 0 有以上讨论可得到扩散微分方程为： [ sin ( sin ) ] sin 1 2 0E G G KT t G  e       −   −   =   当时间足够长，达平衡 时 = 0   t G ，则： Ee KT G Ce0 cos =