中国人民大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第9章 随机过程在金融中的应用

白老 第9章 随机过程在金融中的应用 ●89.1金融市场的术语与基本假定 ●9.2 Black-Scholes模型 2/33 GoBack FullScreen Close Quit

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§9.1 金融市场的术语与基本假定 本节我们给出金融市场的一些术语与基本假定。 9.1.1无套利原则： 金融市场有一个最基本的假设，即市场不允许没有初始 3/33 投资的无风险利润。若违背了这个市场原则，则可以得到套 利机会。所谓套利，即指在开始时无资本，经过资本的市场 运作后，变成有非负的随机资金，而且有正资金的概率为正。 GoBack FullScreen Close Quit

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套利机会在实际操作中很少存在，违背无套利原则的情 况一般是短暂且难以把握的，因为在出现套利机会时，大量 的投机者就会涌向市场进行套利，他们追逐套利利润的积极 性将有效地消除套利机会。经过一个相对较短的混乱时期 后，市场就会重返正常，即回复到无套利状态。在金融衍生证 券的定价理论中，并不讨论这段混乱时期， 因此，在研究中普遍地排除套利，即假定正常运行的市场 4/33 没有套利机会，这样的市场也称为可行市场。 GoBack FullScreen Close Quit

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9.1.2看涨期权： 看涨期权是指一种不附带义务的未来购买的权利。在 时刻0时买方与卖方有一个合约，按此合约规定买方有一个 权利，能在时刻T(到期日)以价格K(执行价)从卖方买 进股票。如果时刻T时股票的市场价格ST低于执行价格K, 买方可以拒绝支付执行价；而如果时刻T时股票的市场价 格ST高于执行价格K,买方就一定会选择支付执行价同时获 5/33 得高价格的股票，称之为期权被执行了。综合起来，买方在 时刻T净得随机收益（现金流）为 (ST-K)=max{0,ST-K} 因为买方希望S尽量大，以便有更多的获利，也就是有选择权 的买方盼望股票上涨，这种合约称为看涨期权。 GoBack FullScreen Close Quit

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前面讨论的这种期权中，买方只有在到期时才能执行期 权，这种看涨期权称为欧式看涨期权。若解除执行期权的时 间限制，允许买方在到期日钱的任何时间行使期权，则称为 美式看涨期权。 由于这个合约能给买方带来随机收益，就需要买方 在t=0时刻用钱从卖方购买。这个合约在t三0时刻的价 格，称为它的贴水或保证金。如何确定这个合约在时刻tT的 6/33 价格（包括贴水）即是我们要重点讨论的问题。欧式期权由于 有执行时间的限制，未来的现金流收入较之美式期权要低 些，但是欧式期权现金流收入有明确的表达式，所以估计这 种期权的价格会更容易些。 GoBack FullScreen Close Quit

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9.1.3看跌期权： 看跌期权是指一种不附带义务的未来出售的权利。在 时刻0时买方与卖方有一个合约，按此合约规定买方有一个权 利，能在时刻T以价格K(执行价)卖给合约卖方一股股票或 者等量的一股股票的市场价格。如果时刻T时股票的市场价 格ST高于执行价格K,买方可以拒绝执行期权；而如果时 刻T时股票的市场价格ST低于执行价格K,买方就一定会选 7/33 择执行期权而获利。综合起来，买方在时刻T净得随机收益 (现金流)为 (K-ST)=max{0,K-ST} 因为买方希望S尽量小，以便有更多的获利，也就是有选择权 的买方盼望股票下跌，这种合约称为看跌期权。 GoBack FullScreen Close Quit

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如果买方只能在最终时刻T行使期权，则称为欧式看跌 期权；若买方能在任意时刻T行使期权，则称为美式看跌期 权。同样由于这个合约能给买方带来随机收益，就需要买 方在t=0时刻用钱从卖方购买。这个合约在t=0时刻的价 格，称为它的贴水或保证金。比看涨期权与看跌期权更为一 般的欧式期权是：甲方卖给乙方一个由证券组合组成的合 约，此合约能在时刻T给乙方带来随机收益f(S)称为欧式未 8/33 定权益。 GoBack FullScreen Close Quit

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9.1.4无套利原则下的看涨与看跌平权关系 未定权益为S的欧式权益，称为在时刻T到期的远期 合约，远期合约在任意时刻(<T)的价格为证券的即时 价格S.欧式看涨看涨-看跌期权的平权关系：假设看涨 期权、看跌期权、远期合约在任意时刻t(<T)的价格分别 为C,P,F,在无套利原则下，有 9/33 Ct-P=F-Ke-rt 其中，K表示执行价格，表示银行利率。 有了这个平权关系，欧式看涨期权与看跌期权中只要知 道一个的价格，就可以得到另一个的价格。 GoBack FullScreen Close Quit

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$9.2 Black-Scholes模型 期权的价格是是期权合约中唯一随市场不断变化而改变 的量，它受到期权合约中的期限，执行价格，标的资产的价 格，无风险利率等众多因素的影响，期权价格的高低直接影 响到购买者和出售者的盈亏状况，如何对期权进行定价是期 权交易的核心问题。对期权进行定价的过程中，首当其冲的 10/33 关键性问题就是如何构建合适的模型来描述标的资产的价格 变化过程？ 法国数学家Barchelier是研究期权定价问题的先驱人 物，在其博士论文《The Theory of Speculation)》中首 次利用随机游走的思想给出了股票价格运行的随机模型。 1942年日本数学家伊藤清对布朗运动引进随机积分，开 GoBack FullScreen Close Quit

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创了随机微分方程理论，是一个重要的里程碑式的工作.而 在1965年著名经济学家Samuelson将提出的随机分析学作 为工具引入到金融学中，他对Barchelier的股票模型进行了 修正，首次提出了用几何布朗运动来描述股票价格过程，这 种思想得到了广泛而长期的应用。几何布朗运动模型克服 了Barchelier的模型中可能使得股票价格出现负值的这种与 现实问题不符合的情况，基于这个模型，Samuelson研究 11/33 了看涨期权的定价问题。 Samuelson所得出的定价公式有一个遗憾的地方，就 是依赖于投资者的个人风险偏好，这就限制了一些问题。 Black:和Scholes在1973年找到了弥补这一遗憾的新方法， 他们建立期权定价模型的关键突破点在于，构造一个由标 的股票和无风险债券的适当组合（投资组合），直观意义即 GoBack FullScreen Close Quit

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