兰州交通大学：《土木工程测量学》课程教案讲义（下册）第9讲 缓和曲线偏角计算公式

土木工程測量学教程(下)教亲 第9讲 教学目标:了解偏角法的概念,理解正拨、反拨的含义,掌握曲线偏角计算公式 和方法。 重点难点:缓和曲线偏角计算公式 5-4曲线详细测设的偏角法 .偏角法原理 实质上是角度与距离交会法 正拨反拨 偏角计算 1.圆曲线偏角 缓和曲线偏角 B aRlo tga,=y-y 6R 6R(2+11+) (-l,)2l4+1) 若j点位于i点与缓和曲线终点之间,则同样方法可得 6=(-1)24+1) 故其一般表达式为 1L-I , sRl (2+1) 若n6B1=1010,即在缓和曲线上,曲线点号等于以10m为单位曲线长,则

土木工程测量学教程（下）教案 9-1 第9讲 教学目标：了解偏角法的概念，理解正拨、反拨的含义，掌握曲线偏角计算公式 和方法。 重点难点：缓和曲线偏角计算公式 5—4 曲线详细测设的偏角法 一. 偏角法原理 实质上是角度与距离交会法。 正拨 反拨 二. 偏角计算 1．圆曲线偏角 R l i j i j 2 ,  , = 2．缓和曲线偏角 δi，j =βi −j，i i j i j i i j i x x y y l tg Rl − − = , = 2 0 2 1  、  、 ； 、 ； 6 1 6 1 3 0 3 0 i i i i j j j j l Rl l x l y Rl x  l y    ( ) 6 1 2 2 0 , i i j j i j i j j i l l l l x x Rl y y = + + − −   ( )(2 ) 6 1 0 i, j i j i j l l l l Rl  = − + 若 j 点位于 i 点与缓和曲线终点之间，则同样方法可得， ( )(2 ) 6 1 0 i, j j i i j l l l l Rl  = − + 故其一般表达式为 (2 ) 6 | | 0 , i j i j i j l l Rl l l + −  = 若 6 10 10 10 0 2 10 j i l j l i Rl  = 、= 、 = ，即在缓和曲线上，曲线点号等于以 10m 为单位曲线长，则 P 图 15—7 c1 c2 c3 1 2 3 δp,1 δp,2 δp,3

土木工程測量学教程(下)教亲 6,y=d10|i-j|(2i+j) 式中,R为圆曲线半径,b为缓和曲线长,0为缓和曲线基本角 当i点位于缓和曲线起点时,则上式可化简为 三.弦线长度计算 表5-3为不同半径的20m圆弧与相应的弦长之差值,即弧弦差。可见,当圆曲线半径 较大,且相邻两点间的距离不超过20m时,用弦长代替相应的弧长,误差远小于测设误差。 如果圆曲线的半径较小或弦线较长,应按 坐标反算来计算弦长 四.定向 寻找置镜点处与测设方向一致的切线方 向,并使该切线方向的水平度盘读数为某一定 值的工作,称为定向。 定向时安置的度盘读数称为定向 后视读数 例5-5 五.遇障碍时曲线测设 遇障碍时曲线测设原理。如图, 置镜于已设出的曲线某主点A,测设1 2、…、i,至计1点时视线受阻;迁站 至i点,后视A点定向,即找出i点的 切线方向:计算i点至后续各点的偏角:据此,继续测设 六.曲线测设的精度要求 闭合差主要是由拨角误差 和量距误差共同引起 闭合差∫在切线方向的分量 丘称为纵向闭合差;法线方向 的分量f称为横向闭合差。现 行《测规》规定 12000 式中,l为相邻两主点间的曲线长。 例5-6.P136

土木工程测量学教程（下）教案 9-2 10 2  0, j = j  式中，R 为圆曲线半径，l0 为缓和曲线长，δ10 为缓和曲线基本角。 当 i 点位于缓和曲线起点时，则上式可化简为 三. 弦线长度计算 表 5—3 为不同半径的 20m 圆弧与相应的弦长之差值，即弧弦差。可见，当圆曲线半径 较大，且相邻两点间的距离不超过 20m 时，用弦长代替相应的弧长，误差远小于测设误差。 如果圆曲线的半径较小或弦线较长，应按 坐标反算来计算弦长。 四. 定向 寻找置镜点处与测设方向一致的切线方 向，并使该切线方向的水平度盘读数为某一定 值的工作，称为定向。 定向时安置的度盘读数称为定向 后视读数。 例 5—5 五. 遇障碍时曲线测设 遇障碍时曲线测设原理。如图， 置镜于已设出的曲线某主点A，测设1、 2、…、i，至 i+1 点时视线受阻；迁站 至 i 点，后视 A 点定向，即找出 i 点的 切线方向；计算 i 点至后续各点的偏角；据此，继续测设。 六. 曲线测设的精度要求 闭合差主要是由拨角误差 和量距误差共同引起。 闭合差 f 在切线方向的分量 fZ 称为纵向闭合差；法线方向 的分量 fH 称为横向闭合差。现 行《测规》规定：        10cm 2000 1 H Z f l f 式中，l 为相邻两主点间的曲线长。 例 5-6．P136 图 15—9 A β B aB aF | | (2 ) , 10 i j i j  i j =  − + A 图 15—10 2 1 i 3 i+ 1 i+ 2 aB aF β JD Z H QZ f fH fZ H Z 图 15—14

土木工程測量学教程(下)教亲 5-5曲线详细测设的直角坐标法 .直角坐标法测设曲线原理 如图建立平面直角坐标系。待测设的曲线点P点坐标为m、P。测设时,自ZH点于X 轴上丈量xP,得P点;自P点,沿与X轴垂直且指向曲线内侧的方向丈量P,即得P点 直角坐标法中,坐标系X轴均选主点的切线,故曲线点的y坐标为相对于切线的支距 因此,直角坐标法也称为切线支距法。 二.曲线点坐标计算 直角坐标法所选定的坐标系通常为缓和曲线坐标系,则在该坐标系下,缓和曲线段曲线 点坐标的计算公式为缓和曲线方程,圆曲线段曲线点的坐标 x,=rsin a,+m y,=R-cosa,)+P∫ 式中。K,小m+B0,K为t点的里程,Km为HY里程。 第三节5-6任意点极坐标法测设曲线 任意点极坐标法测设曲线的原理 任意点极坐标法测设曲线的关键问题是:统一坐标系下的坐标计算;测设数据计算

土木工程测量学教程（下）教案 9-3 5—5 曲线详细测设的直角坐标法 一. 直角坐标法测设曲线原理 Z H 图 15—15 lp Y β0 H Y X R+ p αt xP xt yt yP 图 15—16 R Y αt X QZ H Y Y H xt yt P t t 如图建立平面直角坐标系。待测设的曲线点 P 点坐标为 xP、yP。测设时，自 ZH 点于 X 轴上丈量 xP，得 P'点；自 P'点，沿与 X 轴垂直且指向曲线内侧的方向丈量 yP，即得 P 点。 直角坐标法中，坐标系 X 轴均选主点的切线，故曲线点的 y 坐标为相对于切线的支距。 因此，直角坐标法也称为切线支距法。 二. 曲线点坐标计算 直角坐标法所选定的坐标系通常为缓和曲线坐标系，则在该坐标系下，缓和曲线段曲线 点坐标的计算公式为缓和曲线方程，圆曲线段曲线点的坐标：    = − + = + y R p x R m t t t t (1 cos ) sin   式中  +  0 − = R Kt K HY t ，Kt 为 t 点的里程，KHY为 HY 里程。 第三节 5—6 任意点极坐标法测设曲线 一. 任意点极坐标法测设曲线的原理 任意点极坐标法测设曲线的关键问题是：统一坐标系下的坐标计算；测设数据计算

土木工程測量学教程(下)教亲 坐标计算 坐标系的建立主要取决于控制点的情况。如果控制点是为测设曲线而布设的,则坐标系 般采用ZH-XY坐标系统:如果控制点是既有控制点,则控制点所在的坐标系就是统一坐 标系,即既有坐标系统。 1.zHXY测量坐标系下曲线点坐标计算 ZH-HY段曲线点的坐标 15 40R2l2 13 6R0336Rl3 当曲线右偏时y坐标为正,左偏时y坐标为负。 HY~YH段曲线点的坐标为 R yB=+IR(l-cosaB)+pll 式中a=△BKm+n,曲线右偏时y坐标为正,左偏时y坐标为负 YH-HZ段曲线点在以HZ点为原点,以H点切线为X轴,交点至HZ方向为正向的测 量坐标系(HZ-XY)下的坐标为 40R-lo y 60336R313 式中,l为C点到缓和曲线起点的曲线长;按里程增加方向,当曲线右偏时yc坐标为正, 左偏时yc坐标为负。 根据坐标平移、旋转公式,将YHHZ段曲线点的坐标换算到ZH-XY坐标系下,为 rxc siny cosy」Ly

土木工程测量学教程（下）教案 9-4 一、坐标计算 坐标系的建立主要取决于控制点的情况。如果控制点是为测设曲线而布设的，则坐标系 一般采用 ZH—XY 坐标系统；如果控制点是既有控制点，则控制点所在的坐标系就是统一坐 标系，即既有坐标系统。 1.ZH—X Y 测量坐标系下曲线点坐标计算 ZH~HY 段曲线点的坐标： 当曲线右偏时 yA 坐标为正，左偏时 yA 坐标为负。 HY~YH 段曲线点的坐标为：    =  − + = + [ (1 cos ) ] sin y R p x R m B B B B   式中  +  0 − = R KB K HY B ，曲线右偏时 yB 坐标为正，左偏时 yB 坐标为负。 YH~HZ 段曲线点在以 HZ 点为原点，以 HZ 点切线为 X 轴，交点至 HZ 方向为正向的测 量坐标系（HZ—X'Y' ）下的坐标为 式中，lC为 C 点到缓和曲线起点的曲线长；按里程增加方向，当曲线右偏时 y'C 坐标为正， 左偏时 y'C坐标为负。 根据坐标平移、旋转公式，将 YH~HZ 段曲线点的坐标换算到 ZH—XY 坐标系下，为        +              −  =      HZ HZ C C C C y x y x y x     sin cos cos sin 6 336 40 3 0 3 7 0 3 2 0 2 5                =  − = − R l l Rl l y R l l x l A A A A A A 6 336 40 3 0 3 7 0 3 2 0 2 5                 =  −          = − − R l l Rl l y R l l x l C C C C C C

土木工程測量学教程(下)教亲 式中,y为两坐标系X轴间的夹角,其与线路转向角的关系是:y=az或y=-ay;xmz、yz 为HZ点在ZH—X下的坐标,且为 xhz=T(I+cosy) ym=± Tsing 2既有坐标系下曲线点坐标计算 既有坐标系下曲线点坐标计算分两步:第一步是按前述方法计算出整条曲线在ZH-XY 坐标系下的坐标:第二步是根据ZH—XY坐标系与既有坐标系之间的关系,应用坐标平移、 旋转公式,将坐标转换到既有坐标系O-XY下。 3控制点的坐标计算 若控制点为既有控制点,则其坐标为既有坐标:若控制点是专为测设曲线而建立的,则 应测算其坐标 如果置镜点是主点,则称为长弦偏角法 、测设数据计算 测设数据,即置镜点至后视点、曲线点间的坐标方位角和水平距离。根据坐标反算的基 本公式计算测设数据

土木工程测量学教程（下）教案 9-5 式中，γ为两坐标系 X 轴间的夹角，其与线路转向角的关系是：γ=Z 或γ= -Y ；xHZ、yHZ 为 HZ 点在 ZH—XY 下的坐标，且为    =  = +   sin (1 cos ) y T x T HZ HZ 2.既有坐标系下曲线点坐标计算 既有坐标系下曲线点坐标计算分两步：第一步是按前述方法计算出整条曲线在 ZH—XY 坐标系下的坐标；第二步是根据 ZH—XY 坐标系与既有坐标系之间的关系，应用坐标平移、 旋转公式，将坐标转换到既有坐标系 O—XY 下。 3.控制点的坐标计算 若控制点为既有控制点，则其坐标为既有坐标；若控制点是专为测设曲线而建立的，则 应测算其坐标。 如果置镜点是主点，则称为长弦偏角法。 二、测设数据计算 测设数据，即置镜点至后视点、曲线点间的坐标方位角和水平距离。根据坐标反算的基 本公式计算测设数据，        = − + − − − = 2 2 , , ( ) ( ) i j j i j i j i j i i j D x x y y x x y y tg