《竞赛数学》课程教学资源（学科前沿）运用数的整除性解竞赛题

ZHONGXUESHENG SHUXUE 运用数的整除性解竞赛题 山东省秦安市虎山路169号南院69号信箱(271000)金桃生 ⑤题目(2008年金四初中数学联合竞 (2)当t=2时，a=493=17X29,a不是质 奉)设a为质数，b为正整数，且9(2a+b) 数，不符合要求 509(4a+511b).求a、b的值. (3)当3≤≤56时，可以分t是奇数和偶 解法容易判定9和509的最大公约数 数两种情况讨论. 是1，且509是质数，据题意9(2a十b)2是509 若1是奇数，则511-9是偶数，5119 2 的倍数，所以2a+b是509的倍数，设2a+b 是509的1倍(：是正整数)，即 是正整数，但大于1，这样a就有1和，9 2 2a十6=509t 这两个大于1的因数，所以不是质数，不符 代人得9×(509r)2=509(4a+511b), 合要求； 4a+5116=45812 消去a,得5096=45812.-i016, 若：是偶边，对2是不小于2的正整数.口 6=(9:-2) 就有号和511一9北这两个大于1的因数，所以 托③代人①得a=519 a不是质数，不符合要求. 由于a>0,正整数t57. 因此，本题的解为a=251,b=7. (1)当=1时，a=251,b=7,251是质 (责韩乐琴) 数，本解符合要求. (上接第29页) y2=z2,xW红2-r2=x2,求证：xy=rx. 证明由题意构造二次函数： 分析题中的已知与勾股定理的结构相 y=x'+(b-c)x+a(a+b+c) 此函数y的图像开口向上， 似，不妨构造R△ 证明如图，做R 当x= -(a十b十c)时，函数值 △ABC,使BC=x,AC= y=(a+6+c):-(6-c)(a+6+c)+a(a y,则AB=x,作CD⊥AB +h+1 于D. =2a+c)(a+b+c)0. ·CD=r,Sar=2xy=2rz, 故(b-c)2>4a(a+b+c). 即证得xy=rz. 四构造几何图形 (黄市周春荔) ③例4，已知xy,z均为正数，且x2+ ·30

山东省泰安市虎 山路 号南院 号信箱 金挑 生 呼 目 ‘ ‘ 年 全 国 初 中数 学联合 竟 赛 设 为质 数 , 为正 整数 , 且 一 求 、 的值 解 法 容易 判定 和 的最大公 约 数 是 ,且 是质数 , 据题意 ’ 是 的倍数 , 所 以 是 的倍数 , 设 是 的 倍 是正整数 , 即 ① 代人得 , ② 消去 , 得 二 一 , 当 时 , 一 , 不 是质 数 , 不 符合要求 当 簇 簇 时 , 可 以分 是奇数和偶 数两种情况讨论 若 是 奇数 , 则 一 是 偶数 , 是正整数 , 但大于 , 这 样 就有 和 一 一 一 ③④ 把 ③代人 ①得 二 一 由于 , , 正整数 当 时 , , , 是 质 数 , 本解符合要求 这 两 个大 于 的 因数 , 所 以 不是 质数 , 不 符 合要求 若 , 是偶数 , 则吞是不 小 于 的正 整数 。 旧 “ ’门 ’ 乃切 ‘ ’ 一 ’ ’ 一 “ 一 ’ 一 就有冬和 一 ‘ 这 两 个大 于 的 因数 , 所 以 门 ‘ , ” 一 『‘ ’ 、 一 “ ’ ‘ ’ 不 是质数 , 不符合要求 因此 , 本题 的解 为 , 二 责审 纬乐琴 上接 第 页 证 明 由题意构造二 次函数 少 一 此 函数 的图像开 口 向上 , 当 一 十‘ 时 , 函数值 夕 一 一 十 十 由于 函数 的图像开 口 向上 , 则 函数 图像 与 轴有两个不 同的交点 , 即方程 一 有 两个不等的实根 ’ △ 一 一 故 一 ’ 四 构 造几何 圈形 龟黔 、 已 知 ‘ 、 , 、 ‘ 均 为 正 数 , 且 ’十 少一 二 , , 石 了二万一 扩 , 求证 一 · 分析 题 中的 已 知 与 勾股 定理 的结 构相 似 , 不妨构造 △ 证 明 如 图 , 做 △ , 使 一 , 夕 , 则 , 作 土 于 由 △ ⑦△ 口 , 则 甲坛 一 而 扩 一 抓 二万 , 犷 交 ’ 一 , △战 即证得 一 · 万 万 责 审 周春 荔 网址 。 电子信箱 场