《画法几何与工程制图》课程教学资源（教材讲义）第02章 几何元素的投影

第2章几何元素的投影 任何工程物体的空间构造描述，都借助于其上的特定几何元素：点、线、面。为了正确 而迅速地画出物体的投影和分析空间几何问题，必须研究与分析空间几何元素（点、线、面） 的图示问题。 2.1点的投影 由前述投影性质可知，点在一个投影面上的单个投影是不能确定点的空间位置的。工程 中为了方便准确地图示点的空间位置，常取两个或三个互相垂直的投影面进行投影。 2.1.1点在两投影面体系中的投影 1.两投量影而体系的建立如图2.1所示为空间两个互 相垂直的投影面，处于正面直立位置的投影面称为正投影 面，以V表示，简称V面：处于水平位置的投影面称为水 平投影面，以H表示，简称H面。V面和H面所组成的 体系称为两投影面体系。V面和H面的交线称为X投影轴， 简称X轴。两投影面把空间分成四个分角，依次用/、Ⅱ、 、表示。 2点的两面投影首先研究点在第分角内的投影。 如图2-2所示，由空间一点A向H面作垂线，其垂足就是 图21两投影体系 点A在H面上的投影，称为点A的水平投影，以a表示。再由点A向V面作垂线，其垂足 就是点A在V面上的投影，称为点A 的正面投影，以a表示。将H面绕X 轴向下旋转使与V面重合在同一平面 位置上，就得到点的两面投影。因投 影面可根据需要扩大，故一般不画出 投影面的边界（图2-2c)。 反过来，有了点的正面投影和水 平投影，就可确定该点的空间位置。 可以想象图中X轴上的V面保持直立 b) 位置，将H面绕X轴向前转90°呈 图2-2点在第一分角中的投影 水平位置，再分别从a'、a作V、H 投影面的垂线，相交即得空间点A, 从而唯一地确定了该点的空间位置。 3.点在两投影面体系中的投影规律 63

63 第 2 章 几何元素的投影 任何工程物体的空间构造描述，都借助于其上的特定几何元素：点、线、面。为了正确 而迅速地画出物体的投影和分析空间几何问题，必须研究与分析空间几何元素（点、线、面） 的图示问题。 2.1 点的投影 由前述投影性质可知，点在一个投影面上的单个投影是不能确定点的空间位置的。工程 中为了方便准确地图示点的空间位置，常取两个或三个互相垂直的投影面进行投影。 2.1.1 点在两投影面体系中的投影 1.两投影面体系的建立 如图 2-1 所示为空间两个互 相垂直的投影面，处于正面直立位置的投影面称为正投影 面，以 V 表示，简称 V 面；处于水平位置的投影面称为水 平投影面，以 H 表示，简称 H 面。V 面和 H 面所组成的 体系称为两投影面体系。V 面和 H 面的交线称为 X 投影轴， 简称 X 轴。两投影面把空间分成四个分角，依次用Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ表示。 2.点的两面投影 首先研究点在第Ⅰ分角内的投影。 如图 2-2 所示，由空间一点 A 向 H 面作垂线，其垂足就是 点 A 在 H 面上的投影，称为点 A 的水平投影，以 a 表示。再由点 A 向 V 面作垂线，其垂足 就是点 A 在 V 面上的投影，称为点 A 的正面投影，以 a'表示。将 H 面绕 X 轴向下旋转使与 V 面重合在同一平面 位置上，就得到点的两面投影。因投 影面可根据需要扩大，故一般不画出 投影面的边界（图 2-2c）。 反过来，有了点的正面投影和水 平投影，就可确定该点的空间位置。 可以想象图中 X 轴上的V 面保持直立 位置，将 H 面绕 X 轴向前转 90°呈 水平位置，再分别从 a'、a 作 V、H 投影面的垂线，相交即得空间点 A， 从而唯一地确定了该点的空间位置。 3.点在两投影面体系中的投影规律 图4-1 H V o X 图 2-1 两投影体系 a X X a A X a a a y a z a z y a a a A X A A A X X ' O O O V H V H a） b） c） 图 2-2 点在第一分角中的投影

由图2-2可知，Aaaa'是个矩形，aa、aa,都垂直X轴，H面向下旋转后，a、a的连线 aa' 一定垂直于X轴，由此可得出点的投影规律： (1)点的水平投影和正面投影的连线垂直X轴。即a'垂直X轴。 (2)点的水平投影到X轴的距离等于空间点到V面的距离。即aa,=Aa'。 (3)点的正面投影到X轴的距离等于空间点到H面的距离。即a'a,=Aa。 4.其他分角中点的投影 如图23所示，空间点B、C、D分别处于Ⅱ、瓜、分角中，各点分别向相应的投影面 作投射线，就可以得到各点的正面投影和水平投影。当前半的H面向下旋转（也即后半H 面向上旋转)与V面（面）重合后得到各点的投影图。显然这些点的投影也必定符合上述 投影规律，但各点的投影在图上的位置有如下的特点： b 图23其他分角中点的投影 第∥分角中的点B,正面投影b'和水平投影b同在X轴的上方。 第份角中的点C,正面投影c在轴下方，水平投影c在X轴上方。 第W分角中的点D, 正面投影d'和水平投影d 同在X轴下方。 5.投影面和投影轴上 点的投影在特殊情况 下，点也可以位于投影面 上和投影轴上。点在哪个 面上，它与这个投影面的 距离就为零，并且与该投 影面上的投影重合，而另 一投影在投影轴上。如图 2-4所示，点M在H面上， 图2-2投影面和轴上点的投影 64

64 由图 2-2 可知，Aaaxa '是个矩形，a 'ax、 aax都垂直 X 轴，H 面向下旋转后，a、a '的连线 aa' 一定垂直于 X 轴，由此可得出点的投影规律： （1）点的水平投影和正面投影的连线垂直 X 轴。即 aa'垂直 X 轴。 （2）点的水平投影到 X 轴的距离等于空间点到 V 面的距离。即 aax＝Aa'。 （3）点的正面投影到 X 轴的距离等于空间点到 H 面的距离。即 a'ax＝Aa 。 4.其他分角中点的投影 如图 2-3 所示，空间点 B、C、D 分别处于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角中，各点分别向相应的投影面 作投射线，就可以得到各点的正面投影和水平投影。当前半的 H 面向下旋转（也即后半 H1 面向上旋转）与 V 面（V1 面）重合后得到各点的投影图。显然这些点的投影也必定符合上述 投影规律，但各点的投影在图上的位置有如下的特点： X X X X X X H1 H V1 V O O X c X d c d b b d c b d b c b B b c C c d D d a） b） 图 2-3 其他分角中点的投影 第Ⅱ分角中的点 B，正面投影 b '和水平投影 b 同在 X 轴的上方。 第Ⅲ分角中的点 C，正面投影 c'在 X 轴下方，水平投影 c 在 X 轴上方。 第Ⅳ分角中的点 D， 正面投影 d'和水平投影 d 同在 X 轴下方。 5.投影面和投影轴上 点的投影 在特殊情况 下，点也可以位于投影面 上和投影轴上。点在哪个 面上，它与这个投影面的 距离就为零，并且与该投 影面上的投影重合，而另 一投影在投影轴上。如图 2-4 所示，点 M 在 H 面上， X k n m n l k k l g m k l l m m n n g g K L M G N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' O O X V V H H1 1 a） b） 图 2-2 投影面和轴上点的投影

则m与M重合，m'在X轴上，同理，点K也如此。点N在V面上，则n'与N重合，n在X 轴上，同理点L亦如此。当点在投影轴上时，它的两个投影均与空间点重合在投影轴上。如 点G在轴上，则g、g与G均重合在X轴上。 2.1.2点在三投影面体系中的投影 1.三投影面体系的建立如图2-5a所示，如在两面体系上再加上一个与人、H均垂直的 投影面，它处于侧立位置，称为侧投影面，以W表示，简称W面，这样三个互相垂直的面 就组成一个三投影面体系。H、W面的交线称为Y投影轴，简称Y轴：人、W面的交线称为Z 投影轴，简称Z轴，三个投影轴的交点O称为原点。 图2-5点在三投影面体系中的投影 2.点的三面投影设有一空间点A,分别向从、V、W面进行投射得a、a'、a”,a“称 为点A的侧面投影。将H、W面分别按箭头方向旋转，使与V面重合，即得点的三面投影（图 2-5b)。其中Y轴既随H面旋转，也随W面旋转，分别用YH.Yw表示。通常在投影图上只画 出其投影轴不画投影面的边界（图2-5c)。 3.点的直角坐标与三面投影的关系如把三投影面体系看做空间直角坐标系，则H、V、 W面即为坐标面，X、Y、Z轴即为坐标轴，O点即为坐标原点。由图25可知，点A的三个 直角坐标x、即为点A到三个坐标面的距离，它们与点A的投影的关系如下： A重喜W=Aa=aay=a'az=Oax=x一横标 A距肉W=Aa'=aaw=aaz=Oa=y→纵标 A里直W=4a=a'ar=aar=Oa2=一高标 由此可见：a由x、以确定： a'由xA、H确定： a由A、确定 所以空间点A(x,4,4)在三面投影体系中有唯一的一组投影(a,a',a”)。反之， 已知点A的投影(a,a',a),即可确定点A的空间坐标值。 3.三投影面体系中点的投影规律三投影面体系中点的投影规律如下： 65

65 则 m 与 M 重合，m'在 X 轴上，同理，点 K 也如此。点 N 在 V 面上，则 n'与 N 重合，n 在 X 轴上，同理点 L 亦如此。当点在投影轴上时，它的两个投影均与空间点重合在投影轴上。如 点 G 在 X 轴上，则 g、g'与 G 均重合在 X 轴上。 2.1.2 点在三投影面体系中的投影 1.三投影面体系的建立 如图 2-5a 所示，如在两面体系上再加上一个与 V、H 均垂直的 投影面，它处于侧立位置，称为侧投影面，以 W 表示，简称 W 面，这样三个互相垂直的面 就组成一个三投影面体系。H、W 面的交线称为 Y 投影轴，简称 Y 轴；V、W 面的交线称为 Z 投影轴，简称 Z 轴，三个投影轴的交点 O 称为原点。 2. 点的三面投影 设有一空间点 A，分别向 H、V、W 面进行投射得 a、a'、a"，a"称 为点 A 的侧面投影。将 H、W 面分别按箭头方向旋转，使与 V 面重合，即得点的三面投影（图 2-5b）。其中 Y 轴既随 H 面旋转，也随 W 面旋转，分别用 YH、YW表示。通常在投影图上只画 出其投影轴不画投影面的边界（图 2-5c）。 3.点的直角坐标与三面投影的关系 如把三投影面体系看做空间直角坐标系，则 H、V、 W 面即为坐标面，X、Y、Z 轴即为坐标轴，O 点即为坐标原点。由图 2-5 可知，点 A 的三个 直角坐标 xA、yA、zA 即为点 A 到三个坐标面的距离，它们与点 A 的投影的关系如下： A 距 离 W＝Aa"＝aaY＝a'aZ＝OaX＝xA 横标 A 距 离 W＝Aa'＝aaX＝a"aZ＝OaY＝yA 纵标 A 距 离 W＝Aa＝a'aX＝a"aY＝OaZ＝zA 高标 由此可见：a 由 xA、yA 确定； a'由 xA、zA 确定； a"由 yA、zA 确定 所以空间点 A（xA，yA，zA）在三面投影体系中有唯一的一组投影（a，a'，a"）。反之， 已知点 A 的投影（a，a'，a"），即可确定点 A 的空间坐标值。 3.三投影面体系中点的投影规律 三投影面体系中点的投影规律如下： X Z Y a a a a a z a y x Z X W YH a a a A A A a X a YH X W Z a a Z a O O a Y O Y A A A X Z Y A a a aZ Y O Y aX z y x aO a a '' ' '' ' H W YH YW V H W a） b） c） 图 2-5 点在三投影面体系中的投影

(1)点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴。这两个投影都反映空间点的x(横) 坐标，即： aa'⊥X轴，a'az=aayH=xA (2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴。这两个投影都反映空间点的Z(高) 坐标，即： a'a”⊥Z轴，a'ar=a”aw=2 (3)点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离。这两个投影都反映空间 点的Y坐（纵）标，即： aar=a"g=v 根据点的三面投影规律，可由点的三个坐标值画出三面投影图：也可根据点的两个投影 作出第三投影。 【例1】己知点A的坐标(20,15,10)，点B的坐标(30,10,0)，点C的坐标(15， 0,0),作出点的三面投影（图2-6）。 分析：由于B=0,点B在H面上，又由于℃=0，℃=0，点C在X轴上。 作图：点A的投影：从O点向左在X轴20处作垂线aa',然后在aa'上从X轴向下向 上分别取y⅓=15和=10，求出a和a',由a'作Z轴的垂线，然后从Z轴向右方取15即 得a”。 其他从略。 图2-6根据点的坐标作投影图 图2-7己知点的两投影求第三投影 【例2】已知点D的两个投影d,、d,求出其第三投影d。(图2-7)。 分析：由于已知点的正面投影d'和侧面投影d广，则点的空间位置可以确定，由此可以 作出其水平投影。 作图：根据点的投影规律，水平投影d到X轴的距离等于侧面投影广到Z轴的距离。先 从原点O作YH、Yw分角线，然后从d”引Yw的垂线与分角线相交，再由交点作X轴的平行 线与由d'作出的X轴的垂直线相交即得水平投影d。 【例3】己知点A的三面投影，画出其轴测图。（图2-8）。 66

66 （1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于 X 轴。这两个投影都反映空间点的 x（横） 坐标，即： aa'⊥X 轴，a'aZ＝aaYH＝xA （2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于 Z 轴。这两个投影都反映空间点的 Z（高） 坐标，即： a'a"⊥Z 轴，a'aX＝a"aYW＝zA （3）点的水平投影到 X 轴的距离等于侧面投影到 Z 轴的距离。这两个投影都反映空间 点的 Y 坐（纵）标，即： aaX＝a"aZ＝yA 根据点的三面投影规律，可由点的三个坐标值画出三面投影图；也可根据点的两个投影 作出第三投影。 【例 1】已知点 A 的坐标（20，15，10），点 B 的坐标（30，10，0），点 C 的坐标（15， 0，0），作出点的三面投影（图 2-6）。 分析：由于 zB＝0，点 B 在 H 面上，又由于 yC＝0，zC＝0，点 C 在 X 轴上。 作图：点 A 的投影：从 O 点向左在 X 轴 20 处作垂线 aa'，然后在 aa'上从 X 轴向下向 上分别取 yA＝15 和 zA＝10，求出 a 和 a'，由 a'作 Z 轴的垂线，然后从 Z 轴向右方取 15 即 得 a"。 其他从略。 【例 2】已知点 D 的两个投影 d'、d"，求出其第三投影 d。（图 2-7）。 分析：由于已知点的正面投影 d'和侧面投影 d"，则点的空间位置可以确定，由此可以 作出其水平投影。 作图：根据点的投影规律，水平投影 d 到 X 轴的距离等于侧面投影 d"到 Z 轴的距离。先 从原点 O 作 YH、YW分角线，然后从 d"引 YW的垂线与分角线相交，再由交点作 X 轴的平行 线与由 d'作出的 X 轴的垂直线相交即得水平投影 d。 【例 3】已知点 A 的三面投影，画出其轴测图。（图 2-8）。 Z X Y Y a a a b c c b c b H W O ' ' ' '' '' '' Z X Y Y O W H d d d ' '' 图 2-6 根据点的坐标作投影图 图 2-7 已知点的两投影求第三投影

图28根据点的投影形图画出轴测图 分析：根据点A的三面投影，即可确定点A的三个坐标(x4,以，)，然后按坐标值作 图。 作图：通常将轴测图上的X轴画成水平位置，Z轴画成铅垂位置，Y轴画成与X、Z轴成 135°，即与X轴延长线成45°。在相应轴上量取坐标x4、4、4,得到ax、a、a三点，然 后从这三点分别作各轴的平行线即得三个交点即为a、a、a,再从a、a、a作各轴的平 行线相交与一点，即得空间点A。 2.1.3两点的相对位置 1.两点的相对位置的确定空间点的位置可以用绝对坐标（即空间点对原点O的坐标） 来确定，也可以用相对于另一点的相对坐标来确定。两点的相对位置即为两点的坐标差。如 图2-9所示，己知空间点A(xA、4、三A)和B(x8、B、B),如分析B相对于A的位置，在 X方向相对坐标为(xB一x),即两点对W面，也就是左右方向的距离（横标）差。Y方向的 相对坐标为(g一%)，即两点对V面，也就是前后方向的距离（纵标）差。Z方向的相对坐 标为(B一4)，即两点对H面也就是高度方向的距离（高标）差。 b) 图2-9 两点的相对位置的确定 由于x>x,则（一x)为负值，即点A在左，点B在右。由于g>4,则(g一w) 为正值，即点B在前，点A在后。由于>，则(B一)为正值，即点B在上，点A在 下。 2.重影点的投影当两点的某两个坐标值相同时，该两点处于同一条投射线上，因而对 某一投影面具有重合的投影，这两点称为对该投影面的重影点。如图2-10所示C、D两点， 67

67 分析：根据点 A 的三面投影，即可确定点 A 的三个坐标（xA，yA，zA），然后按坐标值作 图。 作图：通常将轴测图上的 X 轴画成水平位置，Z 轴画成铅垂位置，Y 轴画成与 X、Z 轴成 135°，即与 X 轴延长线成 45°。在相应轴上量取坐标 xA、yA、zA，得到 ax、ay、az 三点，然 后从这三点分别作各轴的平行线即得三个交点即为 a、a'、a"，再从 a、a'、a"作各轴的平 行线相交与一点，即得空间点 A。 2.1.3 两点的相对位置 1.两点的相对位置的确定 空间点的位置可以用绝对坐标（即空间点对原点 O 的坐标） 来确定，也可以用相对于另一点的相对坐标来确定。两点的相对位置即为两点的坐标差。如 图 2-9 所示，已知空间点 A（xA、yA、zA）和 B（xB、yB、zB），如分析 B 相对于 A 的位置，在 X 方向相对坐标为（xB－xA），即两点对 W 面，也就是左右方向的距离（横标）差。Y 方向的 相对坐标为（yB－yA），即两点对 V 面，也就是前后方向的距离（纵标）差。Z 方向的相对坐 标为（zB－zA），即两点对 H 面也就是高度方向的距离（高标）差。 W H V 后 前 下 上 左 右 下 上 左 右 后 前 b'' B A B B A A y y x x z z '' ' ' '' '' ' ' b A B b b b b O a a a YH X Yw Z O a a a Y Z X a） b） 图 2-9 两点的相对位置的确定 由于 xA＞xB，则（xB－xA）为负值，即点 A 在左，点 B 在右。由于 yB＞yA，则（yB－yA） 为正值，即点 B 在前，点 A 在后。由于 zB＞zA，则（zB－zA）为正值，即点 B 在上，点 A 在 下。 2.重影点的投影 当两点的某两个坐标值相同时，该两点处于同一条投射线上，因而对 某一投影面具有重合的投影，这两点称为对该投影面的重影点。如图 2-10 所示 C、D 两点， X Z Y a x z y a a a a a X A A A Y Z X Y Z a a a A z a X a X y xA a O aY YH A aY YW a A aZ Z O O ' '' ' '' ' W '' H 45° a） b） c） 图 2-8 根据点的投影图画出轴测图

其中xc=D,℃=D,因此，它们的正面投影c'和(d)重影为一点，由于℃>o,所以从 前向后看时，C是可见的，D是不可见的。通常规定把不可见的点的投影加上括号，如(d) 以示区别。又如C、E两点，其中xC=,比=，因此它们的水平投影(c)、e重影为一点， 由于，E>C,所以从上面垂直H面向下看时E是可见的，C是不可见的。再如C、F两点 其中C=r,C=r,它们的侧面投影c”、(f门重影为一点，由于xC>x,所以从左面垂直 于W面向右看时，C是可见的，F是不可见的。由此可见，对V面、H面、W面的重影点 它们的可见性，应分别是前遮后、上遮下、左遮右。此外，一个点在一个方向上是可见的， 在另一方向上去看则不一定是可见，必须根据该点和其他点的相对位置而定。 在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投影所在投影面的距离（即对该投影面 的坐标值)较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，因此经常利用重影点来判别可 见性问题。 图210重形点的投影 2.2直线的投影 空间一直线的投影可由直线的两点（通常取线段两个端点）的投影来确定。如图2-11所 示的直线AB,求作它的三面投影时，可分别作出两端点的投影(a、a'、a”)、(b、b'、b"), 然后将其同面投影连接起来即得直线的三面投影(ab、ab,、ab“)。 68

68 其中 xC＝xD，zC＝zD，因此，它们的正面投影 c'和（d'）重影为一点，由于 yC＞yD，所以从 前向后看时，C 是可见的，D 是不可见的。通常规定把不可见的点的投影加上括号，如（d'） 以示区别。又如 C、E 两点，其中 xC＝xE，yC＝yE，因此它们的水平投影（c）、e 重影为一点， 由于，zE＞zC，所以从上面垂直 H 面向下看时 E 是可见的，C 是不可见的。再如 C、F 两点， 其中 yC＝yF，zC＝zF，它们的侧面投影 c"、（f"）重影为一点，由于 xC＞xF，所以从左面垂直 于 W 面向右看时，C 是可见的，F 是不可见的。由此可见，对 V 面、H 面、W 面的重影点， 它们的可见性，应分别是前遮后、上遮下、左遮右。此外，一个点在一个方向上是可见的， 在另一方向上去看则不一定是可见，必须根据该点和其他点的相对位置而定。 在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投影所在投影面的距离（即对该投影面 的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，因此经常利用重影点来判别可 见性问题。 e' Z W H V c'' e( ) d ( ) ( ) '' '' '' '' ' ' ' O c f f c e c d f d = = = = = = F F D D E C E C y y y y z z z z x x x F xC D E ) ) ) ( ( ( '' '' '' ' ' ' ' d f f f c d d c D C F e e E e YH X Yw Z Y X a) b) 图 2-10 重影点的投影 2.2 直线的投影 空间一直线的投影可由直线的两点（通常取线段两个端点）的投影来确定。如图 2-11 所 示的直线 AB，求作它的三面投影时，可分别作出两端点的投影（a、a'、a"）、（b、b'、b"）， 然后将其同面投影连接起来即得直线的三面投影（ab、a'b'、a"b"）

40 图2.11直线的投影 图2-1ld为直线AB的投影在画物体投影图中的应用。 2.2.1各种位置直线的投影特性 根据直线在三投影面体系中的位置可将其分为投影面倾斜线、投影面平行线和投影面垂 直线三类。 前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。它们具有不同的投影特 性，现分述如下： 1.投影面倾斜线与三个投影面都成倾斜的直线称为投影面倾斜线。如图211所示，设 倾斜线AB对H面的倾角为a,对面的倾角为B,对W面的倾角为Y,则直线的实长、投 影长度和倾角之间的关系为： ab=ABcos a: a'b=ABcos B: ab=ABcos y 由上式可知，当直线处于倾斜位置时，由于0<a<90°：0<B<90°；0<y<90°， 因此直线的三个投影均小于实长。 倾斜线的投影特性为：三个投影都与投影轴倾斜且都小于实长。各个投影与投影轴的夹 角都不反映直线对投影面的夹角。 2.投影面平行线平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行 线。如表2-1所示，平行V面的称为正平线：平行H面的直线称为水平线：平行于W面的称 为侧平线。 以正平线AB为例，其投影特性为： (1)正面投影ab'反映直线的实长，它与X轴的夹角反映直线对H面的倾角，与Z轴 69

69 图 2-11d 为直线 AB 的投影在画物体投影图中的应用。 2.2.1 各种位置直线的投影特性 根据直线在三投影面体系中的位置可将其分为投影面倾斜线、投影面平行线和投影面垂 直线三类。 前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。它们具有不同的投影特 性，现分述如下： 1.投影面倾斜线 与三个投影面都成倾斜的直线称为投影面倾斜线。如图 2-11 所示，设 倾斜线 AB 对 H 面的倾角为α，对 V 面的倾角为β，对 W 面的倾角为γ，则直线的实长、投 影长度和倾角之间的关系为： ab＝ABcosα； a'b'＝ABcosβ； a"b"＝ABcosγ 由上式可知，当直线处于倾斜位置时，由于 0＜α＜90°；0＜β＜90° ；0＜γ＜90°， 因此直线的三个投影均小于实长。 倾斜线的投影特性为：三个投影都与投影轴倾斜且都小于实长。各个投影与投影轴的夹 角都不反映直线对投影面的夹角。 2.投影面平行线 平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行 线。如表 2-1 所示，平行 V 面的称为正平线；平行 H 面的直线称为水平线；平行于 W 面的称 为侧平线。 以正平线 AB 为例，其投影特性为： （1）正面投影 a'b'反映直线的实长，它与 X 轴的夹角反映直线对 H 面的倾角，与 Z 轴 X Z Y a a a O Z X YW YH a a a O A B b b b b b b Z O H X Y b a b a YW a b ' '' '' ' ' '' '' V H W a) b) c) ' b' a'' b'' a b A B d) 图 2-11 直线的投影

的夹角反映直线对W面的倾角。 (2)水平投影ab∥X轴：侧面投影ab∥Z轴，它们的投影长度均小于AB实长 ab=ABcos a,a"b"=ABcos y 关于水平线和侧平线投影其投影特性可类似得出 表21平行线的投影特性 正平线(AB∥V面) 水平线(AB∥H而) 侧平线(AB∥W面) 图 图 1.abM=AB:r面投影反映a 的BH面投影反映、了 1.ab诗=AB:V面投影反映a 2.a∥oZ、abM<4B, ab∥OYH、ab<AB 3.投影面垂直线垂直于一个投影面即与另外两个投影面都平行的直线称为投影面垂 直线（表2-2）。垂直于正面的称为正垂线：垂直于水平面称为铅垂线，垂直于侧面的称为侧 垂线。 70

70 的夹角反映直线对 W 面的倾角。 （2）水平投影 ab∥X 轴；侧面投影 a"b"∥Z 轴，它们的投影长度均小于 AB 实长： ab＝ABcosα， a"b"＝ABcosγ 关于水平线和侧平线投影其投影特性可类似得出。 表 2-1 平行线的投影特性 名 称 正平线（AB∥V 面） 水平线（AB∥H 面） 侧平线（AB∥W 面） 轴 测 图 X Z Y a b A B b a a b O V H W X Z Y a b A B a a b b H W V O X Z Y a b a b a b A B W H V O 投 影 图 X a b Y YH a O Z b a b X a b a b YW YH O a b O X a b b a YW YH Z a b 投 影 特 性 1．ab＝AB；V 面投影反映α、γ 2．ab∥OX、ab＜AB， ab∥OZ、ab＜AB 1．ab＝AB；H 面投影反映β、γ 2．ab∥OX、ab＜AB， ab∥OYW、ab＜AB 1．ab＝AB；V 面投影反映α、 β 2．ab∥OZ、ab＜AB， ab∥OYH、ab＜AB 应 用 举 例 a a b b a b A B C c c b b c b A C B a a c c a A B C 3.投影面垂直线 垂直于一个投影面即与另外两个投影面都平行的直线称为投影面垂 直线（表 2-2）。垂直于正面的称为正垂线；垂直于水平面称为铅垂线，垂直于侧面的称为侧 垂线

表22垂直线的投影特性 正线(4B1r面) 铅垂线(4BLH面) 侧垂线(4B⊥W面) 轴测图 器 1.a3(b的)积聚成一点 以铅垂线为例，其投影特性为： (1)水平投影a(b)重影为一点。 (2)正面投影a'b垂直X轴：侧面投影a“b“垂直Y,轴，均反映实长。 关于正垂线和侧垂线的投影及其投影特性可类似得出。 2.2.2直线段的实长和对投影红面的顷角 由前述得知，倾斜直线段的投影在投影图上不反映实长和对投影面的倾角。但在工程上 往往要求在投影图上用图解方法解决这一度量问题

71 表 2-2 垂直线的投影特性 名 称 正垂线（AB⊥V 面） 铅垂线（AB⊥H 面） 侧垂线（AB⊥W 面） 轴 测 图 A B X Y Z a b a b a b O V H W a b b a A B Z Y X a b O W H V A B X Y a b a b a b O W H V 投 影 图 O X b a a b YW YH b Z a O X YW YH a Z b a b a b X a b a b YW YH b O a Z 投 影 特 性 1．a（b）积聚成一点 2．ab⊥OX、ab⊥OZ 3．ab＝ab＝AB 1．a（b）积聚成一点 2．ab⊥OX、ab⊥OYW 3．ab＝ab＝AB 1．a（b）积聚成一点 2．ab⊥OZ、ab⊥OYH 3．ab＝ab＝AB 应 用 举 例 a a b b a b A B C D a a d d a d D B C A a c a c a c B D C A 以铅垂线为例，其投影特性为： （1）水平投影 a（b）重影为一点。 （2）正面投影 a'b'垂直 X 轴；侧面投影 a"b"垂直 YW轴，均反映实长。 关于正垂线和侧垂线的投影及其投影特性可类似得出。 2.2.2 直线段的实长和对投影面的倾角 由前述得知，倾斜直线段的投影在投影图上不反映实长和对投影面的倾角。但在工程上， 往往要求在投影图上用图解方法解决这一度量问题

1.几何分析如图2-12所示为一处于H/N投影面体系中的倾斜线AB,现过A作AB,∥ ab,即得一直角三角形ABB,它的斜边AB即为其实长，AB:=b,BB:为两端点A、B的： 图212直角三角形法求实长及顿角 坐标差(B一：4)，AB与AB的夹角即为AB对H面的倾角a。由此可见，根据倾斜线AB的 投影，求实长和对H面的倾角，可归结为求直角三角形ABB的实形。 如过A作AB:∥ab',则得另一直角三角形ABB2,它的斜边AB即为实长，AB2=a'b', BB:为两端点A、B的y坐标差(y一)，AB与AB:的夹角即为AB对V面的倾角B。因此 只要求出直角三角形ABB:的实形，即可得到AB的实长和对投影面的倾角B。 2.作图方法求直线AB的实长和对H面的倾角a可应用下列两种方式作图（图2-12b): (1)如图2-12所示，过b作ab的垂线bBo,在此垂线上量取bB。=一4，则aB即为 所求直线的实长，∠Boab即为a角。 (2)过a作X轴的平行线，与bb相交于bo(bbo=B一4)，量取b4o=ab,则bA 也是所求直线的实长，∠b4,b即为a角。 同理，如图2-12c所示，以ab'直角边，以一以为另一直角边，也可求出AB的实长 (bA。=AB),而斜边bA与ab的夹角即为AB对V面的倾角B,类似做法，使aB。=ab, 则aB。=AB,∠aBa也反映B角。 直线对侧面的倾角y请自行求出。 3.应用作图举例如图2-13所示，已知直线AB的实长L和ab'及a,求水平投影ab 分析：如求出了ab长度，或增一的值，就可确定b。根据直角三角形法，可以分析 想象由己知的ab和实长L能组成一直角三角形，并画出该三角形（图2-13C),标记直角 边ab'和斜边L,然后分析αb'和L的夹角和另一直角边各表示什么，弄清后即可得到解 题思路。 作图方法一： (1)由b'点作X轴的垂线bb。 (2)由a点作X轴平行线与b'b相交于b,延长ab至Ao,使baA=ab'。 (3)以A。为圆心，实长L为半径画圆弧交bb于b1或b2,即可求出水平投影ab或ab 两解，如果取后面一解，则B点处于第Ⅱ分角。 72

72 1.几何分析 如图 2-12 所示为一处于 H/V 投影面体系中的倾斜线 AB，现过 A 作 AB1∥ ab，即得一直角三角形 ABB1，它的斜边 AB 即为其实长，AB1＝ab，BB1 为两端点 A、B 的 z 坐标差（zB－zA），AB 与 AB1 的夹角即为 AB 对 H 面的倾角α。由此可见，根据倾斜线 AB 的 投影，求实长和对 H 面的倾角，可归结为求直角三角形 ABB1 的实形。 如过 A 作 AB2∥a'b'，则得另一直角三角形 ABB2，它的斜边 AB 即为实长，AB2＝a'b'， BB2 为两端点 A、B 的 y 坐标差（yB－yA），AB 与 AB2 的夹角即为 AB 对 V 面的倾角β。因此， 只要求出直角三角形 ABB2 的实形，即可得到 AB 的实长和对投影面的倾角β。 2.作图方法 求直线 AB 的实长和对 H 面的倾角α可应用下列两种方式作图（图 2-12b）： （1）如图 2-12 所示，过 b 作 ab 的垂线 bB0，在此垂线上量取 bB0＝zB－zA，则 aB0 即为 所求直线的实长，∠B0ab 即为α角。 （2）过 a'作 X 轴的平行线，与 b'b 相交于 b0（b'b0＝zB－zA），量取 b0A0＝ab，则 b'A0 也是所求直线的实长，∠b'A0b0 即为α角。 同理，如图 2-12c 所示，以 a'b'直角边，以 yB－yA 为另一直角边，也可求出 AB 的实长 （b'A0＝AB），而斜边 b'A0与 a'b'的夹角即为 AB 对V 面的倾角β 。类似做法，使 a0B0＝a'b'， 则 aB0＝AB，∠aB0a0 也反映β角。 直线对侧面的倾角γ请自行求出。 3.应用作图举例 如图 2-13 所示，已知直线 AB 的实长 L 和 a'b'及 a，求水平投影 ab。 分析：如求出了 ab 长度，或 yB－yA 的值，就可确定 b。根据直角三角形法，可以分析、 想象由已知的 a'b'和实长 L 能组成一直角三角形，并画出该三角形（图 2-13c），标记直角 边 a'b'和斜边 L，然后分析 a'b'和 L 的夹角和另一直角边各表示什么，弄清后即可得到解 题思路。 作图方法一： （1）由 b'点作 X 轴的垂线 b'b1。 （2）由 a 点作 X 轴平行线与 b'b1 相交于 b0，延长 ab0 至 A0，使 b0A0＝a'b'。 （3）以 A0 为圆心，实长 L 为半径画圆弧交 b'b1 于 b1 或 b2，即可求出水平投影 ab1 或 ab2 两解，如果取后面一解，则 B 点处于第Ⅱ分角。 X Z a X a b b b a z A B X b a b a ' ' ' ' ' ' B a' b' z z z B A A B zB zA zB－zA 2 B1 A B b ab 0 0 0 0 实长 实长 a b a 实长 实长 y yA B yB yA A0 B0 o o o V H a） b） c） 图 2-12 直角三角形法求实长及倾角