华侨大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿，机电版）傅里叶三角级数证法2

傳里叶三角级教证湍2 利用正余弦函数的正交性 x()=a+∑ an cos n@ot+∑ bn sin nOo 1)展开式在一个周期(,)内积分,得: 2x(0)=[3+0=41=a ∫孟x()一信号的均值,直流分量

X 傅里叶三角级数证法 2 0 0 0 1 1 ( ) cos sin n n n n x t a a n t b n t     = = = + +   ( ) 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 0 1 T T T T T T x t dt a dt a dt a T − − − = + = =    •利用正余弦函数的正交性 1) 展开式在一个周期 0 0 , 内积分，得： 2 2   T T −    ( ) 0 0 2 0 0 2 1 T a x t dt T T − =  —信号的均值，直流分量

傳里叶三角级教证油2 x(t=ao+>(an cosnat+b, sin n@ot 2)展开式两边同乘以 cannot,积分,得余弦分量: ∫3 x(tcosno tdt= 2 JTo an cos@t cosmo tdt 1+cos 2not dt 2anTO an,=o x(t)cosnaotdt n=1,2,3 余弦分量 的幅度

X 余弦分量 的幅度 傅里叶三角级数证法 2 x(t) n tdt a n t n tdt T T n T  T  − − = 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 cos  cos  cos  2) 展开式两边同乘以 n t ，积分，得余弦分量： 0 cos  0 2 2 0 2 1 2 1 cos 2 0 0 dt a T n t a n T T n = + = −  ( )cos 1,2,3 2 0 2 0 2 0 0  = = − x t n tdt n T a T n T  ( ) 0 0 0 ( ) 1 n n cos sin n x t a a n t b n t    = = + + 

傅里叶三詹级教证法2 x(t)=ao+2(a, cos n@ot+bm, sin not) 3)展开式两边同乘以 sin not,积分,得正弦分量: x(tsin nott 6. sin not sin no tdt b t bn=ox()sin naotdt n=1, 2,3 正弦分量 的幅度

X 傅里叶三角级数证法 2 x(t) n tdt b n t n tdt T T n T  T  − − = 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 sin  sin  sin  3) 展开式两边同乘以 sin n0 t ，积分，得正弦分量： 正弦分量 的幅度 0 2 1 = bn T ( )sin 1,2,3 2 0 2 0 2 0 0  = = − x t n tdt n T b T n T  ( ) 0 0 0 ( ) 1 n n cos sin n x t a a n t b n t    = = + + 

傅里叶三角级教证油2 所以有: 1 To x(t t ∫2x() )cos n@tdt b 2(3 x(tsinnootdt n=1.2.3 注 an是n的偶函数,当x0是奇函数时 0 b是ma的奇函数,当X是偶函数时bn=0

X 傅里叶三角级数证法 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 1 2 cos 2 sin 1, 2,3 T T T n T T n T a x t dt T a x t n tdt T b x t n tdt n T   − − − = = = =    所以有： an 是 n 的偶函数，当 0 x(t)是奇函数时 an = 0 是 n 的奇函数，当 0 x(t)是偶函数时 = 0 n b bn 注

傳里叶三角级教证油2 x(t)=ao+>(a, cos noot+b, sinnott) 将展开式中同频率分量和并,可得傅氏级数余弦形式: x(t)=A+>A, cos(n@t+n) 式中:A=a0直流分量 幅频特性偶函 An=√a+b2n=12,3…m次谐波分量的幅值 b n=- arctan n次谐波分量的相位 相频特性(奇函数)

相频特性(奇函数) X 傅里叶三角级数证法 2 0 0 ( ) 1 ( ) cos n n n x t A A n t    = = + +  将展开式中同频率分量和并，可得傅氏级数余弦形式： 式中： A a 0 0 = 直流分量 2 2 1, 2,3 A a b n n n n = + = n次谐波分量的幅值 arctan n n n b a    = −     n次谐波分量的相位 幅频特性(偶函数) ( ) 0 0 0 ( ) 1 n n cos sin n x t a a n t b n t    = = + + 