北京邮电大学出版社：《高等数学》课程教学资源（知识题解）格林公式及其应用

第3节 第九章 老林公式及其应用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数全微分的求积问题 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 格林公式及其应用 第九章 三、二元函数全微分的求积问题

一、格林公式 1.两个概念 1)平面单连通区域 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围部分都属于 D,则称D为平面单连通区域；否则称为复连通区 域.通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”（包 括“点洞”)的区域，复连通区域就是含有“洞”的☒ 域 2)区域边界的正向 我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走 时，D总在它的左边 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 1.两个概念 1)平面单连通区域 L l 一、 格林公式 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围部分都属于 D，则称D为平面单连通区域；否则称为复连通区 域．通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”(包 括“点洞”)的区域，复连通区域就是含有“洞”的区 域． 2)区域边界的正向 我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走 时，D总在它的左边．

2.格林公式 定理1设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有 川-v-手Pu+e*, 其中L是D的取正向的边界曲线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2.格林公式 定理1 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有                D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 其中L是D的取正向的边界曲线．

证明：1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 D92e网 E a≤x≤b pm1g69 则 器d-a dx =∫w2ydy-(w1yy)dy =∫(xdy-∫c0xyay =∫s(x,dy+EcQx,yay BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且        a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 x y x Q D d d      d c Q( ( y), y )dy  2   ( )  ( ) 2 1 d y y x x  Q    CBE Q(x, y)dy   EAC Q(x, y)dy   d c Q( ( y), y )dy 1   d c dy O d c y x E C A B a b D

即 d-d ① 同理可证 -nga-.t ①、②两式相加得： ,2lad=fw+gwy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得:            D L x y P x Q y y P x Q d d d d

2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图 双设 )dxdy (器器 )dxdy - Pdx+Qdy(D,表示D的正向边界) i=1 -f,Pdx+Qdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2   1 d d i n D i Q P x y  x y          x y y P x Q D d d       1 d d i n D i P x Q y         L Pdx Qd y 为有限个上述形式的区域 , 如图 y O x ( 表示 的正向边界) Di Di 

3.平面区域的面积 正向闭曲线L所围区域D的面积 A-f xdy-ydx 032计家00。 (0≤0≤2π)所围面积 解：4=xd-yd =26(abcas20+absn20)d0=xob BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积    L A xdy y dx 2 1 3.平面区域的面积 例9.3.2 计算椭圆 (0 2π) sin cos :           y b x a L 所围面积.    2π 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab  ab    π ab 解：

例933计算1=0 edxdy,.其中D是以O0,0),41,1), B(0,1)为顶点的三角形闭域. 解：令P=0,Q=xey,则 B(0,1) A1,1) 60 OP e-x Ox v=x 利用格林公式，有 X 川oc'ddy=f6 pxedy =nxe'dy=。xedr =-e) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例9.3.3 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, e y P Q x    利用格林公式 , 有    D y x e dy 2 x y OA y e d 2    x x x e d 1 0 2    (1 e ) 2 1 1   y  x y x A(1,1) B(0,1) D O

例935计贺：，为 xdy-ydx 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线！ 解：0 X 则当x2+y2+0时，是， ap (x2+y2)2 y 设L所围区域为D,当(O,0)D时，由格林公式知 xdy-ydx =0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例9.3.5 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 0 , 则当x 2  y 2  时 设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时, 由格林公式知 y x L O

当(0,0)eD时，在D内作圆周1：x2+y2=62,取逆时 针方向，记L和1所围的区域为D1,对区域D应用格 林公式，得 -faur xdy-ydx X -0dxdy=0 空 =gcos9+ssn' d0=2π BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束       d 2π cos sin 0 2 2 2 2 2     2π 当(0,0) D时, 在D 内作圆周 : , 2 2 2 l x  y   取逆时 针方向, D1 , 对区域 D1 应用格     l x y x y y x 2 2 d d      L l x y x y y x  2 2 d d 0d d 0 1    x y D L D1 l 记 L 和 l ¯所围的区域为 林公式 , 得 y O x