北京邮电大学出版社：《高等数学》课程教学资源（知识题解）高阶导数

第二章 第4为 高阶导数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 高阶导数 第二章

引例：变速直线运动 s=s(t) 速度 ds V= 即v=s dt dv 加速度 a= 即 a=(s)} BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页下贞返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 s  s(t) 速度 即 v  s  加速度 , d d t s v  t v a d d  ) d d ( d d t s t  即 a  (s ) 引例：变速直线运动

定义.若函数y=f(x)的导数y'=f'(x)可导，则称 x)的导数为f)的二阶导数，记作y或dy,即 dx2 y”=(y或9 品 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推 n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 或 d y "Y dx3' BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义. 若函数 y  f (x)的导数 y   f (x) 可导, 或 , d d 2 2 x y 即 y   ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y  类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , y  , , (4) y ( ) , n  y 或 , d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d , f (x)的导数为 f (x)的二阶导数 , 记作 y  依次类推 , 分别记作 则称

例2.4.2设y=e,求yn 解：y'=aeax,y”=a2e,y"=a3e x yn）=a"ear V'=. 1-x 特别有：(e)m=ex 例24.4设y=ln(1+x),求yn (1-x)2 1+,”=(←1 1.2 1+x)3 …, )=(- (1+x)” 规定0！=1 思考：y=ln(1-x),yw=- (n-1)！ (1-x)” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 n (1 x) e , , y   a 3 ax  例2. 4.2 设 求 解: 特别有: 解: (n 1)! 规定 0 ! = 1 思考: e , ax y  . (n) y e , ax y   a e , 2 ax y   a n n ax y a e ( )  x n x (e ) e ( )  例2.4.4 设 y  ln(1 x ) , 求 . (n) y , 1 1 x y    , (1 ) 1 2 x y     , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y       (n) y 1 ( 1)   n y  ln(1 x ) ,  (n) y x y     1 1 y    n x n (1 ) ( 1)!    2 (1 ) 1 x 

例2.4.3设y=sinx,求ym 解：y'=cosx=sin(x+) y”=cos(x+)=sin(x+5+5） =sin(x+2·) y"=cos(x+2·)=sin(x+3.5) 般地，(sinx)m）=sin(x+n:) 一 类似可证： (cosx)()cos(x+n.) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.4.3 设 y  sin x , 求 . (n) y 解: y   cos x sin( ) 2 π  x  cos( ) 2 π y   x  sin( ) 2 π 2 π  x   sin( 2 ) 2 π  x   cos( 2 ) 2 π y   x   sin( 3 ) 2 π  x   一般地 , x  x  n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x  x  n (cos ) cos( ( ) ) 2 π n  ) 2 π n 

高阶导数的运算法则 设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数，则 1.(zu±y)m）=m±m) 2.(C)m=Cm(C为常数) 3ey”=y+ep,g》 m-2)y”+ 规律 +…+nn-1)-(n-k+1 u(nk)(k) k! ++mn） 莱布尼茨Leibniz)公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 规律 返回 结束

规律 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 ( ) 1. ( ) n u  v (n) (n)  u  v ( ) 2. ( ) n Cu (n)  Cu (C为常数)  ( ) 3. ( ) n u v u v  (n) 2! n(n 1) ! ( 1) ( 1) k n n  n  k         u v (n 2) (n k ) (k ) u v  (n)  uv 莱布尼茨(Leibniz) 公式 设函数 u  u(x) 及 v  v(x)    nu v (n 1) 规律

规律 (uv)'u'v uv' (w)"=(u'y+uw')}=u"y+2u'y'+uw" (w)"=umv+32"v'+32u'v"+umm 用数学归纳法可证 (w)m=∑Caha-v, 0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS

规律  3u  v  (uv)  u  v  uv  (uv)  (u  v  uv )  u  v  2 u  v   uv  (uv)  u  v  3u  v   uv  用数学归纳法可证 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) C n n k n k k n k uv u v    

内容小结 高阶导数的求法 (1)逐阶求导法 (2)利用归纳法 (3)间接法— 利用已知的高阶导数公式 如下列公式 (sinx)m）=sin(x+n) (cosx)()cos(x+n) (1m=(-10 n! a+x (a+x)1 (4)利用莱布尼茨公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼茨公式 高阶导数的求法     1 (n) a x 1 ( ) ! ( 1)    n n a x n 如下列公式 x  x  n (sin ) sin( ( ) x  x  n (cos ) cos( ( ) ) 2 π n  ) 2 π n 

思考与练习 1.如何求下列函数的n阶导数？ 1-x 2 (1) y= 解：y=-1+ 1+x 1+x ym=2(-1 n! (1+x)+ (2) y= 1-x 解：y=-x2-x-1+,1 1-x y(m) n (1-x)*1,n≥3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上负 、页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 x y     1 2 1 1 ( ) (1 ) ! 2( 1)     n n n x n y x y x x       1 1 1 2 , 3 (1 ) ! 1 ( )     n x n y n n 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? x x y    1 1 (1) x x y   1 (2) 3 解: 解:

(3)y=x2-3x+2 A B 提示：令 (x-2)(x-1)x-2x-1 A=(x-2) 8=x-yg-2-k-1=1 .y= x-2x-1 ym=(←1)nl BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上负 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 3 2 1 2    x x y 1 1 2 1      x x y            1 1 ( ) ( 1) 1 ( 2) 1 ( 1) ! n n n n x x y n (3) ( 2)( 1) 2 1 1       x B x A x x 提示: 令 A  (x  2) x  2 B  (x 1) x 1 1  1 ( 2)( 1) 1 x  x  ( 2)( 1) 1 x  x 