北京邮电大学出版社：《高等数学》课程教学资源（知识题解）多元函数的极值及其求法

第7节 第七章 多无函数的极值及其求法 多元函数的极值 二、 多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 日录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第七章 第7节 一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法 多元函数的极值及其求法

一、 多元函数的极值 定义若函数二=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(xy)≥f(xo,o) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值， =-Vx2+y2 在点(0,0)有极大值； 2=xy在点(0,0)无极值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、 多元函数的极值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. ( , ) ( , ) 0 0 f x y  f x y ( ( , ) ( , )) 0 0 或 f x y  f x y 2 2 z  3x  4y 2 2 z   x  y z  x y ( , ) ( , ) 0 0 0 z  f x y 在点P x y 的某邻域内有 x y z O x y z O x z O y (极小值)

定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,yo)具有 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y)=0,f,(x)=0. 证：因z=f(x,y)在点(xo,y)取得极值，故 二=f(x,o)在x=x取得极值 2=f(xo,)在y=o取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0. f x x0 y0  f y x0 y0  取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 ( , ) ( , ) 0 0 z  f x y 在点 x y 具有 ( , ) ( , ) 0 0 因z  f x y 在点 x y z  f (x, y0 ) 在 0 x  x 故 z  f (x0 , y) 在 0 y  y z  x y

定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(x0,yo)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,fy(x0,0)=0 令fx(x0,)=A,f(,)=B,f(x,)=C, A0时，具有极值 >0时取极小值 (2)当AC-B2<0时，没有极值 (3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: (1) 当 A0 时取极小值. (2) 当 (3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z  f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0  f y x0 y0  ( , ) , ( , ) , ( , ) , f x x x0 y0  A f x y x0 y0  B f y y x0 y0  C 0 2 AC  B  0 2 AC  B  0 2 AC  B  且

例7.7.4求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解：第一步求驻点. 解方程组 [才x(x,y)=3x2+6x-9=0 f(x,y)=-3y2+6y=0 求得驻点为：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B fx(x,y)=6x+6,(x,y)=0,w(x,y)=-6y+6 A 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0 ∴.f1,0)=-5为极小值： BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.7.4求函数 解: 第一步 求驻点. 求得驻点为: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C f x (x, y)  3 6 9 0 2 x  x   f y (x, y)  3 6 0 2  y  y  的极值. 求二阶偏导数 f (x, y)  6x  6, xx f (x, y)  0, xy f (x, y)  6y  6 y y A 12, B  0, C  6, 12 6 0, 2 AC  B     f (1,0)  5 A  0, f (x, y) x y 3x 3y 9x 3 3 2 2     

在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 AC-B2=12×(-6)0,A<0, ∴f(-3,2)=31为极大值 fxx(x.y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y+6 A B C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 上为 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. f (x, y)  6x  6, xx f (x, y)  0, xy f (x, y)  6y  6 y y A  12, B  0, C  6, 12 6 0, 2 AC  B      f (3,0) A  12 , B  0, C  6  f (3,2)  31 12 ( 6) 0, 2 AC  B      A  0, 在点(1,2) 处 不是极值; A 12, B  0, C  6 12 ( 6) 0,  f (1,2) 2 AC  B     A B C

二、多元函数的最大值与最小值 依据 函数f在闭域上连续 函数在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 边界上的最值点 特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时， f(P)为极小值一>f(P)为最小值 (大) (大) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数的最大值与最小值 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, f (P)为极小值 f (P)为最小值 (大) (大) 依据

例7.7.6某厂要用铁板做一个体积为8m3的有盖长方体 水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？ 解：设水箱长，宽分别为x,ym,则高为，m, 则水箱所用材料的面积为 4=20w+y÷+x÷)=20++)8 4，=2y-)=0 令 L4,=2(x-)=0 得驻点(2,2) 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可 断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽、高都为2 时，水箱所用材料最省 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.7.6 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为8 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体 水箱,问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省? m, 8 x y A  2 xy x y y 8    x y x 8     x y x y 8 8  2           0 0 y x 2( 2 ) 0 8    x x A y 2( 2 ) 0 8    y y A x 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽、高都为 时, 水箱所用材料最省. 3 m ( 2 , 2) 2

三、条件极值与拉格朗日乘数法 无条件极值：对自变量只有定义域限制 极值问题 条件极值：对自变量除定义域限制外 还有附加条件限制 条件极值的求法 1把条件极值转化为无条件极值例如， 在条件2(xy+yz+xz)=a2下，求体积V=xyz的极值 鞋 a2-2x 2= 2(x+y) 求一元函数Y= xy(a2-2xy) 的无条件极值 2(x+y) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值与拉格朗日乘数法 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 1.把条件极值转化为无条件极值 求一元函数 的无条件极值. 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有附加条件限制 例如 , 转 化 在条件 下, 2 2(xy  yz  xz)  a 求体积V  xyz 的极值 ; 2( ) 2 2 x y a xy z    2( ) ( 2 ) 2 x y xy a xy V   

2.拉格朗日乘数法 例如， 在条件p(x,y)=0下，求函数z=f(x,y)的极值 (1)构造拉格朗日函数 L(x,y)=f(x,y)+0(x,y), (2)求出函数L(x,y)对x与y的一阶偏导数，并使 之为零，与方程p(x,y)=0联立 f(x,)+九0(x,y)=0, f(x,y)+九0，(x,y)=0 0(x,y)=0, (3)判别所求的点是否为极值点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 上 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 在条件(x, y)  0下, 2.拉格朗日乘数法 (1)构造拉格朗日函数 求函数 z  f (x, y)的极值. L(x, y)  f (x, y)  (x, y), 例如, (2)求出函数L(x，y)对x与y的一阶偏导数，并使 之为零，与方程(x, y)  0 联立 f (x, y)  (x, y)  0, x  x f (x, y)  (x, y)  0, y  y (x, y)  0, (3)判别所求的点是否为极值点