北京邮电大学出版社：《高等数学》课程教学资源（知识题解）对弧长的曲线积分

第1节 第九章 对狐长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 三、对弧长的曲线积分的推广 四、对弧长的曲线积分的应用举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 束

目录 上页 下页 返回 结束 第1节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 对弧长的曲线积分 第九章 三、对弧长的曲线积分的推广 四、对弧长的曲线积分的应用举例

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB,其线密度为4(x,y), (51,7,) 为计算此构件的质量，采用 经 分割，近似，求和，取极限” 可得 A)As, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “分割, 近似, 求和, 取极限” 可得 ( , ) . 1   n i i i i M     s 为计算此构件的质量, i s Mi1 Mi ( , ) i i 1.引例 曲线形构件的质量 采用

2.对弧长的曲线积分的定义 设L=AB为xOy平面内的一条光滑曲线，函数x,y) 是定义在L上的有界函数.在L上任意插入分点 A=M,M1,M2,,M1,M=B, 将L分成n个小段，记As,=M-M,(i=1,2,…,n),同时 △s也表示其长度.在△s上任取一点(5，n),作乘积 5,,)△s,(i=1,2,…,n),并作和式 ∑f(5,n,)△s 记入=max{△s,},如果不论如何分割及(5，n)如何选 l<i<n 取，极限 lim 0 ∑f(5,n,)As, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2.对弧长的曲线积分的定义 A＝M0，M1，M2，…，Mn-1，Mn ＝B， 设 为xOy平面内的一条光滑曲线，函数f(x，y) 是定义在L上的有界函数．在L上任意插入分点 L AB  将L分成n个小段，记 ，同时 Δsi也表示其长度．在Δsi上任取一点(ξi ,ηi )，作乘积 f(ξi ,ηi )Δsi (i＝1,2，…，n)，并作和式 记 ，如果不论如何分割及(ξi ,ηi )如何选 取，极限 1 ( 1,2, , ) i i i s M M i n     1 ( , ) . n i i i i f s      1 =max{ }i i n  s    0 1 lim ( , ) n i i i i f s       

都存在，则称此极限值为函数x,y)在曲线L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作∫f(x,y)d,即 fx,yd=lm∑f5n)△ -0 其中x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 都存在，则称此极限值为函数f(x,y)在曲线L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线. ( , ) , d L f x y s  即 0 1 ( , ) lim ( , ) . d n i i i L i f x y s f s         

3.对弧长的曲线积分的性质 四j,(x,ds=kfx,ds (k为常数)： (2)∫.[fx,±gx,小as=J,fxds±，83，ds (3)Jf(ds=dsds ( BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 3.对弧长的曲线积分的性质 (1) ( , )d ( , )d L L kf x y s k f x y s    （k为常数); (2) ( , ) ( , ) d ( , )d ( , )d ;   L L L f x y g x y s f x y s g x y s       1 2 1 2 (3) ( , )d ( , )d ( , )d ( ). L L L f x y s f x y s f x y s L L L       

二、对弧长的曲线积分的计算 基本思路：求曲线积分 转化 → 计算定积分 定理1设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=W()(C≤t≤B) 上的连续函数，则曲线积分」，f(x,)ds存在，且 SSd-ft.v+dt 证：根据定义 J2f6,ds=m∑/(5，n)A 2>0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束         f x y s f  t  t  t  t t L ( , )d [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算 基本思路: 转 化 计算定积分 定理1 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 0 1 lim ( , ) . n i i i i f s        

设各分点对应参数为1，(i=0,1,…,n), 点(5，n,)对应参数为，∈[11，] As=∫Vp()+w)d 刘e =√p2(r)+w(,)△1，T,∈[1，] =lm∑/Lo(g,),w(g,小oe)+wPgD i=1 =∫fp(e),wUNo"A)+wGdt BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 点 ( , ) i i   1 2 2 ' ( ) ( ) d i i t i t s t t t         2 2 ' ( ) ( ) , i i i         t 0 1 lim n i     [ ( ), ( )] i i f     设各分点对应参数为 对应参数为 则 2 2 f t t t t t [ ( ), ( )] ' ( ) ( ) d         

说明： (1).·△S,>0,.△1>0，因此积分限必须满足a<B1 (2)注意到 ds =(dx)2+(dy)2 =vo2(t)+w2(t)dt dx 因此上述计算公式相当于“换元法” X X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 、返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y O dx dy ds 说明: (1) 0, 0, i i     s t 因此积分限必须满足    ! (2) 注意到 2 2 ds  (d x)  (d y) (t) (t) d t 2 2    x 因此上述计算公式相当于“换元法

推论1如果L的方程为y=yw(x)(a≤x≤b),平(x)在 [a,b]上具有连续导数，则有 [f(.ds=f()1()dx 推论2如果L的方程为x=y)(csd),y)在[c,d 上具有连续导数，则有 ,fxnd=∫f0).小N1+w0 推论3如果极坐标方程：L:r=r(O)(≤0≤阝)，则 f()ds =∫fLr(0)sin0,r(0)cosp]vr2(0)+r2(⊙)d0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 7 返回

目录 上页 下页 返回 结束 推论1 如果 L 的方程为 Ψ (x)在 推论3 如果极坐标方程: L :r  r( ) (    ), 则 f r r [ ( )sin , ( )cos ]         1 (x) dx 2  ( ) ( ) d 2 2 r  r    b a f (x,(x)) [a，b]上具有连续导数，则有 推论2 如果L的方程为x＝Ψ(y)(c≤y≤d)， Ψ(y)在[c，d] 上具有连续导数，则有 2 [ ( ), ] 1 ( ) d  y y d c  f y y  

例9.13计算2Vd,其中L是抛物线y=x2上点00,0) 与点B(1,1)之间的一段弧 解：L:y=x2(0≤x≤1) JiVyds =ox1+(2x)dx B(1,1 =x1+4x2dx -[6:产 1 x =255-0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例9.1.3 计算 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: : (0 1) 2 L y  x  x    1 0 x x 1 4x dx 1 0 2    1 0 2 3 2 (1 4 ) 12 1         x (5 5 1) 12 1   上点 O (0,0) O 1 L x y 2 y  x B(1,1)