《概率论数理统计》课程PPT教学课件：第三章 多维随机变量及其分布 3.7 两个随机变量的函数的分布

第七节 第三章 两个随机变量的函数的分布 z=X+Y的分布 二、Mmx(X,及N=min(X,的分布 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

一、 Z = X + Y 的分布 第七节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 两个随机变量的函数的分布 第三章

Z=XY的分布 1、离散型 例1:设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P{X=R}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r)r=0,2, 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 P∠z=l}=∑p(k(-k),=0 证:因为X和F相互独立,故 PX=k,y=r=p(k)q(r) 所以P1z=}=P{X+Y=}=∑P(X=k,Y=1-k} ∑P{X=k,P{Y=i-k}=∑m(k)q(-k),=0 k=0 学 HIGH EDUCATION PRESS

1、离散型 一、Z=X+Y的分布 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 P{Y  r}  q(r),r  0,1,2,      i k P Z i p k q i k i 0 { } ( ) ( ), 0,1,2, 证: 因为 X 和 Y 相互独立,故 P{X  k ,Y  r}  p(k)q(r) 所以 P{Z  i}  P{X Y  i}      i k P X k Y i k 0 { , }      i k P X k P Y i k 0 { }, { }     i k p k q i k i 0 ( ) ( ) , 0,1, P{X  k}  p(k), k  0,1,2,, 费马 目录 上页 下页 返回 结束 例1: 设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

例2:设X,Y是相互独立的随机变量,X~(41),y~x(2) 证明:Z=X+Y~x(A1+2) 证:P(z=}=∑k)m(-k)=∑ e k=0 k (i-k) (1+22)2k k e k=0 k(i-k) k k=0 1+元2) (孔1+2)i=0,1, 即X+y~丌(+22) 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

例2: 设X，Y是相互独立的随机变量， ~ ( ), ~ ( ) X  1 Y  2 证明: ~ ( ) Z  X Y  1  2 证:     i k P Z i p k q i k 0 { } ( ) ( ) ! ( )! 1 2 2 0 1 i k e k e i i k k k               k i k i k e k i k i i             1 2 ( ) 0 1 2 !( )! ! ! 1     k i k i k k C i i e       1 2 0 ( ) ! 1 2     机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) 0,1, ! 1 2 ( ) 1 2       i i e i     ~ ( ) 即 X Y  1  2

2、连续型:设(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的分布 函数为F2(z)=P{Z≤z} f(x, y)dxdy x+y≤z 这里积分区域G:x+ysz是直线x+y=z及其左下方的半平面 F()C(x圆定和x对积分(y 作变量代换,令x=u-y,得 f(x,y)dx=[f(u-y, ydu 是F()=10-y.yC(m=yom f2(=z) ∫。 f(z-y, y)dy 由X,的对称性又有f()=f(x,=x) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束

2、连续型 ：设(X ,Y)的概率密度为 f(x,y)， Z=X+Y的分布 函数为       x y z Z F (z) P{Z z} f (x, y)dxdy 这里积分区域G : x + y ≤z 是直线 x + y = z 及其左下方的半平面           F z  f x y dx dy z y Z ( ) ( , ) 固定 z 和 y 对积分   z y f (x , y)dx f x y dx f u y y du z y z     ( , )  (  , ) 于是        z FZ (z) f (u y , y)dudy 作变量代换，令 x = u – y , 得          z f (u y , y)dy du .    f z  f z  y y dy Z ( ) ( , ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束   X Y f z  f x z  x dx Z 由 , 的对称性,又有 ( ) ( , )

特别,当X与Y相互独立时,设(X,Y)关于X, 的边缘概率密度分别为fx(x),f(y),则有 fz(z)=f(z-n)f(y)dy f2(2)=(x)(=x) 这两个公式称为卷积公式 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上贞下臾返回结束

特别，当X与Y相互独立时， 设( X , Y )关于X , Y fZ (z)    f z  y f y dy X Y ( ) ( ) 这两个公式称为卷积公式 . fZ (z)    f x f z  x dx X Y ( ) ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的边缘概率密度分别为 fX (x) , fY ( y ) ,则有

例3:设X和Y是两个相互独立的随机变量。它们服从N(0,1) 分布,其概率密度为f(m/≈1 0<x<0 /2 o0<y< 求Z=X+Y的概率密度。 丌 解:f2(=)=fx(x)/(z-x)x 1 e dx /2 dx 2丌 4 dt 2丌 2丌 2√兀 即Z服从N(0,2)分布 学 HIGH EDUCATION PRESS

例3：设X和Y是两个相互独立的随机变量。它们服从N(0,1) 分布，其概率密度为               f y e y f x e x y Y x X / 2 / 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( )   解：   f z  f x f z  x dx Z X Y ( ) ( ) ( ) 求 Z  X Y 的概率密度。       e e dx x z x 2 ( ) 2 2 2 2 1  即 Z 服从 N (0 , 2) 分布。         e e dx x z z 2 2 4 / 2 2 1  4 4 4 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 z z t z e e dt e e                

般,设X,Y相互独立且X~N(4,2.y~N(2,a2) 则Z=X+Y~N(A1+12,a2+a2) 若X1~N(A12a2)(=1,2,…,n) 且它们相互独立,则 X1+X2+…+Xn~N(A1+12+…+n,2O1+σ2+…+an) 更一般地,有限个相互独立的正态随机变量的 线性组合仍然服从正态分布。 HIGH EDUCATION PRESS

一般，设X ,Y相互独立且 ~ ( , ), ~ ( , ) 2 2 2 2 X N 1 1 Y N   则 ~ ( , ) 2 2 2 Z  X Y N 1  2 1  若 ~ ( , )( 1, 2, , ) 2 Xi N i  i i   n 且它们相互独立，则 ~ ( , ) 2 2 2 2 X1  X2  Xn N 1  2  n  1   n 更一般地，有限个相互独立的正态随机变量的 线性组合仍然服从正态分布

例4.在一简单电路中两电阻R1和R2串联联接,设R1,R2相互独 10-x 0 立它们的概率密度均为f(x)=150 求总电阻R=R1+R2的概率密度 0 其它 解:R的概率密度为f()=f(x)f(x-x)x 0<x<10 0<x<10 易知仅当 即 10 0<z-x<10 时上述被积函数不等于零当<0时,f2(z)=0 当0≤z<10时, ()=/(x)(=-x) 10 050 10-2÷2502(10-10z+2x-x2)br 50 100x-10zx+-x 600z-60z2+ 2500 3 5000 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束

例4. 在一简单电路中,两电阻R1和R2串联联接,设R1 ,R2相互独 立,它们的概率密度均为         0 其它 0 10 50 10 ( ) x x f x ( ) ( ) ( ) .    f z  f x f z  x dx R         z x z x 10 0 10 0  z 10 z x x z x zx 0 3 2 2 3 100 10 2500 1            600 60 . 15000 1 2 3  z  z  z 求总电阻R= R1+R2的概率密度. 解: R的概率密度为 易知仅当         0 10 0 10 z x x 即 时上述被积函数不等于零. 当 z  0 f (z)  0 . 时，R 当 时,    z fR z f x f z x dx 0 ( ) ( ) ( )       z dx x z x 0 50 10 50 10      z z zx x dx 0 2 (100 10 ) 2500 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当10≤x20f(=)=0 (600z-6022+3),0≤z<10 15000 故f(x) (20-2) 10<z<20 15000 其它 HIGH EDUCATION PRESS

当10≤z≤20 时，     10 10 ( ) ( ) ( ) z fR z f x f z x dx dx x z x z      10 10 50 10 50 10 z z x x z x zx 10 3 2 2 3 100 10 2500 1            当z>20 故      f (x)  f (z)  0 R (600 60 ) , 0 10 15000 1 2 3 z  z  z  z  0 , 其它 (20 ) , 10 20 15000 1 3  z  z  拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 3 (20 ) 15000 1   z

M=mx(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 Fx(x), Fr 由于M=mx(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故有 P{M≤z}=P{X≤2,Y≤z} 又由于X和F相互独立 Fm()=P{M≤}=P{X≤2,≤+=P{X≤z}P{Y≤} 即有Fma(=)=Fx(=)F(=) 类似地,可得N=min(,F)的分布函数为 Fmin(=)=PINz) 1-P{X>2,Y>2}=1-P({X>}P(Y>z} Fmn(=)=1-[1-Fx(=川1-F(= HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

二、M= max (X,Y)及N = min (X,Y)的分布 又由于X 和 Y 相互独立  P{X  z}P{Y  z} 即有 ( ) ( ) ( ) max F z F z F z  X Y ( ) { } { , } max F z  P M  z  P X  z Y  z 类似地，可得 N =min(X ,Y )的分布函数为 ( ) { } min F z  P N  z  1 P{N  z} 1 P{X  z,Y  z} 1 P{X  z} P{Y  z} ( ) 1 [1 ( )][1 ( )] min F z F z F z     X  Y P{M  z}  P{X  z,Y  z} F (x) , F ( y) X Y 设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 由于M=max( X , Y ) 不大于z 等价于X 和Y 都不大于z ，故有 机动 目录 上页 下页 返回 结束