《量子力学》第五章 微扰理论 §5.6与时间有关的微扰理论 §5.7跃迁几率 §5.8光的发射与吸收 §5.9 选择定则 §5.10 变分法

§5.6与时间有关的微扰理论 与定态微扰比较:H=Ho+H(t)(1) 1、定态微扰:H'不含时间t,H'作用结果,原能级E 移动,简并度下降,旧波函数线性组合成新的波函 数 0系统整体改变能量。 1、含时微扰:H含时间t da, (t) ≠0,H作用 从Φk一Φn(初态→终态)。即发生量子跃 迁,从一个定态一另一个定态,系统有局部的能 量变化

§5.6与时间有关的微扰理论 一、与定态微扰比较： H H H t = +0 '( ) (1) 1、定态微扰： 不含时间t， 作用结果，原能级 移动，简并度下降，旧波函数线性组合成新的波函 数。 系统整体改变能量。 H ' H ' (0)  n 0 n da dt = 1、含时微扰： 含时间t， ， 作用： 从 （初态 终态）。即发生量子跃 迁，从一个定态 另一个定态，系统有局部的能 量变化 H ' ( ) 0 n da t dt  H ' k  m

2、含时微扰下的 schr eq 体系波函数Φ应满足schr.eq;i ap arh(tY(2) H()中的H不含t,本征函数n已知: Hon=En,不含时(3) 将Φ按H的定态微扰波函数Φ展开: ①。含时(4) 平=∑an(Nn (5)

2、含时微扰下的schr.eq. 体系波函数Ф应满足schr.eq; i H t( ) (2) t  =   H t( ) 中的 H 0 不含t，本征函数 已知： 不含时 （3） n 0 H    n n n = n 将Ф按 H 0 的定态微扰波函数  n 展开： n i t n n e   −  = 含时 （4） ( ) n n n  =  a t  n （5）

将(5)式代入 schr eq、(2),则 i2(n1①+a10)22)=∑a1O)H,+∑a()H (6) agp 利用c1=n,左边第二项等于右边第 项,(6)式变成: at ∑a1()H 以左乘上式两边,然后对整个空间积分,得:

将（5）式代入schr.eq.(2),则 0 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ' n n n n n n n n n n n a t i a t a t H a t H t t    + =  +       （6） 利用 ，左边第二项等于右边第一 项，（6）式变成 ： 0 n n i H t  =   ( ) ( ) ' (7) n n n n n n a t i a t H t   =     以 左乘上式两边，然后对整个空间积分，得：

da(t at ∫indz=∑q,()jnH"dz(8) ∑an()fme En (9) 其中E,E分别为未微扰时Φn和Φ,态(定态)的 能量本征值 Hm=mH'dz为微扰矩元(10)

* * ( ) ( ) ' (8) n m n n m n n n a t i d a t H d t      =        ( ) ' ( ) ( ) (9) m n i t n mn n n da t i a t H e dt  − 即 = , m n 其中   分别为未微扰时 态（定态）的 能量本征值   m n 和 ' * ' H H d mn m n =     为微扰矩元（10）

以On=(m-)表示体系从n能级跃迁到≌n 能级的波尔(圆)频率,则(9)式克写为: dam(t) ∑an() H emm(1) (9)、(11)式就是含时微扰下的 schr eq 3、求(11)的解 1)设t=0时,体系处于H的第k个本征态Φk, 开始引入HV(),则 (0)=mk (12)

以 表示体系从 能级跃迁到 能级的波尔（圆）频率，则（9）式克写为： 1 ( )    m n = − m n n  n  ' ( ) ( ) (11) mn m i t n mn n da t i a t H e dt  = （9）、（11）式就是含时微扰下的schr.eq 3、求（11）的解 1）设t=0时，体系处于 的第k个本征态 ， 开始引入 ，则 （12） H 0 k H t '( ) (0) n nk a = 

若只求an(0)的一级近似,则m已是一级近似的 矩阵元,不计二级以上的近似,则可令a、()≈an(O) 代入(11)式: ∑6n()Hn lOok t (13) lt mk 积分上式得an()的一级近似解: (14)

若只求 的一级近似，则 已是一级近似的 矩阵元，不计二级以上的近似，则可令 代入（11）式： (0) m a ' H mn ( ) (0) n n a t a  ' ' ( ) ( ) (13) mn mk m t i t nk mn mk n da t i t H e H e dt   = =  积分上式得 a t m ( ) 的一级近似解： ' 0 1 ( ) (14) mk t i t m mn a t H e dt i  = 

根据(5)式,由迭加原理可知,在时刻发现体系 处于Φm态的几率为|an()2,所以体系在微扰作用 下由初态中一终态Φ,的几率为: k (15) 2)讨论:an(t)=an(0)=物理意义:第一个等号,认 定一个初态Φ,n10)=1,而4()≈a(0)是一个近 似。(15)式成立的条件是:Wm()1(k≠m) 即跃迁几率很小,体系保持在初始状态的几率很大

根据（5）式，由迭加原理可知，在t时刻发现体系 处于 态的几率为 ，所以体系在微扰作用 下由初态 终态 的几率为：  m 2 ( ) m a t k  m 2 2 ' 0 1 ( ) (15) mkt t i W a t H e dt k m m mn i  → = =  2）讨论： 的物理意义：第一个等号，认 定一个初态 ， 而 是一个近 似。（15）式成立的条件是： 即跃迁几率很小，体系保持在初始状态的几率很大， ( ) (0) 0 n n a t a = = ( ) (0) n n a t a  k 2 (0) 1, k a = ( ) 1 ( ) W t k m k m → 

4、例题: 维带电谐振子,电量为q,t==时刻处于基态。 设微扰H=-9sxe,E为外电场强度,T为参数。求当 时,t谱栎处于激发态的几率。Wn 解:取一级近似: 2 Wn(∞) 0) 0→>n E,- 0 0) DO)= g8ynxyo ndt 0

4、例题： 一维带电谐振子，电量为q， 时刻处于基态。 设微扰 ，ε为外电场强度，τ为参数。求当 时，谐振子处于激发态 的几率。 t = − 2 2 / ' t H q xe   − = − t → + 解：取一级近似： 0 2 2 ' 0 0 0 2 1 ( ) ( ) n t i W H e dt a n n n  + → → −  = =   0 ( ) n    − n0 =  n 2 2 (0) * 0 0 0 1 ( ) ( ) i t n t n n a q x e dt i      + + − −  = − 

由谐振子厄密多项式递推关系: +1 vk-+1/ k+1 C 2 此处vk=V h 即只有k+1=1=n,第一激发态v1与Wo之间矩阵 元非0,其余都为0。 (n)=(1x0) O

1 1 1 1 [ ] 2 2 k k k k k x    − + + = + 由谐振子厄密多项式递推关系： 此处   a =   k = 0 0 1 1 1 1 2 2 x      = = 即只有k+1=1=n，第一激发态 与 之间矩阵 元非0，其余都为0。  1  0 1 0 1 0 2 n n x x    = =

8(∞)=-9/hrm Pnot ih 2u J-0o - g9 nce O guha 振子仍然保留在基态的几率为1-W01() 如果τ→>∞0,即微扰无限缓慢地加入,则 Wb、(∞)=0,即粒子始终保持在基态,不发生 跃迁

2 2 0 2 2 2 2 (0) 10 4 2 2 2 2 0 1 ( ) , 2 1 2 ( ) 2 i t n t qq a e dt i iqq e q W e                + + − − − − → −   = =   =  振子仍然 保留在基态的几率为 如果 ，即微扰无限缓慢地加入，则 ，即粒子始终保持在基态，不发生 跃迁。 0 1 1 ( ) −  W →  →  0 1 W → ( ) 0  =