《量子力学》第二章 波函数与薛定谔方程

第二章波函数与薛定谔方程 21波函数的统让解释 2.2态迭加原理 2.3薛定谔方程 24定态薛定谔方程 2.5一维无限深势阱 2.6线性谐振子 27势垒贯穿(隊道效应

第二章 波函数与薛定谔方程 •2.1波函数的统计解释 •2.2 态迭加原理 •2.3 薛定谔方程 •2.4 定态薛定谔方程 •2.5 一维无限深势阱 •2.6 线性谐振子 •2.7 势垒贯穿（隧道效应）

§21波函数的统计解释 ·一、波函数 1、平面波是描述具有确定能量(V)和 动量(入)的粒子的波函数: v(r, t)=Aeh (p.r-Et) 它描写当粒子不受外力F(r,t)作用,因而E,P不变的 自由粒子运动。 2、一般F判0,在外力场中,势能V(G,1) 平(F,)满足薛定谔方程和边界条件称为 波函数

• 一、波函数 • 1、平面波是描述具有确定能量（ν）和 动量（λ）的粒子的波函数： • Ae p r Et i ( ) ψ(r,t)  − =     2、一般F≠0,在外力场中，势能 , 满足薛定谔方程和边界条件称为 波函数(r,t)   V(r,t)  §2.1波函数的统计解释 自由粒子运动。 它描写当粒子不受外力F r t 作用，因而E P不变的     ( , )

、波函数的物理意义一统计解释 1、经典波表示y(x,),E(F,t),P(F,t) 2、量子力学的波函数(F,1)不表示任何具体物 理量 3N(:表示在时刻位置F附近单位体积 内发现粒子的几率( probalitily),刻在F 附近发现粒子的几率密度 4、波函数表示微观体系的量子态(状态 态),平(不钗可以告诉我们在(,) 位置测量出粒子的几率,还可以描写体系 的各种性质,测量其他物理量的可能值, 及取这些值的几率

二、波函数的物理意义—统计解释 • 1、经典波表示 • y(x,t), E(r,t), P(r,t)   2、量子力学的波函数 不表示任何具体物 理量 (r,t)   3、 表示在时刻t位置 附近单位体积 内发现粒子的几率（probalitily),及t时刻在 附近发现粒子的几率密度 2 (r,t)   r  r  4、波函数表示微观体系的量子态（状态、 态）， 不仅可以告诉我们在 位置测量出粒子的几率，还可以描写体系 的各种性质，测量其他物理量的可能值， 及取这些值的几率 (r,t)   (r,t) 

、波函数的归一化 1、以波函数(x,y,z,t)描写粒子的状态, t时刻(xyz)位置波函数强度Φ=Φ米 以dW(x,y,z,1)表示在(x→x+dx,y2y+dyz dz)位置找到粒子的几率 由波函数的统计解释: dw(x,D, z, t)=cp(x, 3, z, t)dr T时刻在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几 率密度 w(x, y, z, t) dw(x,y, z, t) =cΦ(x,y,z, dT

三、波函数的归一化 • 1、以波函数 描写粒子的状态， t时刻（x,y,z）位置波函数强度 以dw(x,y,z,t)表示在（x x+dx,y y+dy,z • dz )位置找到粒子的几率 (x, y,z,t)  =  2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) c x y z t d dw x y z t w x y z t = =   T时刻在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几 率密度 由波函数的统计解释： dw x y z t c x y z t d 2 ( , , , ) = ( , , , )

2、波函数的归一化 c!((x,y,z,)dz=1 C Φ‖dτ C :成为归一化常数, 令W=√c则w=2 2x 例:给定Φ(x)=cos x∈(0,a) 将其归一化

2、波函数的归一化   d c c x y z t d 2 2 1 ( , , , ) 1   =   =   c ：成为归一化常数， 2 令 = c则w =  a x x 2 cos 2 1 例：给定( ) = x(0,a) 将其归一化

解:令以归一化波函数为￥(x),设(x)=cD(x) ·归一化: NP(x)2女 2mx COS I1 12 ra 1+coS 42 解得:c=8

解:令以归一化波函数为 • 归一化： (x),设(x) = c(x) a a a x a c a c dx c dx a x x dx c 8 2 2 0 4 2 0 2 2 2 1 4 2 1 2 1 cos 4 1 2 cos 4 1 ( ) = = = + =  =    + − 解得：   a c 2 = 2

3、任意相因子 一般(x,y,z,1)为复函数,e平与平描写 同一状态,不影响归一化,e称为相因子 4,自由粒子波函数不可归一化 例 (r, t)=Aenpr-Er 而∫平dr→

3、任意相因子 一般(x, y,z,t)为复函数，e i 与描写 同一状态，不影响归一化，e i 称为相因子 4，自由粒子波函数不可归一化 例：  →   =    − d r t Ae p p r Et p i 2 ( ) ( , ) 而    

§2.2态迭加原理 波粒二象性 波函数的统计解释 态迭加原理 量子力学的基本原理之 态迭加原理 1、实验规律:由于测量时会扰动,微观态各种 可能值以一定几率出现,如 X2-2.533.54-4.555.5 W10%20%40%20% 2、测量物理量x及其几率可以由波函数求出 如时刻,x∈(3,35找到粒子的几率W

§2.2 态迭加原理 波函数的统计解释 态迭加原理 一、量子力学的基本原理之一 态迭加原理 1、实验规律：由于测量时会扰动，微观态各种 可能值以一定几率出现，如 x 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5 w 10% 20% 40% 20% 波粒二象性 2、测量物理量x及其几率可以由波函数求出 如 t时刻，x(3,3.5)找到粒子的几率W

2 W y(x, y, z, t) dxdydz ● 3、为什么会有许多可能值,并以确定几率出现 源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理: 在空间某点p处,t时刻的波的振幅有前一时刻 波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波 的干涉,若y为一列波,y2.为一列波,则 y=y1+y2也是一个可能的波动状态 4、态迭加原理 如果平和平2是体系的可能状态,则它们的线性 迭加平=平+￥2也是这个体系的一个可能状态 而且当粒子处于出和平2的线性迭加态时,粒 子是既处于平态,也处于2态

• 3、为什么会有许多可能值，并以确定几率出现? W x y z t dxdydz 2 3.5 3 ( , , , )    + − + − =  源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理： 在空间某点p处，t时刻的波的振幅有前一时刻 波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波 的干涉，若 为一列波， 为一列波，则 也是一个可能的波动状态 1 y 2 y 1 2 y = y + y 4、态迭加原理 如果 和 是体系的可能状态，则它们的线性 迭加 也是这个体系的一个可能状态， 而且当粒子处于 和 的线性迭加态时，粒 子是既处于 态，也处于 态 1 2  = 1 +2 1 2 1 2

5、状态迭加—干涉项 般,y为复函数,如平1=Wem,翌2=2em 平=k2甲+c22=(+c2y/平+平2) yc,y,+c,cn+cVc,平,+Cyc乎 2 +Ccpp tccp yp 2 6、态迭加原理的一般形式 当平2…y 2 为体系的可能状态时,他们的 线性迭加平=c平+c2平2+…<n平=∑ 也是体系的一个可能状态。当体系处于屮态时, 体系部分的处于坐1,平2…Hn…态之中

5、状态迭加——干涉项 1 2 1 1 0 2 2 0 , i i 一般，为复函数，如 =  e  =  e ( )( )                 =  +  +   +   =   +   +   +    =  +  =  +   +  1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 6、态迭加原理的一般形式  =  +  +   =  n n n n n c c c c 1 1 2 2 当 为体系的可能状态时，他们的 线性迭加 也是体系的一个可能状态。当体系处于 态时， 体系部分的处于 态之中     n , , 1 2      n , , 1 2