《量子力学》第五章 微扰理论 §5.1 非简并定态微扰理论 §5.2 简并情况下的微扰理论 §5.3氢原子的一级斯它克效应

第五章微扰理论 §5.1非简并定态微扰理论 1.设体系哈密顿量算苻H不显含时间,并且可以 分为两部分: H=Ho+h 其中,H的本征之值和本征函数都是已知的:EO 和平0),另一部分H很小 可以看作是加在Ho上的微扰

第五章 微扰理论 §5.1 非简并定态微扰理论 1.设体系哈密顿量算苻Ĥ不显含时间,并且可以 分为两部分: (1) H H H ' = +0 其中， 的本征之值和本征函数都是已知的： 和 ，另一部分 很小‘ 可以看作是加在 上的微扰。 (0) E n (0)  n H' H0 H0

又,以E表示的本征值和本征函数: 即 Hy(0=EOy10)(未微扰)(2) H=E (3) 当微扰不存时,H=Ho, 微扰使能级发生移动,波函数发生变化。我们 的目的是,由原来的E0)求出微扰后的V0的 各阶近似表达式,和由平近似求出各阶n 表达式

又，以 表示Ĥ的本征值和本征函数： 即 （未微扰） （2） （3） En (0) (0) (0) H0 =   n n n H =   n n n 当微扰不存时， ， ， 微扰使能级发生移动，波函数发生变化。我们 的目的是，由原来的 求出微扰后的 的 各阶近似表达式，和由 近似求出各阶 表达式。 H H= 0 (0)  =  n n (0)  =  n n (0)  n (0)  n  n (0)  n

设 H=AHi (4) 并且En=E+AE+2E2)+ (5) 平=y(0)+2y()+2y(2)+(6) 其中EO)和平称为体系的零级近似能量 和波函数,而E和AY0)分别称一级近 似能量修正和波函数的一级近似修正, 将(5),(6),代入(3)式中,并按入 的幂整理,令系数相等,得

设 （4） 并且 （5） （6） H ' H =  1 (0) (1) 2 (2) ^  =  +  +  + n n n n   (0) (1) 2 (2) ^  =  +  +  + n n n n   其中 和 称为体系的零级近似能量 和波函数，而 和 分别称一级近 似能量修正和波函数的一级近似修正，…… (0)  n (0)  n (1)  n (1)  n 将（5），（6），代入（3）式中，并按 的幂整理，令系数相等，得 s 

0 Ho(o)=E(y( (7) 2:H0y()+Hy()=EO(0)+Ey()(8) Ho(2)+H1H(=E(2)+E +e (2)u(2 (9) 在分级列出各阶修正的方程后,将平,E等理 解为对中n和En的一级修正(相当于令入=1)。 H,→、H (Ho-E)0)=(E-H) (8) E(O)Y(2)=(EO-H)o+EO (9)

0  (0) (0) (0) H0 =   n n n ： （8） 1  ： （7） (1) (1) (0) (0) (1) (1) 0 H H  +  =   +   n n n n n n 1 ： H H 0 +  =   +   +   (2) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (2) n n n n n n n n 1 （9） 2  在分级列出各阶修正的方程后，将 ， 等理 解为对 和 的一级修正（相当于令λ＝1）。 (1)  n (1)  n  n  n H H' 1 → (0) (1) (1) (0) (H ) ( H ') 0 −   =  −  n n n n (0) (2) (1) (1) (2) (0) (H ) ( H ') 0 −   =  −  +   n n n n n n (8)’ (9)’

2能量的一级修正: 设E0非简并,它只有一个本征函数0)于 之对应,并已归一化 以平0”左乘()式积分 女0)*(HO)_p(0)m/dr=E(1)m(0)(O) dt (0)* r(10) 上式左边,H为厄密算苻 (0) H 0),(1 (0),(0)*/(1) aT 左边=0,由右边得:

2.能量的一级修正: 设 非简并,它只有一个本征函数 于 之对应,并已归一化. 以 左乘(8)式,积分: (0)  n (0)  n (0)*  n (10) (0) (0) (0) (1) (1) (0) (0) (0) (0) *(H ) * *H' n n n n n n n n          −  =  − d d d    上式左边, 为厄密算苻: 左边=0,由右边得: (0) H (0) (0) (1) (0) (0) (1) (0) (0) (1) *H (H )* * n n n n n n n          d d d = =    

CO)*Hydr (11) 即:能量的一修正E等于H在v中的平均值 3波函数的一阶修正 设v=q"v (12) 而Vn已在(7)式中计入为免重复

(1) (0) (0) *H' n n n  =   d   (11) (0) (0) : H' 即 能量的一修正 n n 等于 在 中的平均值. 3.波函数的一阶修正 设 (12) 而 已在(7)式中计入为免重复 (1) (1) (0) n l l l   =a (0)  n

由于v+y仍是方程(8)的解,可以选取a 任一常数)使得(12)式中求和不含vm0,即不含 原零级波函数v0 ∑ (0) C∑中 (13) 将(13)式代入(8)式; ∑Ea"vy0-E∑'a"v Hy(14) 以0)(m≠n)左乘上式积分利用v0的正交归 性.有

由于 仍是方程(8)的解, 可以选取 (任一常数)使得(12)式中求和不含 ,即不含 原零级波函数   n n (1) (0) + a  (0)  n (0)  n (13) (1) (1) (0) ' n l l l   = a ( ' ) 中l n  将(13)式代入(8)’式; (14) (0) (1) (0) (0) (1) (0) (1) (0) (0) ' ' H' l l l n l l n n n l l    −  =  − a a     以 左乘上式,积分,利用 的正交归 一性.有 (0)* ( )   n m n (0)  n a

E∑ Hyo dr (15) 即(EO)-E 其中(16) H mn (18) E0)-E 由()∑→∑波函数的一级修正 ∑ mn (19) E0)-E

(0) (1) (0) (1) (0) (0) ' ' *H' l l ml n l ml n n l l    −  = − a a d       (15) (0) (0) (1) ' ( ) m n m mn 即  −  = − a H 其中 (0) (0) ' *H' H d mn n n =     ' (1) mn (0) (0) H m m n  = a  −  (16) (17) (18) (12) l m 由  → 波函数的一级修正: (19) ' (1) (0) mn (0) (0) H ' n m m n m   =  −  

4能量的二级修正 对(9)式(HDo=E)0=(EO-H)D+EP20)(20) 左乘v积分得 ∫o(H-E)平2dz=∫甲(E-H)yedr+ JEO oryo dr 20 可将v用里0展开:v=∑"v。(13)代入 20)式 (21)

4.能量的二级修正: 对(9)’式 (20) (0) (2) (1) (1) (2) (0) (H ) ( H ') 0 −   =  −  +   n n n n n n (0)* 左乘  n 积分得: (20)’ (0)* (0) (2) (0)* (1) (1) (2) (0)* (0) (H ) ( H ') 0 n n n n n n n n n  −  =   −  +    d d d       可将 用 展开: (13)’代入 (20)’式 (21) (1) (1) (0) ' n l l l (0)   = a  n (1)  n

利用H的厄密性,可见(20)式左边为0又由于∑ 中1≠n正交,所以右边括号中第一项也为0,得: ∑v0* C三 E (2) ∑aHn=E (22) 将波函数一级修正系数a=E四o代入上式 )=∑ E0)-E o(Hn=H’厄密性)(23)

利用 的厄密性,可见(20)’式左边为0,又由于 中 正交,所以右边括号中第一项也为0,得: H0 ' l  l n  (0) (1) (0) (2) ' *H' n l n n l    a d =  (1) ' (2) ' l nl n l  a H =  (22) ' (1) mn (0) (0) H m m n a =  −  将波函数一级修正系数 代入上式 2 ' ' ' (2) ' ' * mn (0) (0) (0) (0) H H H ' ' (H H ) nm nm n mn nm m m n m n m  = = =  −   −    厄密性 (23)